Exercices divers
Exercice
1640. Résoudre l’équation $x^2 - 2y^2 = 3$, en l’inconnue $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$.
Exercice
1641. \\
- Par combien de $0$ se termine le nombre $100!$ ? \\
- Soit $n \in \mathbb{N}$. On sait qu’il existe une famille d’entiers naturels $(v_p)_{p\in\mathbb{P}}$ ne contenant qu’un nombre fini d’entiers non nuls telle que \[ n! = \Prod_{p\in\mathbb{P}} p^{v_p}. \] Donner une expression de $v_p$ en fonction de $n$ et $p$.
Exercice
1642. Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $f(n)$ la somme des chiffres de l’écriture de $n$ en base $10$. \\
Calculez $f \circ f \circ f(N)$, où $N = 4444^{4444}$.
Exercice
1643. \\
- Soit $(G,\cdot)$ un groupe abélien, et $x,y \in G$. On suppose que $x$ est d'ordre $a$, que $y$ est d'ordre $b$, avec $a \wedge b = 1$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$. \\
- Soit $K$ un corps commutatif de cardinal fini $n \geqslant 1$. On note $m$ le ppcm des ordres des éléments de $(K^\ast,\cdot)$. Montrer qu'il existe un élément de $K$ d'ordre $m$.