Exercices divers

Exercice 3848. Soient $D=\mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et\\ \[ \varphi : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\quad M \mapsto DM - MD. \]
  1. Déterminer noyau et image de l'endomorphisme $\varphi$.\\
  2. Préciser ces espaces quand $D$ est à coefficients diagonaux distincts.
Exercice 3849. Soient $n \in \N^*$ et $E$ l'ensemble des matrices $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\mathbb{K})$ telles que :\\ \[ \forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2,\quad \Bigl(i > j \Rightarrow a_{ij}=0\Bigr)\quad\mathrm{et}\quad \Bigl(i=j \Rightarrow a_{ii}=1\Bigr). \] Montrer que $E$ est un groupe multiplicatif
Exercice 3850. On note, pour tout $(a,t)\in \R_+^*\times \R$ :\\ \[ M(a,t)= \begin{pmatrix} a\ch t & -a\sh t\\ -a\sh t & a\ch t \end{pmatrix}. \] On pose $G=\{M(a,t)\,;\,(a,t)\in \R_+^*\times \R\}$.\\ Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication
Exercice 3851. Soient \[ K=\R \mathrm{\ ou\ } \C,\quad E \] un $K$-espace de dimension finie \[ n\geqslant 2 \] et \[ u\in \mathcal{L}(E). \]
  1. On suppose que pour tout \[ x\in E \] la famille \[ (x,u(x)) \] est liée. Montrer que $u$ est une homothétie.
  2. Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice à coefficients diagonaux tous nuls.
  3. Montrer que sont équivalents pour \[ A\in \mathcal{M}_n(K) : \] \[ (i)\quad \mathrm{tr}(A)=0, \] \[ (ii)\quad \exists (U,V)\in \mathcal{M}_n(K)^2,\quad A=UV-VU. \]
Exercice 3852. Exemple de groupe multiplicatif de matrices carrées d’ordre trois, qui n’est pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$.\\ On note, pour tout $(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^*$ : $M(a,b)=\begin{pmatrix}1&a&a\\0&b&b\\0&b&b\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_3(\mathbb{R})$.\\
  1. Montrer que $G$ est un groupe pour la multiplication des matrices carrées. Préciser l’élément neutre.\\
  2. Est-ce que $G$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_3(\mathbb{R})$ ?
Exercice 3853. Soit $n\geqslant 2$.\\
  1. Existe-t-il une norme $N$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que \[ \forall A\in \mathcal{M}_n(\R),\forall P\in \mathrm{GL}_n(\R),\quad N(AP)=N(PA) \, ? \] On appelle semi-norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$ une application $N:\mathcal{M}_n(\R)\to \R_+$ telle que \[ \forall (A,B)\in \mathcal{M}_n(\R)^2,\quad N(A+B)\leqslant N(A)+N(B) \] et \[ \forall (\lambda,A)\in \R\times \mathcal{M}_n(\R),\quad N(\lambda A)=|\lambda|N(A). \] On note $\mathcal{G}$ l'ensemble des semi-normes $N$ telles que \[ \forall (A,P)\in \mathcal{M}_n(\R)\times \mathrm{GL}_n(\R),\quad N(AP)=N(PA). \]
  2. Montrer que $A\mapsto |\mathrm{tr}(A)|$ appartient à $\mathcal{G}$.
  3. Soient $N$ une semi-norme et $(A,B)\in \mathcal{M}_n(\R)^2$ avec $N(B)=0$. Montrer que \[ N(A+B)=N(A). \]
  4. Montrer que toute semi-norme $N$ est continue.
  5. Montrer qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
  6. Montrer que \[ \{A\in \mathcal{M}_n(\R)\mid \mathrm{tr}(A)=0\}\subset \{A\in \mathcal{M}_n(\R)\mid \forall N\in \mathcal{G},\; N(A)=0\}. \]
