Exercices divers

1. Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication des matrices carrées. Préciser l’élément neutre.\\
2. Est-ce que $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ ?

1. Former la matrice de $p$ dans $B$.
2. En déduire les matrices, dans $B$, de $q$ et de $s$.

1. Établir l’existence de colonnes $X,Y \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$ vérifiant $A=X\,{}^tY$.\\
2. En déduire l’existence de $\lambda \in K$ tel que $A^2=\lambda A$.

1. Montrer que $A$ est inversible si, et seulement si, $B$ l’est.\\
2. Calculer $B^p$ pour tout $p \in \mathbb{N}$.

1. Déterminer noyau et image de l'endomorphisme $\varphi$.\\
2. Préciser ces espaces quand $D$ est à coefficients diagonaux distincts.

1. Montrer, pour toute $A\in M_{n,p}(\mathbb{C})$ : $\mathrm{rg}(\overline{A})=\mathrm{rg}(A)$.\\
2. En déduire, pour toute $A\in M_n(\mathbb{C})$ : \[ \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A)\quad\mathrm{et}\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A). \]
3. 1. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=2. \]
   2. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=1. \]

1. En notant $I=I_3$ et\\ \[ U= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \] montrer :\\ \[ \forall a\in\R,\qquad M(a)=I+aU+\Frac{a^2}{2}U^2. \]
2. Montrer que l'application $M:\R\to G$, $a\mapsto M(a)$ est bijective et que :\\ \[ \forall(a,b)\in\R^2,\qquad M(a+b)=M(a)M(b). \]
3. En déduire que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$ pour la multiplication.\\
4. Exprimer $(M(a))^k$ pour tout $a\in\R$ et tout $k\in\Z$

1. On suppose que $A$ est inversible. Montrer que les matrices $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique, c’est-à-dire \[ \chi_{AB}=\chi_{BA} \]
2. On suppose que $A$ n’est pas inversible. Montrer que pour $p$ entier suffisamment grand, la matrice \[ A-\frac{1}{p}I_n \] est inversible. Montrer alors que \[ \chi_{AB}=\chi_{BA} \]

1. Soit $f \in \mathcal{M}_n(K)^*$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$. Montrer qu’il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que, pour tout $X \in \mathcal{M}_n(K)$, \[ f(X)=\mathrm{tr}(AX). \]
2. Déterminer les éléments $f \in \mathcal{M}_n(K)^*$ tels que, pour tous $X,Y \in \mathcal{M}_n(K)$, \[ f(XY)=f(YX). \]

1. Soit $f \in \mathcal{M}_n(K)^*$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(K)$. Montrer qu’il existe $A \in \mathcal{M}_n(K)$ telle que, pour tout $X \in \mathcal{M}_n(K)$, \[ f(X)=\mathrm{tr}(AX). \]
2. Déterminer les éléments $f \in \mathcal{M}_n(K)^*$ tels que, pour tous $X,Y \in \mathcal{M}_n(K)$, \[ f(XY)=f(YX). \]

1. Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_4(\C)$. Déterminer une base de $E$ et $\dim(E)$. \\
2. Démontrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de $M_4(\C)$. \\
3. Résoudre l'équation $X^2=I_4$ d'inconnue $X\in E$.

1. Montrer que \[ A= \begin{pmatrix} -1&-4\\ 1&3 \end{pmatrix} \] n'est pas diagonalisable. Déterminer une matrice $P\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{Z})$ telle que \[ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} a&b\\ 0&c \end{pmatrix}. \]
2. Résoudre \[ \begin{cases} x'=-x-4y\\ y'=x+3y \end{cases}. \]

1. Montrer qu’il existe des matrices $U,V \in \mathcal{M}_{n,1}(K)$ telles que $H=U\,{}^tV$.\\
2. En déduire \[ H^2=\tr(H)H. \]
3. On suppose $\tr(H) \neq -1$.\\ Montrer que $I_n+H$ est inversible et \[ (I_n+H)^{-1}=I_n-\frac{1}{1+\tr(H)}H. \]
4. Soit $A \in \mathrm{GL}_n(K)$ telle que $\tr(HA^{-1}) \neq -1$.\\ Montrer que $A+H$ est inversible et \[ (A+H)^{-1}=A^{-1}-\frac{1}{1+\tr(HA^{-1})}A^{-1}HA^{-1}. \]

