Séries alternées

Exercice 1726. Nature de la série de terme général $u_n = \Frac{(-1)^n \ln(n)}{n}$, $n \geqslant 1$.
Exercice 1727. Soit $\alpha > 0$. On pose, pour $n \geqslant 1$, \\ \[ u_n = \Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{k^\alpha}. \] Justifier que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est bien définie, puis montrer la convergence de la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$.
Exercice 1728. Nature de $\Sum u_n$ où $u_n=\ln\!\left(\Frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{\sqrt{n}+a}\right)$, avec $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 1729. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\cos\!\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)$.
Exercice 1730.
  1. Déterminer les natures des séries $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^n}{3^{\sqrt{n}}}$ et $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^{\ln n}}{3^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 1731. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n a_n$, où $a_n = \integrale{\Frac{2}{\pi}}{\Frac{4}{\pi}}{\Frac{\sin\!\left(\Frac{1}{t}\right)}{n+t}}{t}$.
Exercice 1732. Calculer $\Sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\Frac{(-1)^n}{n}\Bigr).$
Exercice 1733. Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$, où $a_n=\Frac{(-1)^n}{n-\ln n}$.
Exercice 1734. On considère une suite récurrente telle que $u_0\in\left]0,\Frac{\pi}{2}\right[$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n\cos(u_n)$.\\ Etudier la suite $(u_n)$, puis les séries de terme général $(-1)^n u_n$ et $\ln(\cos u_n)$.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum u_n$.
Exercice 1735. \\
  1. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\Sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^k}{n+1+k}$.\\
  2. Déterminer la nature de la série de terme général $v_n=(-1)^n u_n$.\\
Exercice 1736. Soient $\Sum x_n\in S(\mathbb{C})$ et $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ une application strictement croissante.\\ On pose $y_0=\Sum_{k=0}^{\varphi(0)}x_k$, et pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $y_n=\Sum_{k=\varphi(n-1)+1}^{\varphi(n)}x_k$.\\ Ainsi, $y_n$ constitue un "paquet" de $\varphi(n)-\varphi(n-1)$ termes consécutifs de $\Sum x_k$, en convenant que $\varphi(-1)=-1$.\\
  1. Montrer que si $\Sum x_n$ converge, alors $\Sum y_n$ converge également. Montrer que la réciproque est fausse.\\
  2. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $\Sum x_k$ est à termes positifs.\\
  3. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $(x_n)$ tend vers $0$ et que la suite $(\varphi(n)-\varphi(n-1))$ est majorée.\\
  4. Montrer que la réciproque est vraie lorsqu'à l'intérieur de chaque paquet (pour $k\in[\varphi(n-1)+1,\varphi(n)]$), tous les $x_k$ sont réels et de même signe.\\