Espérances, variances, covariances

Exercice 6194. Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. \\ Établir $E(X)^2 \leqslant E(X^2)$.
Exercice 6195. Soit $n\geqslant 1$. Une urne contient $n$ jetons numérotés de $1$ à $n$. On en tire une poignée, allant de la totalité de l'urne jusqu'à l'ensemble vide, les $2^n$ poignées possibles étant supposées équiprobables.\\ On note $X$ la variable aléatoire donnant la somme des numéros tirés. Déterminer $\mathbb{E}(X)$.
Exercice 6196. Soit $X$ une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs.\\ Soit $f$ une fonction réelle.\\ Montrer que pour toute valeur $a$ prise par $X$, \[ \mathbb{E}(f(X))\geqslant f(a)\mathbb{P}(X=a) \]
Exercice 6197. À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des $3$ barrières de péage mises à leur disposition. \\ On note $X_1, X_2, X_3$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières. \\
  1. Déterminer la loi de $X_1$. \\
  2. Calculer les variances de $X_1$, $X_2$ et de $X_1 + X_2$. \\
  3. En déduire la covariance de $X_1$ et $X_2$.
Exercice 6198. Soient $n \geqslant 1$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.\\ On note \[ M=\min(X_1,\ldots,X_n). \]
  1. Pour $k \in \{1,\ldots,n\}$, calculer $\mathbb{P}(M \geqslant k)$, puis en déduire la loi de $M$.\\
  2. Soit $A$ l'événement "il existe $i \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $X_i=1$". Montrer que \[ \mathbb{P}(A) \geqslant 1-\frac{1}{\mathrm{e}}. \]
Exercice 6199. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p \in ]0;1[$.\\ Calculer l'espérance de la variable $Y = \Frac{1}{X+1}$.
Exercice 6200. Soit $p \in ]0;1[$ et $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vérifiant\\ $P(X_k = 1)=p$ et $P(X_k = -1)=1-p$.\\
  1. Calculer l'espérance de $X_k$.\\
  2. On pose $Y_n=\Prod_{k=1}^{n} X_k$.\\ En calculant de deux façons l'espérance de $Y_n$, déterminer $p_n=P(Y_n=1)$.\\
  3. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n \to +\infty$ ?
Exercice 6201. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathbb{P})$.\\ Montrer\\ \[ \big|\mathrm{Cov}(X,Y)\big| \leqslant \sqrt{\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)}. \]
Exercice 6202. On considère une puce qui se déplace sur la droite réelle. Initialement, elle est en $0$, puis se déplace à droite ou à gauche avec équiprobabilité.\\ On suppose que pour tout $n \geqslant 1$, le $n$-ième saut est de longueur \[ \frac{1}{\sqrt{i}}. \] On modélise sa position au temps $n$ par \[ S_n=X_1+\cdots+X_n, \] où $X_i$ sont des variables indépendantes de loi uniforme sur \[ \left\{-\frac{1}{\sqrt{i}},\frac{1}{\sqrt{i}}\right\}. \] Par convention, on pose $S_0=0$.\\ Soit $\varepsilon > 0$. Montrer que \[ \mathbb{P}(|S_n| \geqslant \varepsilon \ln(n))=O\left(\frac{1}{\ln(n)}\right). \]
Exercice 6203. Soient $n \in \N^*$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires admettant une variance finie.\\ On définit la matrice de covariance \[ \Sigma=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}. \]
  1. Soient $a_1,\ldots,a_n \in \R$. Exprimer la variance de \[ a_1X_1+\cdots+a_nX_n \] en fonction de $\Sigma$.\\
  2. En déduire que les valeurs propres de $\Sigma$ sont positives.
Exercice 6204. Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. \\ Établir $\mathbb{E}(X)=\Sum_{n=0}^{N-1}\mathbb{P}(X > n)$.