1. On note $\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n,2n}(K)$ la matrice obtenue en accolant les colonnes de $B$ à droite de celles de $A$.\\ Montrer que \[ \rg\begin{pmatrix} A & B \end{pmatrix}=\rg(A) \Longleftrightarrow \exists U \in \mathcal{M}_n(K),\quad B=AU. \]
2. On note $\begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n,n}(K)$ la matrice obtenue en accolant les lignes de $C$ en dessous de celles de $A$.\\ Montrer que \[ \rg\begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix}=\rg(A) \Longleftrightarrow \exists V \in \mathcal{M}_n(K),\quad C=VA. \]
3. En déduire \[ \rg\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\rg(A) \Longleftrightarrow \exists U,V \in \mathcal{M}_n(K),\quad \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & AU \\ VA & VAU \end{pmatrix}. \]

1. Montrer que pour toute colonne $Y \in \mathcal{M}_{n-r,1}(K)$, il existe une colonne $X \in \mathcal{M}_{r,1}(K)$ telle que \[ M \begin{pmatrix} O_r\\ Y \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} X\\ O_{n-r} \end{pmatrix}. \]
2. En déduire que \[ D=CA^{-1}B. \]

1. On suppose que pour tout \[ x\in E \] la famille \[ (x,u(x)) \] est liée. Montrer que $u$ est une homothétie.
2. Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à coefficients diagonaux tous nuls.
3. Montrer que sont équivalents pour \[ A\in \mathcal{M}_n(K) : \] \[ (i)\quad \mathrm{tr}(A)=0, \] \[ (ii)\quad \exists (U,V)\in \mathcal{M}_n(K)^2,\quad A=UV-VU. \]

1. Prouver que \[ \chi_f(X)=a_0+a_1X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^n. \]
2. Déterminer tous les endomorphismes \[ g\in \mathcal{L}(K^n) \] qui commutent avec $f$.
3. On dit qu'un complexe $\alpha$ est un entier algébrique si et seulement s'il existe \[ P\in \Z[X] \] unitaire tel que \[ P(\alpha)=0. \] Soit un tel complexe, montrer que \[ \alpha^q \] reste un entier algébrique pour tout \[ q\in \N^*. \]

1. Soit $A\in \mathcal{A}_n(\R)$. Montrer que le spectre complexe de $A$ est inclus dans $i\R$.
2. Soit $S\in \mathcal{S}_n(\R)^{++}$. Montrer l’existence de $T\in \mathcal{S}_n(\R)^{++}$ telle que \[ S=T^2 \]
3. Soit $A\in \mathcal{A}_n(\R)$ et $S\in \mathcal{S}_n(\R)^{++}$. Prouver que \[ \det(A+S)\geqslant \det(S) \]

1. Soit $S$ une matrice symétrique. Montrer l’équivalence entre les énoncés suivants : \\ (i) $S$ est une matrice symétrique définie positive. \\ (ii) Les valeurs propres de $S$ sont strictement positives.
2. Montrer que si $S$ est une matrice symétrique définie positive, il existe une unique matrice symétrique définie positive $T$ telle que \[ T^2=S \]
3. Soit $A$ une matrice inversible. Montrer que la matrice \[ A^{\top}A \] est symétrique définie positive.
4. Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu’il existe un unique couple $(\Omega,H)$ de matrices tel que $\Omega$ soit orthogonale et $H$ symétrique définie positive avec \[ A=\Omega H \]

1. Montrer que si $A$ est triangulaire alors elle est à diagonale propre.
2. Une matrice à diagonale propre est-elle nécessairement diagonale, triangulaire ?
3. Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_2(\R)$ à diagonale propre.
4. Écrire un programme Python testant si une matrice de $\mathcal{M}_3(\R)$ est à diagonale propre avec un seuil de $10^{-5}$ pour tester les égalités de réels.
5. Soit $A\in \mathcal{S}_n(\R)$. Exprimer $\mathrm{Tr}(A^{\top}A)$ de deux façons différentes, dont l’une à l’aide des valeurs propres de $A$. En déduire que $A$ est à diagonale propre si, et seulement si, elle est diagonale.
6. Soit $A\in \mathcal{A}_n(\R)$ à diagonale propre. Déterminer le spectre de $A$. En considérant $A^2$, montrer que \[ A=0 \]

