Exercices divers

Exercice 6238. Soient $n \geqslant 1$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.\\
  1. Déterminer $\mathbb{P}(X=Y)$.\\
  2. Déterminer $\mathbb{P}(X \geqslant Y)$.\\
  3. Déterminer la loi de $X+Y$.
Exercice 6239. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\ Montrer que pour tout $\lambda, \varepsilon > 0$ \\ \[ \mathbb{P}\big(X - np > n\varepsilon\big) \leqslant \mathbb{E}\!\Big(\exp\big(\lambda(X - np - n\varepsilon)\big)\Big). \]
Exercice 6240. Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\ Montrer \\ \[ \mathbb{P}\big(\mu - \alpha\sigma < X < \mu + \alpha\sigma\big) \geqslant 1 - \Frac{1}{\alpha^2}. \]
Exercice 6241. Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ une fonction strictement croissante. \\ Montrer que \\ \[ \forall a \geqslant 0,\;\; \mathbb{P}\big(|X| \geqslant a\big) \leqslant \Frac{\mathbb{E}\big(g(|X|)\big)}{g(a)}. \]
Exercice 6242. On munit l'ensemble $\Omega$, fini à $n \geqslant 2$ éléments, de la loi uniforme. On note $F$ l'espace des variables aléatoires réelles sur $\Omega$. \\
  1. Montrer que l'application $(X,Y) \in F^2 \mapsto \mathbb{E}[XY]$ est un produit scalaire sur $F$.
  2. Déterminer la projection orthogonale de $X \in F$ sur la droite dirigée par la variable $1$.
Exercice 6243. On considère le lancer de deux dés équilibrés. On note $X_1$ et $X_2$ les variables aléatoires égales au résultat des deux lancers, et on suppose $X_1$ et $X_2$ indépendantes. On note $X=\min(X_1,X_2)$ et $Y=\max(X_1,X_2)$. \\
  1. Déterminer la loi de $X$. Calculer son espérance. En déduire la loi de $Y$.
  2. Simplifier $XY$. En déduire $\mathrm{cov}(X,Y)$.
Exercice 6244. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires de Bernoulli vérifiant, pour tout $n$, \[ \mathbb{P}(X_0=1)=1,\quad \mathbb{P}(X_{n+1}=1\mid X_n=1)=0.2,\quad \mathbb{P}(X_{n+1}=1\mid X_n=0)=0.8. \] Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n=\mathbb{P}(X_n=1)$. \\
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  3. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
Exercice 6245. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ et soit $g_X$ sa fonction génératrice. \\ On suppose que $g_X$ est définie en $1$ et en $-1$. \\ Montrer que : \[ \mathbb{P}(X\;\mathrm{pair})=\frac{g_X(1)+g_X(-1)}{2} \] et : \[ \mathbb{P}(X\;\mathrm{impair})=\frac{g_X(1)-g_X(-1)}{2}. \]
Exercice 6246. Une variable aléatoire $X$ suit une loi du binôme de paramètre $p$ et de taille $n$. \\ Établir pour $\varepsilon > 0$, \\ \[ \mathbb{P}\!\left(\left|\Frac{X}{n} - p\right| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \Frac{\sqrt{p(1-p)}}{\varepsilon\sqrt{n}}. \]
Exercice 6247. On considère une puce qui se déplace sur la droite réelle. Initialement, elle est en $0$, puis se déplace à droite ou à gauche en effectuant des sauts de longueur $1$.\\ On modélise sa position au temps $n$ par \[ S_n=X_1+\cdots+X_n, \] où $X_i$ sont des variables indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,1\}$.\\ Par convention, on pose $S_0=0$.\\ Déterminer la nature de la série \[ \Sum_{n \in \N}\mathbb{P}(S_n=0). \]
Exercice 6248. Soient $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ telles que pour tout $1 \leqslant j \leqslant n$, \[ \mathbb{P}(Y=j) > 0. \] On considère la matrice \[ A=\bigl(\mathbb{P}(X=i,Y=j)\bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}. \] Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si la matrice $A$ est de rang $1$.