Exercice 6205. Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. Déterminer la loi de $Y=\min(X_1,X_2)$ et son espérance.
Exercice 6206. On lance deux dés équilibrés, et on note $U_1$ et $U_2$ les variables aléatoires correspondant aux valeurs obtenues.\\ On pose \[ X=\min(U_1,U_2) \quad \text{et} \quad Y=\max(U_1,U_2). \]
  1. Donner la loi et l'espérance de $X$.\\
  2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $U_1$ et $U_2$, et en déduire $\mathbb{E}(Y)$.\\
  3. Exprimer $XY$ en fonction de $U_1$ et $U_2$, et en déduire $\mathrm{Cov}(X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
Exercice 6207. Soit $\lambda > 0$.\\
  1. Grâce à une comparaison série-intégrale, déterminer un équivalent de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par \[ u_n=\sum_{k=0}^n k^\lambda. \]
  2. De même pour \[ v_n=\sum_{k=1}^n \ln(k). \]
  3. Déterminer une autre démonstration de l'équivalent précédent à l'aide de la formule de Stirling.\\
  4. Soit $(X_k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies, pour $\lambda\in\left]0,\frac{1}{2}\right[$, par \[ \forall k\in\mathbb{N},\quad \mathbb{P}(X_k=k^\lambda)=\mathbb{P}(X_k=-k^\lambda)=\frac{1}{2}. \] On pose \[ S_n=\sum_{k=0}^n X_k. \] Calculer $\mathbb{E}(S_n)$ et $\mathbb{V}(S_n)$.
Exercice 6208. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre $\frac{1}{n}$ avec $n\in\mathbb{N}^*$.\\ Démontrer successivement les inégalités : \[ \mathbb{P}(X\geqslant n^2)\leqslant \frac{1}{n}, \] \[ \mathbb{P}(|X-n|\geqslant n)\leqslant 1-\frac{1}{n}, \] \[ \mathbb{P}(X\geqslant 2n)\leqslant 1-\frac{1}{n}. \]
Exercice 6209. Soient $k,n\in\mathbb{N}^*$. Dans un immeuble, un ascenseur dessert $n$ étages et un rez-de-chaussée. $k$ personnes entrent dans l'ascenseur au rez-de-chaussée et chacune sélectionne en équiprobabilité l'étage auquel elle souhaite aller.\\ Déterminer le nombre moyen d'étages où l'ascenseur devra s'arrêter pour déposer toutes les personnes.
Exercice 6210. Soit $n\in\mathbb{N}^*$, $N_n$ est le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mathfrak{S}_n$.\\ Déterminer l'espérance et la variance de $N_n$.
Exercice 6211. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre $p \in ]0,1[$. Pour tout $k \geq 1$, on pose $Y_k = X_k + X_{k+1}$.
  1. Donner la loi de $Y_k$. Calculer $\mathbb{E}(Y_k)$, $\mathbb{V}(Y_k)$ et $\mathrm{Cov}(Y_i, Y_j)$ pour $i \neq j$.
  2. On pose $T_n = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^n Y_k$. Calculer $\mathbb{E}(T_n)$ et $\mathbb{V}(T_n)$.
Exercice 6212. Soit $(Y_i)_{i\in I}$ une famille finie de variables aléatoires indépendantes.\\ Montrer que \[ \mathbb{E}\left(\left(\Sum Y_i\right)^2\right) =\left(\Sum \mathbb{E}(Y_i)\right)^2+\Sum \mathbb{V}(Y_i) \]
Exercice 6213. Soit $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé fini $(\Omega,\mathbb{P})$ et $N$ une variable aléatoire définie sur le même espace et à valeurs dans $[\![1;n]\!]$. \\ On suppose que les variables $X_1,\ldots,X_n$ suivent chacune la loi d'une variable $X$ et que $X_1,\ldots,X_n$ et $N$ sont mutuellement indépendantes. \\ Enfin, on définit une variable $Y$ sur $\Omega$ en posant \\ \[ Y(\omega)=\Sum_{i=1}^{N(\omega)}X_i(\omega)\quad \text{pour tout }\omega\in\Omega. \] \\ Exprimer l'espérance puis la variance de la variable $Y$ en fonction des espérances et variances de $X$ et $N$.