1. Montrer que $O_S$ est bornée dans $\mathcal{M}_n(\R)$ pour tout $S\in \mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Qu’en déduire pour $\mathcal{E}$ ?
2. Montrer que \[ PMP^{-1}\in \mathcal{E} \] pour tout $M\in \mathcal{E}$ et tout $P\in \mathrm{GL}_n(\R)$.
3. Déterminer les matrices $M\in \mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ \{PMP^{-1}\mid P\in \mathrm{GL}_n(\R)\} \] soit borné.
4. En déduire que \[ \mathcal{E}=\{I_n,-I_n\} \]

1. Trouver une matrice triangulaire supérieure $T$ telle que \[ A=T^{\top}T \]
2. Montrer que $A$ est inversible.
3. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont réelles strictement positives.
4. Soit $\alpha$ la plus petite valeur propre de $A$ et $\beta$ la plus grande. Montrer que \[ \alpha\leqslant \left(\frac{2}{n+1}\right)^{\frac{1}{n-1}}\leqslant \frac{n+1}{2}\leqslant \beta \]
5. Calculer l’inverse de $A$.

1. Démontrer que les propriétés de positivité, d'homogénéité et de séparation sont vraies.\\
2. Pour démontrer l'inégalité triangulaire, on considère, pour $(U,V) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})^2$, la fonction \[ P : x \mapsto \|U+xV\|^2. \] Exprimer $P$ comme un polynôme de degré $2$ en $x$.\\
3. En étudiant le signe de $P$, en déduire l'inégalité de Cauchy-Schwarz \[ \forall (U,V) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})^2,\quad \mathrm{Tr}(U^TV) \leqslant \|U\|\,\|V\|. \]
4. En déduire l'inégalité triangulaire.\\
5. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Démontrer que si $(A_1,\ldots,A_n)$ sont les colonnes de $A$ et $(B_1,\ldots,B_n)$ celles de $B$, alors \[ \|AB\|_{n,n}^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\mathrm{Tr}(A_i^TB_j)^2. \]
6. En déduire que lorsque l'on considère des matrices carrées, la norme $\|.\|$ est une norme d'algèbre, c'est-à-dire que \[ \forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2,\quad \|AB\| \leqslant \|A\|\,\|B\|. \]
7. Démontrer, en cherchant un exemple pour $n=2$, que l'on n'a en général pas égalité entre $\|AB\|$ et $\|A\|\,\|B\|$.\\
8. On dit qu'une suite de matrices $(X_k)_{k \in \mathbb{N}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^{\mathbb{N}}$ converge vers une matrice $A$ si elle converge coefficient par coefficient, c'est-à-dire si \[ \forall (i,j) \in \llbracket 1,n \rrbracket^2,\quad [X_k]_{ij} \to [A]_{ij}. \] Démontrer que si \[ M=\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}, \] alors la suite $(M^k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers une matrice dont on précisera les coefficients.\\
9. Démontrer que $(X_k)_{k \in \mathbb{N}} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^{\mathbb{N}}$ converge vers $A$ si, et seulement si, \[ \|X_k-A\| \to 0. \]
10. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible. On pose \[ X_0 \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \quad et \quad \forall k \in \mathbb{N},\quad X_{k+1}=X_k(2I_n-AX_k). \] On pose également \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad W_k=I_n-X_kA. \] Montrer que $(W_k)_{k \in \mathbb{N}}$ vérifie \[ \forall k \in \mathbb{N},\quad W_{k+1}=W_k^2, \] puis en déduire une expression de $W_k$ pour tout $k \in \mathbb{N}$.\\
11. En déduire que la méthode de Newton pour les matrices converge localement, c'est-à-dire qu'il existe $\varepsilon > 0$ tel que pour tout $X_0$ tel que \[ \|I_n-X_0A\| \leqslant \varepsilon, \] alors la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $A^{-1}$.\\
12. Dans cette question, on suppose que $A$ est à diagonale strictement dominante, c'est-à-dire que \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad |a_{ii}|>\sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n\\j \neq i}} |a_{ij}|. \] Démontrer que $A$ est inversible.\\
13. On suppose maintenant que $A$ est à diagonale fortement dominante, c'est-à-dire que \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad |a_{ii}|>n\sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n\\j \neq i}} |a_{ij}|. \] Démontrer qu'en prenant \[ X_0=\begin{pmatrix} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \frac{1}{a_{22}} & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & \frac{1}{a_{nn}} \end{pmatrix}, \] alors la suite $(X_k)_{k \in \mathbb{N}}$ définie précédemment converge vers $A^{-1}$

