Exercices divers
Exercice
4405. Soient $n \geqslant 1$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.\\
- Déterminer $\mathbb{P}(X=Y)$.\\
- Déterminer $\mathbb{P}(X \geqslant Y)$.\\
- Déterminer la loi de $X+Y$.
Exercice
4406. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de taille $n$ et de paramètre $p$. \\
Montrer que pour tout $\lambda, \varepsilon > 0$ \\
\[
\mathbb{P}\big(X - np > n\varepsilon\big) \leqslant \mathbb{E}\!\Big(\exp\big(\lambda(X - np - n\varepsilon)\big)\Big).
\]
Exercice
4407. Pour une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$, on définit
\[
\forall t \in \R, \quad G_X(t)=\Sum_{k=1}^{n}\mathbb{P}(X=k)t^k.
\]
- Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ et $\{1,\ldots,m\}$ respectivement, alors \[ G_{X+Y}=G_XG_Y. \]
- Montrer qu'on ne peut pas piper deux dés indépendants pour que leur somme suive une loi uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$.
Exercice
4408. Une variable aléatoire $X$ suit une loi du binôme de paramètre $p$ et de taille $n$. \\
Établir pour $\varepsilon > 0$, \\
\[
\mathbb{P}\!\left(\left|\Frac{X}{n} - p\right| \geqslant \varepsilon\right) \leqslant \Frac{\sqrt{p(1-p)}}{\varepsilon\sqrt{n}}.
\]
Exercice
4409. Soient $n \in \N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes d'espérances nulles et $a_1,\ldots,a_n \in \R_+$ telles que pour tout $i$,
\[
|X_i| \leqslant a_i.
\]
On pose
\[
S_n=\Sum_{i=1}^{n}X_i.
\]
On cherche à montrer que pour tout $\varepsilon > 0$,
\[
\mathbb{P}(S_n > \varepsilon)\leqslant \exp\left(-\frac{\varepsilon^2}{2\Sum_{i=1}^{n}a_i^2}\right).
\]
- Pour $t \in \R$ et $x \in [-1,1]$, montrer que \[ \mathrm{e}^{tx}\leqslant \frac{1-x}{2}\mathrm{e}^{-t}+\frac{1+x}{2}\mathrm{e}^{t}. \]
- Soient $t > 0$ et $X$ une variable aléatoire telle que $|X| \leqslant 1$ et $\mathbb{E}(X)=0$. Montrer que \[ \mathbb{E}(\mathrm{e}^{tX})\leqslant \ch(t). \] Dans la suite, on admettra que \[ \ch(t)\leqslant \mathrm{e}^{t^2/2}. \]
- Trouver une majoration de $\mathbb{E}(\mathrm{e}^{tS_n})$, et en déduire que \[ \mathbb{P}(S_n > \varepsilon)\leqslant \exp\left(-t\varepsilon+\frac{t^2}{2}\Sum_{i=1}^{n}a_i^2\right). \]
- En déduire l'inégalité annoncée.
Exercice
4410. Soit $X$ une variable aléatoire d’espérance $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\
Montrer \\
\[
\mathbb{P}\big(\mu - \alpha\sigma < X < \mu + \alpha\sigma\big) \geqslant 1 - \Frac{1}{\alpha^2}.
\]
Exercice
4411. Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+$ une fonction strictement croissante. \\
Montrer que \\
\[
\forall a \geqslant 0,\;\; \mathbb{P}\big(|X| \geqslant a\big) \leqslant \Frac{\mathbb{E}\big(g(|X|)\big)}{g(a)}.
\]
Exercice
4412. On considère une puce qui se déplace sur la droite réelle. Initialement, elle est en $0$, puis se déplace à droite ou à gauche en effectuant des sauts de longueur $1$.\\
On modélise sa position au temps $n$ par
\[
S_n=X_1+\cdots+X_n,
\]
où $X_i$ sont des variables indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,1\}$.\\
Par convention, on pose $S_0=0$.\\
Déterminer la nature de la série
\[
\Sum_{n \in \N}\mathbb{P}(S_n=0).
\]
Exercice
4413. Soient $X$ une variable aléatoire positive admettant une espérance finie, $(X_n)_{n \geqslant 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de même loi que $X$, et $a > 0$.\\
Montrer que
\[
\mathbb{P}(\max(X_1,\ldots,X_n) \geqslant an)\sim n\mathbb{P}(X \geqslant an)
\]
lorsque $n \to +\infty$.
Exercice
4414. Soient $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ telles que pour tout $1 \leqslant j \leqslant n$,
\[
\mathbb{P}(Y=j) > 0.
\]
On considère la matrice
\[
A=\bigl(\mathbb{P}(X=i,Y=j)\bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}.
\]
Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes si et seulement si la matrice $A$ est de rang $1$.
Exercice
4415. Soit $X$ une variable aléatoire de moyenne $\mu$ et de variance $\sigma^2$. \\
En introduisant la variable aléatoire \\
\[
Y = \big(\alpha(X - \mu) + \sigma\big)^2, \\
\]
Montrer que pour tout $\alpha > 0$ \\
\[
\mathbb{P}(X \geqslant \mu + \alpha\sigma) \leqslant \Frac{1}{1+\alpha^2}.
\]
Exercice
4416. Soit $n \in \N^*$. Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ et $i \in \{1,\ldots,n\}$, on note $X_i(\sigma)$ l'ordre de $i$ sous $\sigma$, c'est-à-dire le plus petit entier $p$ tel que
\[
\sigma^p(i)=i.
\]
On note $N(\sigma)$ le nombre d'orbites de la permutation $\sigma$.\\
On munit $\mathfrak{S}_n$ de la probabilité uniforme.\\
- Déterminer la loi de la variable aléatoire discrète $X_i$.\\
- Exprimer $N$ en fonction des variables $X_1,\ldots,X_n$.\\
- Déterminer un équivalent du nombre moyen de cycles dans la décomposition d'une permutation aléatoire de $\{1,\ldots,n\}$ en cycles à supports disjoints.