Exercices divers

Exercice 3244. Pour tout $x \in \mathbb{Z}$ et tout premier $p$, on note $x_p$ le résidu de $x$ modulo $p$. Soit $a$ et $b$ deux entiers positifs tels que pour tout $p$ premier, \[ a_p \leqslant b_p. \]
  1. Montrer que $a \leqslant b$.\\
  2. On désire montrer que $a=b$. Raisonnons par l'absurde et supposons $a < b$. On note \[ A=1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (a-1)a \] et \[ B=(b-a+1)\cdot (b-a+2)\cdot \ldots \cdot (b-1)b. \]
    1. Montrer que si $p > a$, alors pour tout $k \geqslant 1$, le nombre de facteurs de $A$ divisibles par $p^k$ est égal à celui de $B$ ou à ce nombre plus $1$.\\
    2. En déduire que si $p > a$, alors la valuation $p$-adique de $A$ et celle de $B$ sont égales.\\
    3. On note $t(p)$ le plus grand entier $k$ tel que le nombre de facteurs de $B$ divisibles par $p^k$ soit non nul. Prouver que \[ \mathrm{C}_b^a=\Frac{B}{A} \] divise \[ \Prod_{p \leqslant a}p^{t(p)-1}. \]
    4. On suppose de plus $a \leqslant \Frac{b}{2}$. Aboutir à une contradiction.\\
    5. Prouver, en utilisant la question précédente, que l'on aboutit également à une contradiction si \[ \Frac{b}{2} < a < b. \]
Exercice 3245. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on écrit \[ n=\Sum_{q=0}^{+\infty}\varepsilon_q(n)2^q \] où pour tout $q \geqslant 0$, $\varepsilon_q(n) \in \{0,1\}$ et $\varepsilon_q(n)$ est nul pour $q$ assez grand.\\
  1. Pour $n \geqslant 1$, on note \[ s(n)=\Sum_{q=0}^{+\infty}\varepsilon_q(n) \] et $\nu(n)$ le plus petit entier $q$ tel que $\varepsilon_q(n)=1$. Montrer que \[ \nu(n)=1+s(n-1)-s(n), \] puis que \[ \nu(n!)=n-s(n). \]
  2. Soit $r \geqslant 1$ et \[ D:\mathbb{N}^r \to \mathbb{N}^r \] définie par \[ D(a_1,\dots,a_r)=\big(|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{r-1}-a_r|,|a_r-a_1|\big). \] Montrer qu'il y a équivalence entre :\\
    1. pour tout $a \in \mathbb{N}^r$, la suite $(D^n(a))_{n \geqslant 0}$ stationne à $0$,\\
    2. $r$ est une puissance de $2$.
    On pourra utiliser le $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-espace vectoriel $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$.
Exercice 3246. On note toujours $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$.\\ Pour $p \in \mathbb{N}^*$, on pose \[ f(p)=\sup\{n \in \mathbb{N}^*,\ \sigma(n) \leqslant p\}. \] Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, l'équation \[ p-f(p)=k \] a une infinité de solutions.
Exercice 3247.
  1. Une fonction $f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite complètement multiplicative si pour tout $(a,b) \in (\mathbb{N}^*)^2$, on a \[ f(ab)=f(a)f(b). \] Déterminer toutes les applications complètement multiplicatives. Quelles sont celles qui sont croissantes ?\\
  2. Une application $f:\mathbb{N}^* \to \mathbb{R}$ est dite multiplicative si on a \[ f(ab)=f(a)f(b) \] lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Montrer qu'une application multiplicative croissante est complètement multiplicative.
Exercice 3248. Soit $n \in \mathbb{N}$. On suppose que $n$ est la somme des carrés de trois rationnels. Montrer que $n$ est la somme des carrés de trois entiers.
Exercice 3249. Soit $n \in \mathbb{N}$, $\alpha \in \mathbb{N}$ avec $\alpha > n \geqslant 2$. Montrer que l'équation \[ x_1^2+\cdots+x_n^2=\alpha x_1\cdots x_n \] n'a pas de solution entière autre que \[ (0,\dots,0). \]
Exercice 3250. \\
  1. Soit $n \in \N$. Montrer que : \[ n \;\; est \;\; un \;\; carré \;\; dans \;\; \N \Longleftrightarrow \sqrt{n} \in \Q \]
  2. Soit $(a,b) \in \N^2$ avec $\sqrt{a}+\sqrt{b} \in \Q$. Montrer que $a$ et $b$ sont des carrés d'entiers.
Exercice 3251. Soit l'équation \[ (E) : ax^2+bx+c=0 \] où \[ (a,b,c) \in \Z^3 \qquad \text{avec} \qquad ac \neq 0 \] Montrer que si une des solutions de $(E)$ est rationnelle alors l'un au moins des coefficients est pair.