Exercice 6214. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $[1;n]$. \\
  1. Exprimer $\mathbb{E}(X)$ en fonction de $\mathbb{P}(X \geqslant k)$. \\
  2. On suppose les variables $X$ et $Y$ uniformes. \\
    1. Déterminer $\mathbb{E}(\min(X,Y))$ puis $\mathbb{E}(\max(X,Y))$. \\
    2. Déterminer aussi $\mathbb{E}(|X-Y|)$.
Exercice 6215. Soient $N,X$ des variables aléatoires finies à valeurs dans $\N^*$ et $(X_n)_{n \geqslant 1}$ des variables aléatoires i.i.d. de même loi que $X$.\\ On pose \[ S=\Sum_{k=1}^{N}X_k. \] Exprimer $\mathbb{E}(S)$ en fonction de $\mathbb{E}(N)$ et $\mathbb{E}(X)$.
Exercice 6216. Soit $(X_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une famille de variables aléatoires réelles discrètes mutuellement indépendantes et de même loi. On suppose les $X_{i,j}$ centrées.\\ On considère la matrice $M=(X_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$.\\ On note $D_n=\det(M)$.\\ Démontrer que $D_n$ est une variable aléatoire et calculer son espérance.
Exercice 6217. Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive. Supposons qu'il existe deux variables aléatoires discrètes $X_1$ et $X_2$, indépendantes, suivant la même loi que $X$, et telles que $X_1+X_2$ suit la même loi que $2X$.\\
  1. Supposons que $X$ admet une variance. Démontrer que $X$ est presque sûrement constante.\\
  2. Dans le cas général, démontrer que $X$ est malgré tout presque sûrement constante.\\ Indication : poser $Z=e^{-X}$.
Exercice 6218. On joue à un jeu de pile ou face avec une pièce qui tombe sur pile avec la probabilité $p \in ]0,1[$, on notera $q = 1 - p$ et les tirages sont supposés indépendants.\\ On arrête le jeu lorsque l’on obtient la séquence "PPP" (3 piles consécutifs) pour la première fois.\\ Déterminer le nombre moyen de tirages effectués.
Exercice 6219. On considère une suite de variables aléatoires $(X_n)_{n\in\mathbb{N}^*}$ mutuellement indépendantes suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,N\rrbracket$ avec $N$ un entier strictement supérieur à $1$.\\ Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, on pose \[ S_n=\max(X_1,\dots,X_n). \]
  1. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, quelle est la valeur de $\mathbb{P}(S_n\leqslant i)$ ? \\
  2. Montrer que si $Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\llbracket 1,N\rrbracket$ presque sûrement alors \[ \mathbb{E}(Y)=\Sum_{k=1}^{N}\mathbb{P}(Y\geqslant k). \]
  3. En déduire la valeur de $\mathbb{E}(S_n)$. Quelle est sa limite lorsque $n$ tend vers $+\infty$ à $N$ fixé ?\\ Donner un équivalent de $\mathbb{E}(S_n)$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$ à $n$ fixé.
Exercice 6220. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suit la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbb{P}(X=1)=\Frac{1}{2}$, $\mathbb{P}(X=2)=\mathbb{P}(X=3)=\Frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbb{E}[(X-Y)^2]$ ?