  7. En déduire $\mathcal{G}$.
Exercice 3854. Soit $(n,p)\in(\mathbb{N}^*)^2$. On note, pour toute $A=(a_{ij})_{i,j}\in M_{n,p}(\mathbb{C})$ : \[ \overline{A}=(\overline{a_{ij}})_{i,j},\quad \mathrm{Re}(A)=(\mathrm{Re}(a_{ij}))_{i,j},\quad \mathrm{Im}(A)=(\mathrm{Im}(a_{ij}))_{i,j}, \] qui sont dans $M_{n,p}(\mathbb{C})$.\\
  1. Montrer, pour toute $A\in M_{n,p}(\mathbb{C})$ : $\mathrm{rg}(\overline{A})=\mathrm{rg}(A)$.\\
  2. En déduire, pour toute $A\in M_n(\mathbb{C})$ : \[ \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A)\quad\mathrm{et}\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))\leqslant 2\,\mathrm{rg}(A). \]
    1. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=2. \]
    2. Donner un exemple de $A\in M_2(\mathbb{C})$ telle que : \[ \mathrm{rg}(A)=2,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Re}(A))=1,\quad \mathrm{rg}(\mathrm{Im}(A))=1. \]
Exercice 3855. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $A=(a_{ij})_{i,j}\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice bistochastique, c'est-à-dire telle que : \[ \left\{ \begin{array}{l} \forall (i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\quad a_{ij}\geqslant 0,\\ \forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad \Sum_{j=1}^n a_{ij}=1,\\ \forall j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad \Sum_{i=1}^n a_{ij}=1 \end{array} \right. \] Soit $X=(x_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in M_{n,1}(\mathbb{R})$ telle que : \[ \forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad x_i\geqslant 0. \] On note $Y=AX=(y_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\in M_{n,1}(\mathbb{R})$.\\ Démontrer : \[ \Prod_{i=1}^n y_i\geqslant \Prod_{i=1}^n x_i \]
Exercice 3856. On note, pour tout $a\in\R$ :\\ \[ M(a)= \begin{pmatrix} 1 & a & a\\ a & 1+\Frac{a^2}{2} & \Frac{a^2}{2}\\ -a & -\Frac{a^2}{2} & 1-\Frac{a^2}{2} \end{pmatrix}\in M_3(\R), \] et $G=\{M(a)\,;\,a\in\R\}$.\\
  1. En notant $I=I_3$ et\\ \[ U= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \] montrer :\\ \[ \forall a\in\R,\qquad M(a)=I+aU+\Frac{a^2}{2}U^2. \]
  2. Montrer que l'application $M:\R\to G$, $a\mapsto M(a)$ est bijective et que :\\ \[ \forall(a,b)\in\R^2,\qquad M(a+b)=M(a)M(b). \]
  3. En déduire que $G$ est un sous-groupe de $GL_3(\R)$ pour la multiplication.\\
  4. Exprimer $(M(a))^k$ pour tout $a\in\R$ et tout $k\in\Z$
Exercice 3857. Soient $n\in\N^*$ et $A\in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si \[ \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^2)=\cdots =\mathrm{tr}(A^n)=0. \]
Exercice 3858. Soient $n\geqslant 2$ et $H$ un hyperplan de $\mathcal{M}_n(\C)$ stable par produit.\\
  1. Rappeler la valeur du produit \[ E_{i,j}E_{k,\ell}. \]
  2. On suppose par l'absurde que $H$ ne contient pas l'identité. Démontrer que \[ M^2\in H\Longrightarrow M\in H, \] et en déduire une contradiction.
  3. On suppose \[ n=2. \] Montrer que $H$ est isomorphe en tant qu'algèbre à l'ensemble \[ T_2(\C) \] des matrices triangulaires supérieures d'ordre $2$.
Exercice 3859. Soient $n\in\N^*$, $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que \[ AB-BA=B. \]
  1. Montrer que $B$ n'est pas inversible.
  2. Simplifier \[ AB^k-B^kA \] pour tout \[ k\in \N. \] En déduire que $B$ est nilpotente.
  3. Variante : on suppose maintenant que \[ AB^2-B^2A=B. \] Montrer que $B$ est nilpotente.
Exercice 3860. Soient \[ n\geqslant 2,\quad (a_0,\dots,a_{n-1})\in K^n \] et \[ f\in \mathcal{L}(K^n) \] canoniquement associé à la matrice compagnon \[ M= \begin{pmatrix} 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_0\\ 1 & \ddots & & \vdots & -a_1\\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 & -a_{n-2}\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}. \] La notation $\chi$ désignera le polynôme caractéristique.\\
  1. Prouver que \[ \chi_f(X)=a_0+a_1X+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^n. \]
  2. Déterminer tous les endomorphismes \[ g\in \mathcal{L}(K^n) \] qui commutent avec $f$.
  3. On dit qu'un complexe $\alpha$ est un entier algébrique si et seulement s'il existe \[ P\in \Z[X] \] unitaire tel que \[ P(\alpha)=0. \] Soit un tel complexe, montrer que \[ \alpha^q \] reste un entier algébrique pour tout \[ q\in \N^*. \]
Exercice 3861. Soient $A,B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ à coefficients réels. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\C)$, montrer qu'elles sont semblables dans $\mathcal{M}_n(\R)$.
Exercice 3862. Soient \[ K=\R \mathrm{\ ou\ } \C,\quad n\in \N^*,\quad A,B\in \mathcal{M}_n(K) \] telles qu'il existe \[ n+1 \] valeurs de \[ \lambda\in K \] pour lesquelles \[ A+\lambda B \] est nilpotente. Prouver que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
Exercice 3863. Soient $n \in \N^*$ et $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$. Soit $M \in G$ telle que \[ \mathrm{tr}(M)=n. \] Montrer que \[ M=I_n. \]
Exercice 3864. Soient $n \geqslant 2$, $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$ et $\|\!|\!|\cdot \|\!|\!|$ la norme subordonnée associée. Déterminer les sous-groupes de $(\mathrm{GL}_n(\C),\times)$ qui sont inclus dans la boule fermée de centre $I_n$ et de rayon $\Frac{1}{2}$ pour la norme $\|\!|\!|\cdot \|\!|\!|$.
Exercice 3865. Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées d’ordre $n$.\\
  1. On suppose que $A$ est inversible. Montrer que les matrices $AB$ et $BA$ ont même polynôme caractéristique, c’est-à-dire \[ \chi_{AB}=\chi_{BA} \]
  2. On suppose que $A$ n’est pas inversible. Montrer que pour $p$ entier suffisamment grand, la matrice \[ A-\frac{1}{p}I_n \] est inversible. Montrer alors que \[ \chi_{AB}=\chi_{BA} \]