Exercice 3252. Soit $n$ un entier naturel non nul. Montrer que parmi $n$ entiers naturels donnés on peut toujours en trouver certains dont la somme est un multiple de $n$.
Exercice 3253. Résoudre dans $(\N^*)^3$, l'équation \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \]
Exercice 3254. Entiers ayant un multiple de la forme $111\ldots 1$.\\ Pour $n$ dans $\N^*$, on note $A_n$ l'ensemble des nombres entiers naturels ne s'écrivant qu'avec des $1$ en base $10$ et avec un maximum de $n$ chiffres $1$. On a donc : \\ \[ A_n=\{1,11,111,1111,\dots,\underbrace{11\ldots 1}_{n \; chiffres}\} \] Notons $\varphi_n$ l'application de $A_{n+1}$ dans $\{0,\dots,n-1\}$ telle que pour tout $x \in A_{n+1}$, $\varphi_n(x)$ soit le reste de la division euclidienne de $x$ par $n$.\\
  1. Montrer que $\varphi_n$ n'est pas injective. \\
  2. Montrer qu'il existe $x_1$ et $x_2$ dans $A_{n+1}$ distincts tels que $n$ divise $x_1-x_2$. \\
  3. En déduire que tout entier naturel $n$ se terminant par $1$, $3$, $7$ ou $9$ admet un multiple dont l'écriture en base $10$ ne comporte que des chiffres $1$. Que se passe-t-il pour les autres nombres entiers ?
Exercice 3255. Soit $\mathcal{P}$ l’ensemble des nombres premiers.\\ Si $A$ est un sous-anneau de $\Q$, on note \[ P(A)=\left\{p\in\mathcal{P}\mid \frac1p\in A\right\}. \]
  1. Montrer que si $A$ et $B$ sont deux sous-anneaux de $\Q$, alors \[ P(A)=P(B)\Longrightarrow A=B. \]
  2. Soit $P$ un sous-ensemble de $\mathcal{P}$. Déterminer un sous-anneau de $\Q$ tel que \[ P(A)=P. \]
Exercice 3256. Soit $n\in\N$. Calculer la $2$-valuation de $5^{2^n}-1$.
Exercice 3257. Soient $n\in\N^*$ et $p$ un nombre premier.\\
  1. Soit $\alpha\in\N$. Combien y a-t-il d’entiers dans $[\![1,n]\!]$ multiples de $p^\alpha$ ? Combien y a-t-il d’entiers de $p$-valuation égale à $\alpha$ ?\\
  2. En déduire que \[ v_p(n!)=\sum_{\alpha=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^\alpha}\right\rfloor. \]
  3. Combien de zéros consécutifs à partir de la droite est composé le nombre $1000!$ ?\\
  4. Montrer que pour tous $r$ et $s$ dans $\N$, le nombre \[ \frac{(2r)!(2s)!}{(r+s)!r!s!} \] est un entier.
Exercice 3258. Le but de l’exercice est de déterminer toutes les solutions dans $\mathbb{Z}^2$ de l’équation \[ x^3+7=y^2. \] Soit $(x,y)\in \mathbb{Z}^2$ une solution, s’il en existe.\\
  1. Démontrer que $x\equiv 1\ [4]$.\\
  2. Factoriser $X^3+8$ dans $\mathbb{Z}[X]$. En déduire que $y^2+1$ possède au moins un diviseur premier $p$ congru à $3$ modulo $4$. En déduire que $y^2\equiv -1\ [p]$.\\
  3. On considère le groupe $G=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^*$ des éléments inversibles de $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. En distinguant les éléments $a$ de $G$ suivant le cardinal de $\{a,-a,a^{-1},-a^{-1}\}$, montrer que le cardinal de $G$ est un multiple de $4$.\\
