Nombres premiers

Exercice 1636. \\

1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. \\
2. 1. Montrer que si un entier $n$ est congru à $3$ modulo $4$, alors il admet un facteur premier congru à $3$ modulo $4$. \\
   2. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à $3$ modulo $4$.

Exercice 1637. Soit $p \geqslant 2$ un nombre premier. \\

1. Montrer que pour tout $k \in \llbracket 1,p-1 \rrbracket$, on a $p \mid \binom{p}{k}$. \\
2. En déduire une autre preuve du petit théorème de Fermat : pour tout $n \geqslant 1$, $n^p \equiv n \; [p]$. \\

Exercice 1638. Soit $p$ un nombre premier et $k \in \{1,\ldots,p-1\}$. \\ Montrer que $p$ divise $\displaystyle \binom{p-1}{k} - (-1)^k$.

Exercice 1639. On note $A$ l’ensemble des nombres premiers de la forme $4k-1$, où $k \in \mathbb{N}^*$. \\ Montrer que $A$ est infini.