Entiers premiers entre eux

Exercice 3140. Soient $a$ et $b$ premiers entre eux et $c \in \mathbb{Z}$.\\ Montrer que \[ \mathrm{pgcd}(a,bc)=\mathrm{pgcd}(a,c) \]
Exercice 3141. Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux non nuls.\\ Déterminer tous les couples $(u,v) \in \mathbb{Z}^2$ tels que \[ au+bv=1 \]
Exercice 3142.
  1. Pour $n \in \mathbb{N}$, montrer qu'il existe un couple unique $(a_n,b_n) \in \mathbb{N}^2$ tel que \[ (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} \]
  2. Calculer \[ a_n^2-2b_n^2 \]
  3. En déduire que $a_n$ et $b_n$ sont premiers entre eux.
Exercice 3143. Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs premiers entre eux et $d \in \mathbb{N}$ un diviseur de $ab$.\\ Montrer \[ \exists ! (d_1,d_2) \in \mathbb{N}^2,\ d=d_1d_2,\ d_1 \mid a,\ d_2 \mid b \]
Exercice 3144. On note $\mathrm{div}(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs d'un entier $n \in \mathbb{Z}$.\\ Soient $a,b \in \mathbb{Z}$ premiers entre eux et \[ \varphi : \mathrm{div}(a)\times \mathrm{div}(b) \to \mathbb{N} \] définie par \[ \varphi(k,\ell)=k\ell \] Montrer que $\varphi$ réalise une bijection de $\mathrm{div}(a)\times \mathrm{div}(b)$ vers $\mathrm{div}(ab)$.
Exercice 3145. Pour tout $n\in\N^*$, on pose \[ \sigma(n)=\sum_{d=1;d\mid n}^{n} d. \] Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux, alors \[ \sigma(nm)=\sigma(n)\sigma(m). \]
Exercice 3146. On veut résoudre l’équation \[ x^2+y^2=z^2, \] d’inconnue $(x,y,z)\in\Z^3$. De tels triplets sont appelés triplets pythagoriciens.\\
  1. Montrer que l’on peut uniquement rechercher les triplets pythagoriciens dont les composantes sont positives et deux à deux premières entre elles. On les appelle triplets pythagoriciens primitifs.\\
  2. Soit $(x,y,z)$ un triplet pythagoricien primitif. Montrer que l’entier $z$ est impair.\\ On supposera dans la suite que l’entier $y$ est pair.\\
  3. On pose \[ y=2s,\qquad r=\frac{z+x}{2},\qquad t=\frac{z-x}{2}. \] Montrer que \[ r\wedge t=1. \]
  4. Montrer que $r$ et $t$ sont des carrés parfaits.\\
  5. Montrer que l’ensemble des triplets pythagoriciens est \[ \left\{(d(u^2-v^2),2duv,d(u^2+v^2)),(2duv,d(u^2-v^2),d(u^2+v^2))\;;\;(d,u,v)\in\Z^3\right\}. \]
Exercice 3147. Soient $\lambda,a,b \in \mathbb{Z}$ et $m \in \mathbb{N}^*$.\\ On suppose $\lambda$ et $m$ premiers entre eux.\\ Montrer \[ a \equiv b \; [m] \iff \lambda a \equiv \lambda b \; [m] \]
Exercice 3148. Soient $a$ et $b$ premiers entre eux.\\ Montrer que \[ a \wedge (a+b)=b \wedge (a+b)=1 \] puis \[ (a+b) \wedge ab=1 \]
Exercice 3149. Soient $a,b \in \mathbb{Z}$.\\
  1. On suppose $a \wedge b=1$. Montrer que \[ (a+b)\wedge ab=1 \]
  2. On revient au cas général. Calculer \[ \mathrm{pgcd}(a+b,\mathrm{ppcm}(a,b)) \]
Exercice 3150. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on a :\\
  1. \[ (n^2+n) \wedge (2n+1)=1 \]
  2. \[ (3n^2+2n) \wedge (n+1)=1 \]
Exercice 3151. Montrer que pour tout entier $n \in \mathbb{N}^*$, $n+1$ et $2n+1$ sont premiers entre eux.\\ En déduire que \[ n+1 \mid \binom{2n}{n} \]
Exercice 3152. Soit $n \in \mathbb{N}$.\\ Montrer que les entiers \[ a_i=i\,n!+1 \] pour \[ i \in \{1,\ldots,n+1\} \] sont deux à deux premiers entre eux.