  4. Trouver une contradiction et conclure.
Exercice 3259. \\
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique couple d’entiers $(a_n,b_n)$ tel que \[ (1+\sqrt2)^n=a_n+b_n\sqrt2. \]
  2. Calculer \[ a_n^2-2b_n^2. \]
  3. Montrer que \[ a_n\wedge b_n=1. \]
Exercice 3260. Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{l} x \equiv 2 \ [10]\\ x \equiv 5 \ [13] \end{array} \right. \]
Exercice 3261. Une bande de $17$ pirates dispose d'un butin composé de $N$ pièces d'or d'égale valeur.\\ Ils décident de se le partager également et de donner le reste au cuisinier. Celui-ci reçoit $3$ pièces.\\ Mais une rixe éclate et $6$ pirates sont tués. Tout le butin est reconstitué et partagé entre les survivants comme précédemment ; le cuisinier reçoit alors $4$ pièces.\\ Dans un naufrage ultérieur, seul le butin, $6$ pirates et le cuisinier sont sauvés. Le butin est à nouveau partagé de la même manière et le cuisinier reçoit $5$ pièces.\\ Quelle est alors la fortune minimale que peut espérer le cuisinier lorsqu'il décide d'empoisonner le reste des pirates ?
Exercice 3262. Montrer qu'il n'existe pas d'application $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ f(f(n))=n+2007. \]
Exercice 3263. Pour quelles valeurs entières $n \geqslant m$ a-t-on \[ \Sum_{i=m}^{n}\Frac{1}{i} \in \mathbb{N}\; ? \]
Exercice 3264. Soit $n \geqslant 1$. On définit l’indicateur d’Euler de $n$ par la formule : \[ \varphi(n)=\left|\left\{k \in [1,n]\mid k \wedge n=1\right\}\right| \]
    1. Déterminer les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.\\
    2. Quel est le lien avec l’indicateur d’Euler ? \\
    1. Calculer $\varphi(p^\alpha)$ pour $p$ premier et $\alpha \geqslant 1$.\\
    2. Montrer que si $n,m$ sont des entiers non nuls premiers entre eux, alors $\varphi(nm)=\varphi(n)\varphi(m)$.\\
    3. En déduire $\varphi(n)$ pour tout $n \geqslant 1$. \\
    1. Pour tout $d \in \mathcal{D}_n$, on pose $A_d=\left\{k \in [1,n]\mid k \wedge n=d\right\}$. Déterminer le cardinal de $A_d$.\\
    2. Démontrer la formule : \\ \[ n=\sum_{d \in \mathcal{D}_n}\varphi(d) \]
Exercice 3265. Soient $a,b,a',b' \in \mathbb{Z}$ avec $b$ et $b'$ premiers entre eux.\\ Montrer que le système \[ \left\{ \begin{array}{l} x \equiv a \ [b]\\ x \equiv a' \ [b'] \end{array} \right. \] possède des solutions et que celles-ci sont congrues entre elles modulo $bb'$.
Exercice 3266. Soit $n \geqslant 2$ un entier. On rappelle que la relation définie sur $\Z$ par $a \equiv b[n]$ si $n \mid a-b$ est une relation d’équivalence dont l’ensemble quotient est noté $\Z/n\Z$. Si $a \in \Z$ et $b \in \overline{a}$, on dit que $b$ est un représentant de $\overline{a}$ et on a alors $\overline{b}=\overline{a}$. Par division euclidienne, pour tout $a \in \Z$, il existe un unique $r \in \llbracket 0,n-1\rrbracket$ tel que $a \equiv r[n]$.\\ L’application $\llbracket 0,n-1\rrbracket \to \Z/n\Z$, $r \mapsto \overline{r}$ est donc bijective. L’ensemble $\Z/n\Z$ possède donc $n$ éléments.\\ Soit $x,y \in \Z/n\Z$. Soit $a \in \Z$ un représentant de $x$. Soit $b \in \Z$ un représentant de $y$. On pose $x+y=\overline{a+b}$ et $xy=\overline{ab}$.\\
  1. Montrer que ces opérations sont bien définies sur $\Z/n\Z$. Autrement dit, on montrera que $x+y$ et $xy$ ne dépendent pas des représentants choisis.\\
