Espérances, variances, covariances

Exercice 4391. À un péage autoroutier $n$ voitures franchissent au hasard et indépendamment l’une des $3$ barrières de péage mises à leur disposition. \\ On note $X_1, X_2, X_3$ les variables aléatoires dénombrant les voitures ayant franchi ces barrières. \\

1. Déterminer la loi de $X_1$. \\
2. Calculer les variances de $X_1$, $X_2$ et de $X_1 + X_2$. \\
3. En déduire la covariance de $X_1$ et $X_2$.

Exercice 4392. Soit $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles définies sur un espace probabilisé fini $(\Omega,\mathbb{P})$ et $N$ une variable aléatoire définie sur le même espace et à valeurs dans $[\![1;n]\!]$. \\ On suppose que les variables $X_1,\ldots,X_n$ suivent chacune la loi d'une variable $X$ et que $X_1,\ldots,X_n$ et $N$ sont mutuellement indépendantes. \\ Enfin, on définit une variable $Y$ sur $\Omega$ en posant \\ \[ Y(\omega)=\Sum_{i=1}^{N(\omega)}X_i(\omega)\quad \text{pour tout }\omega\in\Omega. \] \\ Exprimer l'espérance puis la variance de la variable $Y$ en fonction des espérances et variances de $X$ et $N$.

Exercice 4393. Soient $n \geqslant 1$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.\\ On note \[ M=\min(X_1,\ldots,X_n). \]

1. Pour $k \in \{1,\ldots,n\}$, calculer $\mathbb{P}(M \geqslant k)$, puis en déduire la loi de $M$.\\
2. Soit $A$ l'événement "il existe $i \in \{1,\ldots,n\}$ tel que $X_i=1$". Montrer que \[ \mathbb{P}(A) \geqslant 1-\frac{1}{\mathrm{e}}. \]

Exercice 4394. Soit $X$ une variable aléatoire binomiale de paramètres $n$ et $p \in ]0;1[$.\\ Calculer l'espérance de la variable $Y = \Frac{1}{X+1}$.

Exercice 4395. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $[1;n]$. \\

1. Exprimer $\mathbb{E}(X)$ en fonction de $\mathbb{P}(X \geqslant k)$. \\
2. On suppose les variables $X$ et $Y$ uniformes. \\
   1. Déterminer $\mathbb{E}(\min(X,Y))$ puis $\mathbb{E}(\max(X,Y))$. \\
   2. Déterminer aussi $\mathbb{E}(|X-Y|)$.

Exercice 4396. Soit $X$ une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini. \\ Établir $E(X)^2 \leqslant E(X^2)$.

Exercice 4397. Soit $p \in ]0;1[$ et $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes vérifiant\\ $P(X_k = 1)=p$ et $P(X_k = -1)=1-p$.\\

1. Calculer l'espérance de $X_k$.\\
2. On pose $Y_n=\Prod_{k=1}^{n} X_k$.\\ En calculant de deux façons l'espérance de $Y_n$, déterminer $p_n=P(Y_n=1)$.\\
3. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n \to +\infty$ ?

Exercice 4398. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles sur l'espace probabilisé $(\Omega,\mathbb{P})$.\\ Montrer\\ \[ \big|\mathrm{Cov}(X,Y)\big| \leqslant \sqrt{\mathbb{V}(X)\mathbb{V}(Y)}. \]

Exercice 4399. On considère une puce qui se déplace sur la droite réelle. Initialement, elle est en $0$, puis se déplace à droite ou à gauche avec équiprobabilité.\\ On suppose que pour tout $n \geqslant 1$, le $n$-ième saut est de longueur \[ \frac{1}{\sqrt{i}}. \] On modélise sa position au temps $n$ par \[ S_n=X_1+\cdots+X_n, \] où $X_i$ sont des variables indépendantes de loi uniforme sur \[ \left\{-\frac{1}{\sqrt{i}},\frac{1}{\sqrt{i}}\right\}. \] Par convention, on pose $S_0=0$.\\ Soit $\varepsilon > 0$. Montrer que \[ \mathbb{P}(|S_n| \geqslant \varepsilon \ln(n))=O\left(\frac{1}{\ln(n)}\right). \]

Exercice 4400. Soient $n \in \N^*$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires admettant une variance finie.\\ On définit la matrice de covariance \[ \Sigma=(\mathrm{Cov}(X_i,X_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant n}. \]

1. Soient $a_1,\ldots,a_n \in \R$. Exprimer la variance de \[ a_1X_1+\cdots+a_nX_n \] en fonction de $\Sigma$.\\
2. En déduire que les valeurs propres de $\Sigma$ sont positives.

Exercice 4401. Soient $N,X$ des variables aléatoires finies à valeurs dans $\N^*$ et $(X_n)_{n \geqslant 1}$ des variables aléatoires i.i.d. de même loi que $X$.\\ On pose \[ S=\Sum_{k=1}^{N}X_k. \] Exprimer $\mathbb{E}(S)$ en fonction de $\mathbb{E}(N)$ et $\mathbb{E}(X)$.

Exercice 4402. Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. \\ Établir $\mathbb{E}(X)=\Sum_{n=0}^{N-1}\mathbb{P}(X > n)$.

Exercice 4403. Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une même loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$. Déterminer la loi de $Y=\min(X_1,X_2)$ et son espérance.

Exercice 4404. On lance deux dés équilibrés, et on note $U_1$ et $U_2$ les variables aléatoires correspondant aux valeurs obtenues.\\ On pose \[ X=\min(U_1,U_2) \quad \text{et} \quad Y=\max(U_1,U_2). \]

1. Donner la loi et l'espérance de $X$.\\
2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $U_1$ et $U_2$, et en déduire $\mathbb{E}(Y)$.\\
3. Exprimer $XY$ en fonction de $U_1$ et $U_2$, et en déduire $\mathrm{Cov}(X,Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?