Exercice 3153.
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, la fraction $\Frac{5^{n+1}+6^{n+1}}{5^n+6^n}$ est irréductible.\\
  2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda,\mu,\alpha,\beta)\in\N^4$ pour que la fraction $\Frac{\lambda\alpha^{n+1}+\mu\beta^{n+1}}{\lambda\alpha^n+\mu\beta^n}$ soit irréductible pour tout $n\in\N^*$.
Exercice 3154. Soit $n \in \N^*$ donné. Résoudre dans $\Z$ l’équation : $2a+3b=n$. Donner le nombre de solutions dans $\N^2$.
Exercice 3155. Soit $n \in \N^{*}$. Montrer que $2^n+1$ et $2^n-1$ sont premiers entre eux.
Exercice 3156. Trouver les $(x,y) \in \Z^2$ tels que \[ 14x - 21y = 13. \]
Exercice 3157. Trouver les $(x,y) \in \Z^2$ tels que \[ 1845x + 1035y = 90. \]
Exercice 3158. Soit $m \in \mathbb{N}^*$. \\ Posons $a = m!$ et, pour tout $i \in \{0,\ldots,m\}$, $\alpha_i = a(i+1) + 1$. \\ Montrer que $\alpha_0,\ldots,\alpha_m$ sont deux à deux premiers entre eux.
Exercice 3159. Soient $a \geqslant 0$ et $n \geqslant 2$ deux entiers. Montrer les assertions suivantes. \\
  1. Si $a^n - 1$ est premier, alors $a = 2$ et $n$ est premier. \\
  2. Si $a^n + 1$ est premier, avec $a \geqslant 2$, alors $n$ est pair. \\
  3. Si $a^n + 1$ est premier, avec $a \geqslant 2$, alors $a$ est pair et $n$ est une puissance de $2$.
Exercice 3160. Soit $k$ un entier supérieur ou égal à $2$. \\
  1. Soient $a,b \in \mathbb{Z}^*$ tels que $a \wedge b = 1$. \\ On suppose que $ab$ est la puissance $k$-ième d’un entier. \\ Démontrer que $a$ et $b$ sont (au signe près) des puissances $k$-ièmes d’entiers. \\
  2. Résoudre l’équation $x^2 + x = y^k$ d’inconnues $x,y \in \mathbb{Z}$. \\
  3. Soit $p \in \mathbb{P}$. Résoudre l’équation $x^2 + px = y^2$ d’inconnues $x,y \in \mathbb{N}$. \\ Indication : Distinguer le cas où $p$ divise $x$ du cas contraire.
Exercice 3161. Soit $a \in \N^*\setminus\{1\}$ et $b \in \N^*\setminus\{1\}$ tels que $a\wedge b=1$. Prouver qu’il existe toujours un couple $(u,v)\in\Z^2$ tel que $au+bv=1$ avec la contrainte : $|u| < b$ et $|v| < a$. Peut-il en exister plusieurs ?
Exercice 3162. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $n \wedge (2n+1)=1$ et $(n+1)\wedge(2n^2+n)=1$.\\ Que pensez-vous de : $(n+1)\wedge(n^2-n)=1$ ?
Exercice 3163. Soient $a,b \in \Z$.\\ Montrer que $a \wedge b = 1 \Longleftrightarrow (a+b) \wedge (ab) = 1$.
Exercice 3164. Soit $n \in \N$.\\ Montrer que $(5^n + 6^n) \wedge (5^{n+1} + 6^{n+1}) = 1$.
Exercice 3165. Montrer que\\
  1. Si $ab \equiv ac \; [n]$ et $a \wedge n = 1$ alors $b \equiv c \; [n]$.\\
  2. Soit $m,n \in \N^*$ premiers entre eux, montrer que\\ \[ a \equiv b \; [mn] \Longleftrightarrow \begin{cases} a \equiv b \; [m] \\ a \equiv b \; [n] \end{cases} \]
Exercice 3166.