Exercice 6221. Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On en tire une au hasard, on retire de l’urne toutes celles dont le numéro est strictement plus grand que celle que l’on a obtenue, puis on la remet dans l’urne, et on recommence.\\ On note $X_p$ la variable aléatoire qui donne le numéro de la boule piochée au rang $p$.\\
  1. Donner la loi de $X_1$.
  2. Donner $X_p(\Omega)$ et $\mathbb{P}(X_p=n)$.
  3. Montrer que \[ \mathbb{P}(X_{p+1}=k)=\Sum_{j=k}^{n}\frac{1}{j}\mathbb{P}(X_p=j). \]
  4. Montrer que $X_p$ a une espérance finie et que \[ \mathbb{E}[X_{p+1}]=\frac{1}{2}\mathbb{E}[X_p]+\frac{1}{2}. \]
  5. Exprimer $\mathbb{E}[X_p]$ en fonction de $p$.
  6. Montrer que \[ \mathbb{E}[X_{p+1}^2]=\frac{1}{3}\mathbb{E}[X_p^2]+\frac{1}{2}\mathbb{E}[X_p]+\frac{1}{6}. \]
  7. Trouver une relation entre $\mathbb{V}[X_{p+1}]$ et $\mathbb{V}[X_p]$.
Exercice 6222. Soit $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$.\\ On pose $Y_n=X_nX_{n+1}$.\\
  1. Donner la loi de $Y_n$, son espérance et sa variance.
  2. Que vaut la covariance de $Y_n$ et $Y_{n+k}$ avec $k \in \mathbb{N}^*$ ?
  3. On pose \[ F_n=\frac{S_n}{n}, \quad \text{où} \quad S_n=\Sum_{i=1}^{n}Y_i. \] Montrer que \[ \forall \varepsilon > 0,\quad \mathbb{P}(|F_n-p^2| \geqslant \varepsilon)\underset{n \to +\infty}{\longrightarrow}0. \]
Exercice 6223. Soient $X_1,X_2,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées telles que $\mathbb{E}(X_1^2)<+\infty$.\\ On note, pour $1\leqslant k\leqslant n$, \[ Y_k=X_1+\cdots+X_k. \] On note \[ M=(\mathrm{cov}(Y_i,Y_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n} \] la matrice des covariances des $Y_k$.\\
  1. Montrer que $M$ est diagonalisable à valeurs propres positives.\\
  2. Exprimer $M$ en fonction de \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 2 & \cdots & 2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix} \] puis de \[ B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}. \]
  3. On suppose que les $X_i$ sont de variance $1$. Encadrer \[ \mathbb{V}\left(\sum_{k=1}^n t_kY_k\right) \] en fonction des valeurs propres extrémales de $A$ et des réels $t_i$.
Exercice 6224. Pour un entier $n\geqslant 2$ fixé, on donne une matrice $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, dont les coefficients $m_{i,j}$ sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi, admettant une espérance.\\ Pour $\lambda\in\mathbb{C}$, calculer l'espérance de $\chi_M(\lambda)$.
Exercice 6225. Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive d'espérance finie. Montrer que \[ \mathbb{P}(X\geqslant x)=o_{+\infty}\left(\frac{1}{x}\right). \]
Exercice 6226. Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$, majorée et à valeurs réelles positives.\\
  1. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, \[ \mathbb{E}(X^n)<+\infty. \] On notera $M_n(X)$ l'espérance précédente.\\
  2. Montrer que la suite \[ \left(M_n(X)^{1/n}\right)_{n\geqslant 1} \] possède une limite $m$ lorsque $n\to+\infty$. On appelle cette limite le sup essentiel de $X$.
