Espérances, variances, covariances

Exercice 1789. Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. \\ Établir $E(X)^2 \leqslant E(X^2)$.
Exercice 1790. Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. \\ Établir $\mathbb{E}(X)=\Sum_{n=0}^{N-1}\mathbb{P}(X > n)$.
Exercice 1791. Soit $p \in ]0;1[$ et $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vérifiant\\ $P(X_k = 1)=p$ et $P(X_k = -1)=1-p$.\\
  1. Calculer l'espérance de $X_k$.\\
  2. On pose $Y_n=\Prod_{k=1}^{n} X_k$.\\ En calculant de deux façons l'espérance de $Y_n$, déterminer $p_n=P(Y_n=1)$.\\
  3. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n \to +\infty$ ?
Exercice 1792. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p \in ]0;1[$.\\ Calculer l'espérance de la variable $Y = \Frac{1}{X+1}$.
Exercice 1793. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathbb{P})$.\\ Montrer\\ \[ \big|\mathrm{Cov}(X,Y)\big| \leqslant \sqrt{\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)}. \]
Exercice 1794. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $[1;n]$. \\
  1. Exprimer $\mathbb{E}(X)$ en fonction de $\mathbb{P}(X \geqslant k)$. \\
  2. On suppose les variables $X$ et $Y$ uniformes. \\
    1. Déterminer $\mathbb{E}(\min(X,Y))$ puis $\mathbb{E}(\max(X,Y))$. \\
    2. Déterminer aussi $\mathbb{E}(|X-Y|)$.
Exercice 1795. À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des $3$ barrières de péage mises à leur disposition. \\ On note $X_1, X_2, X_3$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières. \\
  1. Déterminer la loi de $X_1$. \\
  2. Calculer les variances de $X_1$, $X_2$ et de $X_1 + X_2$. \\
  3. En déduire la covariance de $X_1$ et $X_2$.
Exercice 1796. Soit $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé fini $(\Omega,\mathbb{P})$ et $N$ une variable aléatoire définie sur le même espace et à valeurs dans $[\![1;n]\!]$. \\ On suppose que les variables $X_1,\ldots,X_n$ suivent chacune la loi d'une variable $X$ et que $X_1,\ldots,X_n$ et $N$ sont mutuellement indépendantes. \\ Enfin, on définit une variable $Y$ sur $\Omega$ en posant \\ \[ Y(\omega)=\Sum_{i=1}^{N(\omega)}X_i(\omega)\quad \text{pour tout }\omega\in\Omega. \] \\ Exprimer l'espérance puis la variance de la variable $Y$ en fonction des espérances et variances de $X$ et $N$.