Entiers premiers entre eux

Exercice 1630. Soit $n \in \N^{*}$. Montrer que $2^n+1$ et $2^n-1$ sont premiers entre eux.

Exercice 1631. Trouver les $(x,y) \in \Z^2$ tels que \[ 14x - 21y = 13. \]

Exercice 1632. Trouver les $(x,y) \in \Z^2$ tels que \[ 1845x + 1035y = 90. \]

Exercice 1633. Soit $m \in \mathbb{N}^*$. \\ Posons $a = m!$ et, pour tout $i \in \{0,\ldots,m\}$, $\alpha_i = a(i+1) + 1$. \\ Montrer que $\alpha_0,\ldots,\alpha_m$ sont deux à deux premiers entre eux.

Exercice 1634. Soient $a \geqslant 0$ et $n \geqslant 2$ deux entiers. Montrer les assertions suivantes. \\

1. Si $a^n - 1$ est premier, alors $a = 2$ et $n$ est premier. \\
2. Si $a^n + 1$ est premier, avec $a \geqslant 2$, alors $n$ est pair. \\
3. Si $a^n + 1$ est premier, avec $a \geqslant 2$, alors $a$ est pair et $n$ est une puissance de $2$.

Exercice 1635. Soit $k$ un entier supérieur ou égal à $2$. \\

1. Soient $a,b \in \mathbb{Z}^*$ tels que $a \wedge b = 1$. \\ On suppose que $ab$ est la puissance $k$-ième d’un entier. \\ Démontrer que $a$ et $b$ sont (au signe près) des puissances $k$-ièmes d’entiers. \\
2. Résoudre l’équation $x^2 + x = y^k$ d’inconnues $x,y \in \mathbb{Z}$. \\
3. Soit $p \in \mathbb{P}$. Résoudre l’équation $x^2 + px = y^2$ d’inconnues $x,y \in \mathbb{N}$. \\ Indication : Distinguer le cas où $p$ divise $x$ du cas contraire.