  2. Montrer que $(\Z/n\Z,+,\times)$ est un anneau commutatif dont on donnera les éléments neutres.\\
  3. Montrer que $\Z/n\Z$ est intègre ssi $n$ est un nombre premier.\\
  4. Soit $p$ un nombre premier, montrer que $\Z/p\Z$ est un corps.
Exercice 3267. Soit $G$ un groupe abélien fini de cardinal $n \in \N^{*}$.\\
  1. Soit $x \in G$. Montrer que $x^{n}=e$.\\
  2. Soit $p$ un nombre premier et $n \in \Z$. Montrer que $n^{p}\equiv n\,[p]$.
Exercice 3268. Soit $G$ un groupe fini et soit $x \in G$.\\ On rappelle le théorème de Lagrange : le cardinal de tout sous-groupe de $G$ est un diviseur du cardinal de $G$.\\
  1. On pose $H=\{x^k\;\mathrm{t.q.}\;k\in\Z\}$. Montrer que $H$ est un sous-groupe de $G$.\\
  2. Montrer que $\varphi:\left\{\begin{array}{ccc} \Z & \to & H\\ k & \mapsto & x^k \end{array}\right.$ est un morphisme de groupes et qu'il existe $n\in\N^*$ tel que $\Ker\varphi=n\Z$.\\
  3. Montrer que $f:\left\{\begin{array}{ccc} [[0,n-1]] & \to & H\\ k & \mapsto & x^k \end{array}\right.$ est bijective. En déduire $|H|$.\\
  4. Montrer que $x^{|G|}=e$ en utilisant le théorème de Lagrange.\\
Exercice 3269. Soit $G$ un groupe dont la loi est notée multiplicativement et l'élément neutre est noté $e$.\\
  1. Soit $x \in G$. Montrer que $\{k \in \Z\;\mathrm{t.q.}\;x^k=e\}$ est un sous-groupe de $\Z$.\\
  2. On suppose qu'il existe $m \in \N^*$ tel que $x^m=e$.\\ Montrer qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\{k \in \Z\;\mathrm{t.q.}\;x^k=e\}=n\Z$.\\ On dit alors que $x$ est d'ordre fini et que $n$ est l'ordre de $x$.\\
  3. Soit $y$ un autre élément de $G$ d'ordre fini $p \in \N^*$.\\ On suppose que $n \wedge p = 1$ et que $xy=yx$, montrer que l'ordre de $xy$ est fini et égal à $np$.\\
  4. Soit $z$ et $z'$ des racines $n$-ièmes complexes de l'unité d'ordres premiers entre eux. Que peut-on dire de $zz'$ ?\\ Quel est l'ordre de $j$, de $-j$, de $ij$ ?\\
Exercice 3270. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ : $x^2=9y^2-39y+40$.
Exercice 3271. \\
  1. Montrer que l’équation $x^2-3y^2=17$ n’a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.\\
  2. Montrer que l’équation $x^3+y^3=3$ n’a pas de solution dans $\mathbb{Z}^2$.
Exercice 3272. Résoudre dans $\mathbb{Z}^2$ l’équation : $x^2+y^2-2x+4y-5=0$.
Exercice 3273. Soient $(x,y,z)\in\mathbb{Z}^3$. Montrer : $7\mid x^3+y^3+z^3 \Longrightarrow 7\mid xyz$.\\ En déduire que le système \[ \left\{ \begin{array}{l} x^3+y^3+z^3=7\\ xyz=7(x^2+y^2+z^2)+1 \end{array} \right. \] n’a pas de solution dans $\mathbb{Z}^3$.
Exercice 3274. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. On suppose : $(\exists a\in\mathbb{N}^*,\;n=a^2)$ et $(\exists b\in\mathbb{N}^*,\;n=b^3)$.\\ Montrer : $\exists c\in\mathbb{N}^*,\;n=c^6$.
Exercice 3275. On note, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$ dans $\mathbb{N}^*$ et $\sigma(n)$ la somme des diviseurs de $n$ dans $\mathbb{N}^*$. Montrer, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :\\ \[ \Sum_{k=1}^{n}d(k)=\Sum_{i=1}^{n}E\left(\Frac{n}{i}\right) \] \[ \Sum_{k=1}^{n}\sigma(k)=\Sum_{i=1}^{n}i\,E\left(\Frac{n}{i}\right) \] où $E(.)$ désigne la partie entière.
Exercice 3276. Soit $(a,b,c,n)\in(\mathbb{N}^*)^4$, tel que $a\wedge b=1$ et $ab=c^n$. Montrer qu’il existe $(\alpha,\beta)\in(\mathbb{N}^*)^2$ tel que : $a=\alpha^n$ et $b=\beta^n$.