Exercice 6227. Soient $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ un espace probabilisé, $X,Y\in L^2$, à valeurs réelles.\\
  1. La famille \[ \left((X(\omega')-X(\omega))(Y(\omega')-Y(\omega))\mathbb{P}(\{\omega\})\mathbb{P}(\{\omega'\})\right)_{(\omega,\omega')\in\Omega^2} \] est-elle sommable ?\\
  2. Exprimer la somme en fonction de $\mathbb{E}(X)$, $\mathbb{E}(Y)$ et $\mathbb{E}(XY)$.\\
  3. Qu'en déduire lorsque, pour tout $(\omega,\omega')\in\Omega^2$, on a \[ X(\omega)\leqslant X(\omega')\Longleftrightarrow Y(\omega)\leqslant Y(\omega') ? \]
Exercice 6228. Soient $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé et $(X_i)_{i\in\mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ et suivant toutes la même loi.\\ On pose, pour tout $n\geqslant 1$ et $\omega\in\Omega$, \[ R_n(\omega)=\mathrm{card}\{X_1(\omega),X_2(\omega),\dots,X_n(\omega)\}. \]
  1. On suppose ici seulement que $\forall i\in\mathbb{N}^*$, $\mathbb{P}(X_1=i)>0$. Prouver que \[ \mathbb{E}(R_n)\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty. \]
  2. On revient au cas général.\\ \startlettersnext
  3. a Montrer que $\forall a > 0$, $\mathbb{E}(R_n)\leqslant a+n\mathbb{P}(X_1\geqslant a)$.\\
  4. a Montrer que $\mathbb{E}(R_n)=o(n)$.\\
  5. a On suppose que $X_1$ possède une espérance finie. Montrer que \[ \mathbb{E}(R_n)=o(\sqrt{n}). \]
Exercice 6229. On considère un jeu vidéo comportant $n\in\mathbb{N}^*$ quêtes distinctes. Chaque jour, une quête est choisie aléatoirement, de manière équiprobable et avec remise, indépendamment des précédentes quêtes réalisées, et est disponible pour tous les joueurs.\\ Considérons un streamer qui réussit à compléter sa quête quotidienne à coup sûr.\\
  1. En moyenne, combien de jours le streamer devra-t-il jouer pour compléter les $n$ quêtes ? \\
  2. Quelle est la variance de la variable aléatoire représentant ce nombre de jours ?
Exercice 6230. Soit $a > 0$, $p\in]0,1[$, $n\in\mathbb{N}$ et $X$ une variable aléatoire entière vérifiant \[ \forall k\in\mathbb{N},\quad \mathbb{P}(X=k)=a\binom{n+k}{k}p^k. \] Calculer l'espérance et la variance de $X$.
Exercice 6231.
  1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant un moment d'ordre $2$. Montrer que, si $\lambda \in \mathbb{R}_+^*$, \[ \mathbb{P}(X \geqslant \mathbb{E}(X)+\lambda) \leqslant \frac{\mathbb{V}(X)}{\mathbb{V}(X)+\lambda^2}. \]
  2. Soit $(X_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes ayant un moment d'ordre $2$. On suppose que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ \mathbb{E}(X_n)=0 \quad\text{et}\quad \mathbb{V}(X_n)\leqslant 1. \] On pose \[ N=\min\{n \in \mathbb{N}^*\mid X_n\leqslant 1\}. \] Montrer que $e^{aN}$ est d'espérance finie pour tout $a \in [0,\ln 2[$.
Exercice 6232. Soient $q \geqslant 2$ un entier, $\tau$ réel, et $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur \[ \left\{\frac{k}{q}\mid 0\leqslant k\leqslant q-1\right\}. \] On définit une suite $(T_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de variables aléatoires en posant $T_0=0$ et, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ T_n=T_{n-1}+\tau+\sin(2\pi(T_{n-1}-\varphi_n)). \]
  1. Si $n \in \mathbb{N}^*$, déterminer $\mathbb{E}(T_n)$. \\
  2. Établir l'existence de $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que, pour tout $\varepsilon > 0$, \[ \mathbb{P}\left(\left|\frac{T_n}{n}-\lambda\right|\geqslant \varepsilon\right)\to 0. \]
Exercice 6233. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose \[ S_n=\Sum_{i=1}^n X_i \quad\text{et}\quad P_n=\Prod_{i=1}^n X_i. \] Pour $(x_1,\ldots,x_n)\in \mathbb{R}^n$, on note $D(x_1,\ldots,x_n)$ le déterminant de la matrice $(1+\delta_{i,j}x_i)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. On considère la variable aléatoire \[ A_n=D(X_1,\ldots,X_n). \]
