Nombres premiers

Exercice 1203. Preuve d’Euler de l’infinitude des nombres premiers.\\
  1. Montrer que chaque entier $n$ est décomposable de manière unique sous la forme $n=qm^2$ où $q$ est sans facteur carré autre que $1$.\\
  2. Montrer que $\Sum_{m=1}^{+\infty}\Frac{1}{m^2}\leqslant 2$.\\
  3. Montrer que $\Sum_{q\leqslant x}\Frac{1}{q}\leqslant \prod_{p\leqslant x}\left(1+\Frac{1}{p}\right)\leqslant \exp\left(\sum_{p\leqslant x}\Frac{1}{p}\right)$.\\
  4. Justifier la minoration $\Sum_{n\leqslant x}\Frac{1}{n}\geqslant \ln x$.\\
  5. Conclure que $\Sum_{p\leqslant x}\Frac{1}{p}\geqslant \ln(\ln x)-\ln 2$ et en déduire que la série des inverses des nombres premiers diverge.