Indépendance

Exercice 1784. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires finies sur un espace $\Omega$. \\ On suppose \[ \forall(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega),\;\mathbb{P}(X=x,Y=y)=\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y). \] Montrer que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Exercice 1785. Montrer que deux évènements sont indépendants si, et seulement si, leurs fonctions indicatrices définissent des variables aléatoires indépendantes.

Exercice 1786. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes. \\ Les variables aléatoires $X+Y$ et $X-Y$ sont-elles indépendantes ?

Exercice 1787. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires prenant pour valeurs $a_1,\ldots,a_n$ avec $\mathbb{P}(X=a_i)=\mathbb{P}(Y=a_i)=p_i$. \\ On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes. \\ Montrer que \[ \mathbb{P}(X\neq Y)=\Sum_{i=1}^n p_i(1-p_i). \]

Exercice 1788. Soient $X$ une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé fini $(\Omega,\mathbb{P})$ et $f$ une application définie sur $X(\Omega)$. \\ À quelle condition les variables aléatoires $X$ et $f(X)$ sont-elles indépendantes ?