  1. Calculer $\mathbb{E}[S_n]$ et $\mathbb{E}[P_n]$.
  2. Calculer $\mathbb{V}[S_n]$ et $\mathbb{V}[P_n]$.
  3. Donner la loi de $P_n$.
  4. Calculer $\mathbb{E}[S_nP_n]$. Les variables $S_n$ et $P_n$ sont-elles indépendantes ?
  5. Écrire une fonction Python qui prenne en argument une liste $[x_1,\ldots,x_n]$ et renvoie la liste formée de \[ 1+\Sum_{k=1}^n x_k,\quad \Prod_{k=1}^n x_k \quad \text{et} \quad D(x_1,\ldots,x_n). \]
  6. Pour $n=10$, tester la fonction et conjecturer une relation entre $1+S_n$, $A_n$ et $P_n$.
  7. Démontrer la conjecture de la question précédente.
  8. Tracer la liste $\left(\Frac{A_n}{n}\right)_{1\leqslant n\leqslant 200}$ pour diverses réalisations de $(X_1,\ldots,X_{200})$. Formuler une conjecture.
  9. Soit $\varepsilon > 0$. Montrer que \[ \mathbb{P}\left(\left|\Frac{A_n}{n}\right| \geqslant \varepsilon\right)\xrightarrow[n\to+\infty]{}0. \]
Exercice 6234. On considère une urne contenant une boule noire et une boule blanche. On effectue des tirages successifs d'une boule dans l'urne. À chaque tirage, on replace la boule obtenue accompagnée d'une boule de même couleur. \\ Soit $X_n$ le nombre de boules noires obtenues au cours des $n$ premiers tirages. \\
  1. Déterminer la loi de $X_1$ et $X_2$.
  2. Montrer que $X_n$ suit une loi uniforme sur $[0,n]$.
  3. On note $B_n$ l'événement "tirer une boule blanche au $n$-ème tirage". Calculer la probabilité de $B_{n+1}$ à l'aide de la loi de $X_n$. Que remarque-t-on ?
  4. Écrire une fonction Python qui simule $n$ tirages de l'urne et renvoie la fréquence d'apparition des boules noires à l'issue de ces $n$ tirages. \\ Calculer les fréquences d'apparition des boules noires lors de $10000$ expériences de $500$ tirages chacune et représenter l'histogramme des fréquences. On suppose désormais que l'urne contient initialement $a$ boules noires et $b$ boules blanches.
  5. Soit $k \in [0,n]$. Montrer que \[ \mathbb{P}(X_n=k)=\Frac{\binom{a+k-1}{k}\binom{b+n-k-1}{n-k}}{\binom{a+b+n-1}{n}}. \]
  6. On note $N_n$ l'événement "tirer une boule noire au $n$-ème tirage". Montrer que \[ \mathbb{P}(N_n)=\Frac{a}{a+b}. \]
Exercice 6235. Soit $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ et $(y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n$ tels que $x_1\leqslant\cdots\leqslant x_n$ et $y_1\leqslant\cdots\leqslant y_n$.\\ Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles croissantes et continues sur $[0,1]$.\\