Exercice 6249. Soit $X$ une variable aléatoire de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\ En introduisant la variable aléatoire \\ \[ Y = \big(\alpha(X - \mu) + \sigma\big)^2, \\ \] Montrer que pour tout $\alpha > 0$ \\ \[ \mathbb{P}(X \geqslant \mu + \alpha\sigma) \leqslant \Frac{1}{1+\alpha^2}. \]
Exercice 6250. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ à valeurs dans $\mathbb{N}$ vérifiant \[ \forall(i,j)\in\mathbb{N}^2,\quad \mathbb{P}(X=i\cap Y=j)=c\frac{i+j}{i!j!}. \]
  1. Démontrer que \[ \mathbb{P}(X=i)=c\frac{e(i+1)}{i!}. \] En déduire la valeur de $c$.\\
  2. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?\\
  3. Calculer l'espérance de $X$.\\
  4. Donner la loi de $X+Y$.
Exercice 6251. Pour $n \geqslant 2$, on munit $\Omega_n=[1,n-1]^{[1,n]}$ de la probabilité uniforme. \\
  1. Quelle est la probabilité $\pi_n$ qu'une application soit surjective ?
  2. Donner un équivalent de $\pi_n$.
Exercice 6252. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. Montrer que $X$ est d'espérance finie si, et seulement si, la série $\Sum_{n \geqslant 1}\mathbb{P}(X \geqslant n)$ converge.
Exercice 6253. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On munit $[1,n]$ de la probabilité uniforme. \\
  1. Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $[1,n]$. Calculer $\mathbb{P}(D(a))$.
  2. On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers distincts de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement indépendants.
  3. Soit $B$ l'ensemble des entiers de $[1,n]$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbb{P}(B)$ à l'aide de $p_1,\ldots,p_k$.
  4. On note $\varphi(n)$ le nombre d'entiers dans $[1,n]$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que \[ \varphi(n)=n\Prod_{\substack{p\;premier\\p\mid n}}\Frac{p-1}{p}. \]
Exercice 6254. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose \[ M=\begin{pmatrix} (-1)^X & 1 \\ (-1)^Y & 1 \end{pmatrix}. \]
  • Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible.\\
  • Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit diagonalisable sur $\R$, puis sur $\C$.
    • Exercice 6255. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi géométrique de paramètre $p$. Montrer que \[ Y=\Frac{1}{2X+1} \] possède une espérance et calculer $\mathbb{E}[Y]$.
    Exercice 6256. Soit $Y$ une variable aléatoire discrète suivant la loi de Poisson de paramètre $2$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$ telle que la loi conditionnelle de $X$ sachant $(Y=m)$ est la loi binomiale $\mathcal{B}\left(m,\Frac{1}{3}\right)$. Déterminer la loi de $X$.
    Exercice 6257. Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires suivant une loi de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\mu$, et $Z=X+Y$. \\
    1. Lequel de ces deux événements est le plus probable : $X$ est pair ou $X$ est impair ?
    2. Déterminer \[ \max_{k \in \mathbb{N}}\mathbb{P}(X=k). \]
    3. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Montrer de deux façons différentes que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$, puis en donner l'espérance et la variance.
    Exercice 6258. Pour une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$, on définit \[ \forall t \in \R, \quad G_X(t)=\Sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(X=k)t^k. \]
    1. Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ et $\{1,\ldots,m\}$ respectivement, alors \[ G_{X+Y}=G_XG_Y. \]
    2. Montrer qu'on ne peut pas piper deux dés indépendants pour que leur somme suive une loi uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$.
    Exercice 6259. Soient $X$ une variable aléatoire positive admettant une espérance finie, $(X_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi que $X$, et $a > 0$.\\ Montrer que \[ \mathbb{P}(\max(X_1,\ldots,X_n) \geqslant an)\sim n\mathbb{P}(X \geqslant an) \] lorsque $n \to +\infty$.
    Exercice 6260. Soit $n \in \N^*$. Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et $i \in \{1,\ldots,n\}$, on note $X_i(\sigma)$ l'ordre de $i$ sous $\sigma$, c'est-à-dire le plus petit entier $p$ tel que \[ \sigma^p(i)=i. \] On note $N(\sigma)$ le nombre d'orbites de la permutation $\sigma$.\\ On munit $\mathfrak{S}_n$ de la probabilité uniforme.\\
    1. Déterminer la loi de la variable aléatoire discrète $X_i$.\\
    2. Exprimer $N$ en fonction des variables $X_1,\ldots,X_n$.\\
    3. Déterminer un équivalent du nombre moyen de cycles dans la décomposition d'une permutation aléatoire de $\{1,\ldots,n\}$ en cycles à supports disjoints.