Exercice 3277. \\
  1. Soit $(G,\cdot)$ un groupe abélien, et $x,y \in G$. On suppose que $x$ est d'ordre $a$, que $y$ est d'ordre $b$, avec $a \wedge b = 1$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$. \\
  2. Soit $K$ un corps commutatif de cardinal fini $n \geqslant 1$. On note $m$ le ppcm des ordres des éléments de $(K^\ast,\cdot)$. Montrer qu'il existe un élément de $K$ d'ordre $m$.
Exercice 3278. Résoudre l’équation $x^2 - 2y^2 = 3$, en l’inconnue $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$.
Exercice 3279. \\
  1. Par combien de $0$ se termine le nombre $100!$ ? \\
  2. Soit $n \in \mathbb{N}$. On sait qu’il existe une famille d’entiers naturels $(v_p)_{p\in\mathbb{P}}$ ne contenant qu’un nombre fini d’entiers non nuls telle que \[ n! = \Prod_{p\in\mathbb{P}} p^{v_p}. \] Donner une expression de $v_p$ en fonction de $n$ et $p$.
Exercice 3280. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $f(n)$ la somme des chiffres de l’écriture de $n$ en base $10$. \\ Calculez $f \circ f \circ f(N)$, où $N = 4444^{4444}$.
Exercice 3281. Montrer que toute puissance entière positive de $\sqrt{2}-1$ est de la forme $\sqrt{m}-\sqrt{m-1}$, avec $m \in \N^*$.
Exercice 3282. Soit $a,b,c$ trois entiers distincts dans $\Z$. Montrer que pour tout entier $n>3$, il existe $k \in \Z$ tel que $n$ ne divise aucun des trois nombres $a+k$, $b+k$, $c+k$.
Exercice 3283. Donner les $(x,y,z)\in \mathbb{Z}^3$ tels que \[ x^2+y^2=7z^2. \]
Exercice 3284. Soit $q$ un rationnel positif distinct de $0$ et de $1$. Montrer que la suite $(q^{1/n})_{n \in \N^*}$ est constituée d'irrationnels à partir d'un rang que l'on explicitera.
Exercice 3285. La fonction $\mu : \N^* \to \{-1,0,1\}$ de Möbius est définie par \[ \mu(1)=1, \] et, pour tout $n \geqslant 2$ : \[ \mu(n)=(-1)^r \quad \text{si } n \text{ est produit de } r \text{ nombres premiers deux à deux distincts}, \] et \[ \mu(n)=0 \] si $n$ est divisible par le carré d'un nombre premier.\\
  1. Montrer que $\mu$ est multiplicative, c'est-à-dire que, si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors \[ \mu(ab)=\mu(a)\mu(b). \]
  2. Montrer que \[ \forall n \geqslant 2,\quad \Sum_{d \mid n}\mu(d)=0. \]
  3. Soient $f : \N^* \to \C$ et \[ g(n)=\Sum_{d \mid n} f(d). \] Prouver la formule d'inversion de Möbius : \[ \forall n \in \N^*,\quad f(n)=\Sum_{d \mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d)=\Sum_{d \mid n}\mu(d)g\left(\frac{n}{d}\right). \]
Exercice 3286. On note $\varphi$ l'indicatrice d'Euler. Trouver les $n \in \N^*$ tels que \[ \varphi(n) \;\mathrm{divise}\; n. \]
Exercice 3287. On note $\tau(n)$ le nombre de diviseurs de $n$ pour tout $n \geqslant 1$. Montrer que \[ \tau(n) = o(n^\varepsilon) \] pour tout $\varepsilon \in \R_+^*$.
Exercice 3288. On note $\mathbb{U}_n$ l’ensemble des complexes solutions de \[ z^n=1 \] et $\mathbb{U}$ l’ensemble des complexes de module $1$. Pour $n \in \N^*$, on écrit \[ (3+4i)^n=A_n+iB_n \] avec $A_n,B_n \in \R$.
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, \[ \mathbb{U}_n \subset \mathbb{U} \] Montrer aussi que \[ \left(\Frac{3+4i}{5}\right)^n \in \mathbb{U} \]
  2. Exprimer $A_{n+1}$ et $B_{n+1}$ en fonction de $A_n$ et $B_n$.
  3. Montrer que les suites $(A_n)$ et $(B_n)$ sont à valeurs dans $\Z$.
  4. Montrer que, pour tout $n$, \[ A_n \equiv 3 \pmod 5 \quad \text{et} \quad B_n \equiv 4 \pmod 5 \]
  5. En déduire que \[ \bigcup_{n \in \N^*}\mathbb{U}_n \neq \mathbb{U} \]