  1. Déterminer le signe de $(x_i-x_j)(y_i-y_j)$ pour $(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$.
  2. \startletters
  3. a Montrer que \[ \Sum_{i=1}^n\Sum_{j=1}^n(x_i-x_j)(y_i-y_j) = 2n\Sum_{k=1}^n x_ky_k - 2\left(\Sum_{k=1}^n x_k\right)\left(\Sum_{k=1}^n y_k\right). \]
  4. a Montrer que \[ \frac{1}{n}\Sum_{k=1}^n x_ky_k \geqslant \left(\frac{1}{n}\Sum_{k=1}^n x_k\right) \left(\frac{1}{n}\Sum_{k=1}^n y_k\right). \]
  5. \startletters
  6. a Justifier que \[ \frac{1}{n}\Sum_{i=1}^n(fg)\left(\frac{i}{n}\right) \geqslant \left(\frac{1}{n}\Sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)\right) \left(\frac{1}{n}\Sum_{i=1}^n g\left(\frac{i}{n}\right)\right). \]
  7. a En déduire que \[ \integrale{0}{1}{fg}{x} \geqslant \integrale{0}{1}{f}{x}\integrale{0}{1}{g}{x}. \]
  8. Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $[0,1]$, de carré d’espérance finie. Montrer que $\mathrm{cov}(f(X),g(X))\geqslant0$.
  9. Montrer que l’inégalité de la question $2$ est une égalité si, et seulement si, $(x_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ est constante ou $(y_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ est constante.
Exercice 6236. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $(X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ une famille de variables aléatoires réelles discrètes centrées réduites mutuellement indépendantes et de même loi. On note $M = (X_{i,j})$ et $D = \det(M)$. Calculer $\mathbb{E}(D)$ et $\mathbb{V}(D)$.
Exercice 6237.
  1. Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ sur un segment $[c,d]$ telle que $f(c)=f(d)=0$ et $f'' > 0$. Montrer que $f$ est négative sur $[c,d]$.
  2. En déduire que \[ \forall t \in \mathbb{R},\quad \forall x \in [-1,1],\quad e^{tx} \leqslant \Frac{1-x}{2}e^{-t}+\Frac{1+x}{2}e^t. \]
  3. Soit $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $[-1,1]$ d'espérance nulle. Montrer que $\mathbb{E}[e^{tX}]$ existe et que \[ \forall t \in \mathbb{R},\quad \mathbb{E}[e^{tX}] \leqslant e^{t^2/2}. \]
  4. On considère une suite $(X_n)_{n \geqslant 1}$ de variables aléatoires discrètes indépendantes, d'espérance nulle et bornées, c'est-à-dire \[ \forall n \geqslant 1,\quad \exists c_n > 0,\quad |X_n| \leqslant c_n. \] On définit, pour tout $n \geqslant 1$, \[ S_n=\Sum_{k=1}^n X_k. \] \startletters
  5. a Montrer que, pour tout réel $t$, \[ \mathbb{E}[e^{tS_n}] \leqslant \exp\left(\Frac{t^2}{2}\Sum_{k=1}^n c_k^2\right) \] puis en déduire que \[ \forall (t,\varepsilon)\in ]0,+\infty[^2,\quad \mathbb{P}(S_n > \varepsilon) \leqslant \exp\left(-t\varepsilon+\Frac{t^2}{2}\Sum_{k=1}^n c_k^2\right). \]
  6. a Montrer que, pour tout réel $\varepsilon > 0$, \[ \mathbb{P}(S_n > \varepsilon) \leqslant \exp\left(-\Frac{\varepsilon^2}{2\Sum_{k=1}^n c_k^2}\right) \] puis en déduire \[ \mathbb{P}(|S_n| > \varepsilon) \leqslant 2\exp\left(-\Frac{\varepsilon^2}{2\Sum_{k=1}^n c_k^2}\right). \]
  7. a On suppose que les variables $(X_n)_{n \geqslant 1}$ sont indépendantes et suivent la même loi définie par \[ \forall n \geqslant 1,\quad \mathbb{P}(X_n=1)=\mathbb{P}(X_n=-1)=\Frac{1}{2}. \] On définit \[ \overline{X_n}=\Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^n X_k. \] Pour $\varepsilon > 0$, majorer $\mathbb{P}(|\overline{X_n}| > \varepsilon)$ par l'inégalité précédente puis par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Conclure.