Exercices divers

Exercice 1797. Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ une fonction strictement croissante. \\ Montrer que \\ \[ \forall a \geqslant 0,\;\; \mathbb{P}\big(|X| \geqslant a\big) \leqslant \Frac{\mathbb{E}\big(g(|X|)\big)}{g(a)}. \]

Exercice 1798. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\ Montrer que pour tout $\lambda, \varepsilon > 0$ \\ \[ \mathbb{P}\big(X - np > n\varepsilon\big) \leqslant \mathbb{E}\!\Big(\exp\big(\lambda(X - np - n\varepsilon)\big)\Big). \]

Exercice 1799. Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\ Montrer \\ \[ \mathbb{P}\big(\mu - \alpha\sigma < X < \mu + \alpha\sigma\big) \geqslant 1 - \Frac{1}{\alpha^2}. \]

Exercice 1800. Une variable aléatoire $X$ suit une loi du binôme de paramètre $p$ et de taille $n$. \\ Établir pour $\varepsilon > 0$, \\ \[ \mathbb{P}\!\left(\left|\Frac{X}{n} - p\right| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \Frac{\sqrt{p(1-p)}}{\varepsilon\sqrt{n}}. \]

Exercice 1801. Soit $X$ une variable aléatoire de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\ En introduisant la variable aléatoire \\ \[ Y = \big(\alpha(X - \mu) + \sigma\big)^2, \\ \] Montrer que pour tout $\alpha > 0$ \\ \[ \mathbb{P}(X \geqslant \mu + \alpha\sigma) \leqslant \Frac{1}{1+\alpha^2}. \]