  1. Soit $a,b \in \N^*$ tels que $a \wedge b = 1$. Montrer qu'il existe $x,y \in \Z$ tels que \[ \begin{cases} x \equiv 1 \; [a] \\ x \equiv 0 \; [b] \end{cases} \qquad \begin{cases} y \equiv 0 \; [a] \\ y \equiv 1 \; [b] \end{cases} \]
  2. Soit $\alpha,\beta \in \Z$. Déterminer l’ensemble des solutions du système \[ \begin{cases} n \equiv \alpha \; [a] \\ n \equiv \beta \; [b] \end{cases} \]
  3. Résoudre \[ \begin{cases} n \equiv 2 \; [10] \\ n \equiv 3 \; [9] \end{cases} \]
Exercice 3167. Soit un nombre premier impair $p$.\\
  1. Soit $k \in \llbracket 1,p-1 \rrbracket$. Montrer que $p$ divise $k!\binom{p}{k}$. En déduire que $p$ divise $\binom{p}{k}$.\\
  2. Soit $x,y \in \Z$, montrer que $(x+y)^p \equiv x^p + y^p \; [p]$.\\
  3. Montrer par récurrence que pour tout $x \in \Z$, $x^p \equiv x \; [p]$.\\
  4. Montrer que si $x \in \Z$ et $x \wedge p = 1$, alors $x^{p-1} \equiv 1 \; [p]$.\\
  5. Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. On pose $n = pq$.\\
    1. Montrer que pour tout $x \in \Z$ tel que $x \wedge n = 1$, on a $x^{(p-1)(q-1)} \equiv 1 \; [n]$.\\
    2. Montrer que si $k \equiv 1 \; [(p-1)(q-1)]$, alors pour tout $x \in \Z$, $x^k \equiv x \; [n]$.\\
Exercice 3168. \\
  1. Soit $a$ et $r$ deux entiers relatifs premiers entre eux. Montrer qu'il existe $k \in \mathbb{N}^*$ tel que \[ a^k \equiv 1 \pmod{r}. \]
  2. Soit $a$ et $r$ deux entiers avec $a > r \geqslant 2$. Montrer que la progression arithmétique de premier terme $a$ et de raison $r$ contient une infinité de termes ayant tous les mêmes diviseurs premiers.
Exercice 3169. Pour $n \geqslant 1$, on note $r_n$ la probabilité pour que deux entiers choisis aléatoirement dans $\llbracket 1,n \rrbracket^2$ soient premiers entre eux. D'autre part, on définit la fonction de Möbius $\mu:\mathbb{N}^* \to \mathbb{Z}$ de la manière suivante : \[ \mu(1)=1,\quad \mu(n)=0 \;\; \text{si } n \text{ est divisible par le carré d'un nombre premier,} \] et \[ \mu(p_1\cdots p_r)=(-1)^r \] si les $p_i$ sont des nombres premiers deux à deux distincts.\\
  1. Montrer que \[ r_n=\Frac{1}{n^2}\Sum_{d=1}^{n}\mu(d)\,\mathrm{E}\left(\Frac{n}{d}\right)^2. \]
  2. Calculer \[ \Sum_{d \mid n}\mu(d). \]
  3. Montrer que \[ \lim_{n \to +\infty}r_n=\Frac{6}{\pi^2}. \]
Exercice 3170. Soient $p$ et $q$ deux éléments de $\N^*$ avec $p > q$. On suppose que le quotient \[ \frac{p^2 + q^2}{p^2 - q^2} \] est un entier.\\
  1. Montrer que l’on peut se ramener au cas où $p \wedge q = 1$.\\
  2. Montrer que $(p^2 - q^2) \wedge p^2 = 1$.\\
  3. En déduire que $p^2 - q^2$ divise $2$.\\
  4. Aboutir à une contradiction. Qu’a-t-on montré ?
Exercice 3171. Soient $a$ et $b$ deux entiers premiers entre eux tels que $ab$ est un carré parfait. Montrer que $a$ et $b$ sont deux carrés parfaits.