Exercice 4872. Mines 1998

1. L'ensemble $\mathcal{R}_n(p)$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?\\
2. Soit $A \in \mathcal{R}_n(p)$. Montrer que $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, et que $A^{-1} \in \mathcal{R}_n(p)$.\\
3. Soit $A \in \mathcal{R}_n(p)$ et $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, montrer que $P^{-1}AP \in \mathcal{R}_n(p)$.\\
4. Déterminer toutes les matrices diagonales appartenant à $\mathcal{R}_n(p)$. Combien y en a-t-il ?\\
5. Que vaut $\mathcal{R}_n(12)\cap \mathcal{R}_n(15)$ ? On justifiera la réponse donnée. \\

1. Soit $A \in \mathcal{R}_2(2)$, avec $A \neq I_2$ et $A \neq -I_2$, et $f$ l'application linéaire canoniquement associée à la matrice $A$. Que peut-on dire de $f$ ?\\
2. En déduire que $\ker(f-\mathrm{id}) \oplus \ker(f+\mathrm{id})=\mathbb{R}^2$, et qu'il existe une base de $\mathbb{R}^2$ dans laquelle la matrice de $f$ est égale à \[ \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \]
3. Montrer qu'il existe quatre réels $a$, $b$, $c$ et $d$ tels que $ad-bc \neq 0$ et \[ A=\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} ad+bc & -2ab\\ 2cd & -ad-bc \end{pmatrix}. \]
4. Montrer que $\mathcal{R}_2(2)$ n'est pas un groupe pour l'opération de multiplication des matrices. Interpréter géométriquement ce résultat. \\

1. Montrer que $F \cap G=\{0\}$.\\
2. Soit $u \in \mathbb{R}^2$, en utilisant les vecteurs \[ v_1=\frac{1}{3}(u+g(u)+g^2(u)) \quad et \quad v_2=\frac{1}{3}(2u-g(u)-g^2(u)), \] montrer que $F \oplus G=\mathbb{R}^2$.\\
3. Que peut-on dire de $g$ et de $M$ si $\dim(F)=2$ ?\\
4. On suppose dans cette question que $\dim(F)=1$. Montrer alors l'existence d'une base $(e_1,e_2)$ de $\mathbb{R}^2$ telle que $F=\mathrm{Vect}(e_1)$ et $G=\mathrm{Vect}(e_2)$. En considérant alors le vecteur $g^2(e_2)+g(e_2)+e_2$, aboutir à une contradiction.\\
5. On suppose enfin $\dim(F)=0$. Montrer que $((1,0),g(1,0))$ est une base de $\mathbb{R}^2$.\\
6. En déduire l'existence de deux réels $a$ et $b$ tels que \[ M=\frac{1}{b} \begin{pmatrix} ab & -1-a-a^2\\ b^2 & -ab-b \end{pmatrix}. \]

1. Montrer que $M$ est semblable à une matrice n’ayant que des $0$ sur la diagonale principale.\\
2. Montrer qu’il existe $X,Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ tels que \[ M=XY-YX. \]

Exercice 4874. X ENS

1. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \geqslant 0$ si et seulement si pour tout vecteur colonne $X$ on a : $X \geqslant 0 \Rightarrow AX \geqslant 0$. \\
2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est monotone si et seulement si pour tout vecteur colonne $X$ on a : $AX \geqslant 0 \Rightarrow X \geqslant 0$. \\
3. Soit $(c_1,\ldots,c_n) \in (\mathbb{R}_+)^n$. Montrer que la matrice \[ \begin{pmatrix} 2+c_1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2+c_2 & -1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & -1 & 2+c_{n-1} & -1 \\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 2+c_n \end{pmatrix} \] est monotone. \\
4. Déterminer les matrices qui sont à la fois positives et monotones.

