Asymptotes

Exercice 375. Soit $f(x) = \Frac{1}{1+e^{-x}}$. \\ Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.
Exercice 376. Pour tout réel $k > 0$, on considère la fonction $f_k$ définie sur $\R$ telle que $f_k(x) = kxe^{-kx}$.\\ Déterminer les asymptotes éventuelles de la fonction $f_k$.
Exercice 377. Soit $f$ la fonction $x \mapsto \Frac{ax+b}{2x-1}$ où $a$ et $b$ sont deux réels. $f$ est représentée par la courbe $\Cf$ dans un repère orthogonal. \\
  1. Déterminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et $\limplus f(x) = 2$. \\
  2. Déterminer les asymptotes à $\Cf$. \\
  3. Dresser le tableau de variation de $f$, et tracer l'allure de $\Cf$.
Exercice 378. Montrer que la courbe de la fonction $f(x) = x+e^{-x}$ définie sur $\R$ admet une asymptote.
Exercice 379. Soit la fonction définie sur $\R \backslash \{1\}$ par $f(x) = \Frac{2x+\sin{x}}{x-1}$. \\ $\Cf$ admet-elle des asymptotes ?
Exercice 380. Soit $f$ définie par $f(x) = \Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$. Déterminer toutes les asymptotes à $\Cf$.
Exercice 381. Soit $f(x) = \Frac{-2x}{x-2}$. \\ $\Cf$ admet-elle des asymptotes ?
Exercice 382. Soit $f(x) = xe^{-x}$. \\ Montrer que $\Cf$ admet une asymptote.
Exercice 383. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = xe^{-x}$.\\ Démontrer que $\Cf$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
Exercice 384. Soit $f(x) = \Frac{e^{-x}}{2(1-x)}$. \\
  1. Etudier les limites de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ et lorsque $x$ tend vers $1$. Interpréter graphiquement. \\
  2. Vérifier que pour tout $x \in \R \backslash \{0,1\}$, $f(x) = \Frac{e^{-x}}{-x} \times \Frac{x}{2(x-1)}$. \\ En déduire $\limoins f(x)$.
Exercice 385. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = xe^{x-1}+1$. \\ Déterminer les limites de $f$ sur son domaine de définition et en déduire les asymptotes.
Exercice 386. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = xe^{1-x}$. \\ Déterminer $\limplus f(x)$ et $\limoins f(x)$ puis interpréter.
Exercice 387. Soit $f(x) = \Frac{x}{e^x-x}$. \\ Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$ puis interpréter graphiquement.
Exercice 388. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$ et en déduire l’existence d’une asymptote horizontale.
Exercice 389. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Montrer que la droite $x=1$ est une asymptote verticale à $\Cc$.
Exercice 390. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Montrer que la droite $x=0$ est une asymptote verticale à $\Cc$.
Exercice 391. On considère la fonction $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x)=xe^{-x}$.\\ Démontrer que $\Cf$ possède une asymptote en $+\infty$ et donner une équation de cette asymptote.
Exercice 392. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Montrer que la droite $(\mathcal D)$ d’équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe de $f$ en $+\infty$.
Exercice 393. Soit $f(x)=x-e^x$ définie sur $\R$.\\ Montrer que la droite $\Delta$ d’équation $y=x$ est asymptote à $\Cf$ en $-\infty$.
Exercice 394. Soient $g_1(x)=xe^{-x}$ et $g_2(x)=x^2e^{-x}$ définies sur $\R$.\\ Déterminer les éventuelles asymptotes horizontales et obliques en $-\infty$ et en $+\infty$ des courbes représentatives de $g_1$ et $g_2$.
Exercice 395. Déterminer $\limplus(2x+1)e^{-2x}$. \\ En déduire l'existence éventuelle d'une asymptote horizontale à $\Cc$ en $+\infty$.
Exercice 396. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x-(x^2+4x+3)e^{-x}$ et $\Cc$ sa courbe représentative. \\ Montrer que la droite $d$ d'équation $y=x$ est asymptote à $\Cc$ en $+\infty$.