    Exercice 6261. Un campeur dispose de deux paquets d'allumettes, un dans sa poche gauche, l'autre dans sa droite. Ces deux paquets sont neufs et contiennent donc initialement le même nombre $n$ d'allumettes. Tout au long de son séjour, le campeur prend une allumette pour allumer un feu en choisissant l'une ou l'autre des poches aléatoirement. Au bout d'un certain temps, il tombe pour la première fois sur une boîte vide.\\ Déterminer le nombre moyen d'allumettes encore présentes à cet instant dans l'autre boîte. En donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
    Exercice 6262. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $(G,*)$ un groupe fini de neutre $e$ et $(X_k)_{1\leqslant k\leqslant n}$ une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, suivant la loi uniforme sur $G\setminus\{e\}$.\\ Déterminer la loi de \[ Y_n=X_n*\cdots *X_1. \]
    Exercice 6263. Cinq personnes sont autour d'une table. Deux personnes voisines possèdent chacune un ballon. On commence le jeu suivant : à chaque tour, chaque personne possédant un ballon le lance à l'un de ses voisins avec la probabilité $\Frac{1}{2}$. Lorsqu'une personne possède deux ballons, le jeu s'arrête. Déterminer le nombre moyen de tours pour que le jeu s'arrête.
    Exercice 6264. Peut-on truquer deux dés à six faces de sorte que la somme d'un lancer suive une loi uniforme ?
    Exercice 6265. Soit $M \in \mathcal{M}_3(\R)$ dont les coefficients sont des variables aléatoires i.i.d de loi de Bernoulli de paramètre $p$.
  • Donner la loi de $\mathrm{Tr}(M)$.\\
  • Calculer $\mathbb{E}[\det(M)]$.\\
  • Sous l’hypothèse $M_{1,3}=M_{2,3}=M_{3,1}=M_{3,2}=0$, déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable.\\
  • Sous les mêmes hypothèses, déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
    • Exercice 6266. On considère des variables aléatoires $(X_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}$ indépendantes de même loi telles que \[ \forall (i,j)\in \{1,2,3\}^2,\quad \mathbb{P}(X_{i,j}=-1)=\mathbb{P}(X_{i,j}=1)=\Frac{1}{2}. \] On définit le déterminant $3\times 3$ : \[ D=\det\left((X_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 3}\right). \]
    1. Calculer l'espérance et la variance de $D$.
    2. Généraliser dans le cas d'une matrice d'ordre $n$.
    Exercice 6267. Soit deux variables aléatoires $X$ et $Y$ définies sur un même espace probabilisé et à valeurs entières. La loi du couple $(X,Y)$ est définie par \[ \forall (n,m)\in \mathbb{N}^2,\quad \mathbb{P}((X=n)\cap(Y=m))=p^2q^{n+m} \] avec $p\in ]0,1[$ et $q=1-p$.
    1. \startletters
    2. a Déterminer les lois marginales du couple $(X,Y)$.
    3. a Calculer $\mathbb{E}[X+Y]$.
    4. a On appelle fonction de répartition de la variable aléatoire $X$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $F_X(t)=\mathbb{P}(X\leqslant t)$. Déterminer $F_X$.
    5. On définit $Z=\max(X,Y)$ et $T=\min(X,Y)$. \startletters
    6. a Pour tout entier $k$, exprimer l'événement $(Z=k)$ en fonction des événements $(X=k)$, $(Y=k)$, $(X\leqslant k)$ et $(Y\leqslant k)$. En déduire la loi de probabilité de $Z$ et son espérance.
    7. a Calculer l'espérance de $|X-Y|$. On pourra exprimer $|X-Y|$ en fonction de $Z$ et $X+Y$.
    8. a Déterminer la loi de $T$ et reconnaître la loi de $T+1$.
    9. Déterminer la loi conjointe du couple $(X,Z)$ et retrouver la loi de $Z$.
    10. Déterminer la loi de $X+Y$.
    Exercice 6268. Soit une urne vide au départ. Le premier jour, une personne met une boule numérotée $1$ dans l’urne, la tire, note son numéro et la remet dans l’urne. Ensuite, à chaque nouvelle journée, elle ajoute une boule qui porte le numéro du jour considéré, elle tire alors une boule au hasard, note le numéro de cette boule et la remet dans l’urne. Le processus se poursuit indéfiniment.