Exercice 4875. X ENS

1. Montrer que pour tout $k$, $A^k$ est strictement stochastique. \\
2. Montrer que $\alpha_j^{(k)} \leqslant \alpha_j^{(k+1)} \leqslant \beta_j^{(k+1)} \leqslant \beta_j^{(k)}$ et $\delta_j^{(k+1)} \leqslant (1-2\varepsilon)\delta_j^{(k)}$. \\
3. En déduire la convergence de $(A^k)$.

Exercice 4876. X PC

1. Quel est le cardinal de $\mathcal{M}_n(\{-1,1\})$ ? Cet ensemble est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$ ?\\
2. Montrer que, pour toute matrice $A$ dans $\mathcal{M}_n(\{-1,1\})$, l'ensemble $S(A)$ est inclus dans $\{-n^2,\ldots,n^2\}$. Montrer que l'inclusion est stricte, puis montrer que $S(A)$ est un ensemble symétrique, au sens où un entier $k$ est dans $S(A)$ si et seulement si $-k$ est dans $S(A)$.\\
3. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\{-1,1\})$. On suppose qu'il existe des matrices diagonales $C$ et $D$ ne contenant que des $1$ et des $-1$ sur la diagonale, telles que $B=CAD$. Montrer que $S(A)=S(B)$.\\
4. Dans cette question seulement, on suppose $n=2$, et on note \[ I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix} \qquad \mathrm{et} \qquad J=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}. \] Calculer $S(I)$ et $S(J)$, et en déduire $S(A)$ pour toute $A \in \mathcal{M}_2(\{-1,1\})$.

1. Justifier qu’il existe $U,V \in \mathrm{GL}_n(K)$ tels que \[ \rg(UA+BV)=\min(n,\rg(A)+\rg(B)). \]
2. On suppose $\rg(A)+\rg(B) \geqslant n$.\\ Montrer qu’il existe $U,V \in \mathrm{GL}_n(K)$ tels que $UA+BV \in \mathrm{GL}_n(K)$.

1. Appliquer le théorème du rang à l'application linéaire $A$.\\
2. Effectuer l'application numérique dans le cas suivant : on donne la liste $(E_1,\dots,E_{2^n})$ de toutes les parties possibles de $\llbracket 1,n\rrbracket$ et on pose : \[ \forall (i,j)\in \llbracket 1,2^n\rrbracket^2,\quad A_{i,j}= \begin{cases} 1 & \mathrm{si}\ E_i\cap E_j\neq \varnothing,\\ 0 & \mathrm{sinon}. \end{cases} \]

1. Existe-t-il une norme $N$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que \[ \forall A\in \mathcal{M}_n(\R),\forall P\in \mathrm{GL}_n(\R),\quad N(AP)=N(PA) \, ? \] On appelle semi-norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$ une application $N:\mathcal{M}_n(\R)\to \R_+$ telle que \[ \forall (A,B)\in \mathcal{M}_n(\R)^2,\quad N(A+B)\leqslant N(A)+N(B) \] et \[ \forall (\lambda,A)\in \R\times \mathcal{M}_n(\R),\quad N(\lambda A)=|\lambda|N(A). \] On note $\mathcal{G}$ l'ensemble des semi-normes $N$ telles que \[ \forall (A,P)\in \mathcal{M}_n(\R)\times \mathrm{GL}_n(\R),\quad N(AP)=N(PA). \]
2. Montrer que $A\mapsto |\mathrm{tr}(A)|$ appartient à $\mathcal{G}$.
3. Soient $N$ une semi-norme et $(A,B)\in \mathcal{M}_n(\R)^2$ avec $N(B)=0$. Montrer que \[ N(A+B)=N(A). \]
4. Montrer que toute semi-norme $N$ est continue.
5. Montrer qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
6. Montrer que \[ \{A\in \mathcal{M}_n(\R)\mid \mathrm{tr}(A)=0\}\subset \{A\in \mathcal{M}_n(\R)\mid \forall N\in \mathcal{G},\; N(A)=0\}. \]
7. En déduire $\mathcal{G}$.

1. Rappeler la valeur du produit \[ E_{i,j}E_{k,\ell}. \]
2. On suppose par l'absurde que $H$ ne contient pas l'identité. Démontrer que \[ M^2\in H\Longrightarrow M\in H, \] et en déduire une contradiction.
3. On suppose \[ n=2. \] Montrer que $H$ est isomorphe en tant qu'algèbre à l'ensemble \[ T_2(\C) \] des matrices triangulaires supérieures d'ordre $2$.