    1. Montrer que pour tout $x \in \R_+$, $1 - x \leq e^{-x}$.
    2. Soit $\ell \in \N^*$ et $E_1,\dots,E_\ell$ une famille de $\ell$ événements indépendants. Montrer que \[ \Prob\left(\bigcap_{1 \leq i \leq \ell} \overline{E_i}\right) \leq \exp\left(-\sum_{i=1}^{\ell} \Prob(E_i)\right). \]
    3. On note $A_k$ l’événement « la boule numérotée $10$ sort lors du $k$-ième tirage ». Que vaut $\Prob(A_k)$ ?
    4. Quelle est la probabilité que la boule n°$10$ sorte au moins une fois à partir du $n$-ième tirage ?
    5. Quelle est la probabilité que la boule n°$10$ sorte une infinité de fois ?
    6. Calculer la probabilité que la boule n°$10$ sorte une infinité de fois de suite.
    Exercice 6269. Soient $n \in \N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes d'espérances nulles et $a_1,\ldots,a_n \in \R_+$ telles que pour tout $i$, \[ |X_i| \leqslant a_i. \] On pose \[ S_n=\Sum_{i=1}^{n}X_i. \] On cherche à montrer que pour tout $\varepsilon > 0$, \[ \mathbb{P}(S_n > \varepsilon)\leqslant \exp\left(-\frac{\varepsilon^2}{2\Sum_{i=1}^{n}a_i^2}\right). \]
    1. Pour $t \in \R$ et $x \in [-1,1]$, montrer que \[ \mathrm{e}^{tx}\leqslant \frac{1-x}{2}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1+x}{2}\mathrm{e}^{t}. \]
    2. Soient $t > 0$ et $X$ une variable aléatoire telle que $|X| \leqslant 1$ et $\mathbb{E}(X)=0$. Montrer que \[ \mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})\leqslant \ch(t). \] Dans la suite, on admettra que \[ \ch(t)\leqslant \mathrm{e}^{t^2/2}. \]
    3. Trouver une majoration de $\mathbb{E}(\mathrm{e}^{tS_n})$, et en déduire que \[ \mathbb{P}(S_n > \varepsilon)\leqslant \exp\left(-t\varepsilon+\frac{t^2}{2}\Sum_{i=1}^{n}a_i^2\right). \]
    4. En déduire l'inégalité annoncée.
    Exercice 6270. \\
    1. Pour quelle(s) valeur(s) du réel $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb{N}^*$ telle que \[ \forall n\in\mathbb{N}^*,\quad \mathbb{P}(X=n)=\integrale{1}{+\infty}{\frac{1}{(1+t^\alpha)^n}}{t} ? \]
    2. On suppose la condition de la question précédente vérifiée. Montrer que $X\in L^2$.
    Exercice 6271. Soit $(\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})$ un espace probabilisé.\\
    1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle, centrée, et $c,d$ deux réels tels que $c\leqslant d$ et $X(\Omega)\subset [c,d]$. Que dire du signe de $c$ et $d$ ? Prouver que \[ \forall s > 0,\quad \mathbb{E}(e^{sX})\leqslant \exp\parenthese{\Frac{s^2(d-c)^2}{8}}. \]
    2. Soient $(X_k)_{k=1}^{n}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, il existe $c_k\leqslant d_k$ tels que $X_k(\Omega)\subset [c_k,d_k]$.\\ On note $S_n=\Sum_{k=1}^{n}X_k$.\\ Prouver que \[ \forall t > 0,\quad \mathbb{P}(S_n-\mathbb{E}(S_n)\geqslant t) \leqslant \exp\parenthese{-\Frac{2t^2}{\Sum_{k=1}^{n}(d_k-c_k)^2}}. \]
    Exercice 6272. Soient $p \in [0,\frac12]$ et $(X_n)_{n\geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. telles que \[ \mathbb{P}(X_n=-1)=\mathbb{P}(X_n=1)=p \quad\text{et}\quad \mathbb{P}(X_n=0)=1-2p. \] On cherche les $p$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, tous $a_1,\ldots,a_n,b \in \mathbb{Z}$, \[ \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i=0\right) \geqslant \mathbb{P}\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i=b\right). \]
    1. Montrer que $p\leqslant \frac13$, puis que $p < \frac13$ et enfin que $p\leqslant \frac14$.
    2. Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{Z}$, on pose \[ \Phi_X:\theta \mapsto \mathbb{E}(e^{iX\theta}). \] Exprimer $\mathbb{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
    3. En déduire que $p\leqslant \frac14$ est une condition suffisante.