Séries alternées

Exercice 2939. Pour toute suite $(u_n)_{n \in \N}$, on définit la suite $(\Delta u_n)_{n \in \N}$ par \[ \Delta u_n=u_n-u_{n+1}. \] Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels positifs ou nuls, décroissante et convergente vers $0$. \\ On pose \[ S=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nu_n. \]
  1. Montrer que, pour tout $p \geqslant 1$, \[ S=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{p-1}\frac{1}{2^k}\Delta^ku_0\right)+\frac{1}{2^p}\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\Delta^pu_n. \]
  2. Soit $f:\R_+\to\R_+$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ telle que, pour tout $p \in \N$ et tout $x \geqslant 0$, \[ (-1)^pf^{(p)}(x)\geqslant 0. \] On suppose de plus que \[ \lim_{n\to+\infty}f(n)=0. \] Montrer que \[ \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^nf(n)=\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}\Delta^kf(0). \]
Exercice 2940. Pour $a\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$, $n\geqslant 3$, posons \[ u_n=(-1)^n\Frac{e^{\sqrt{\ln(\ln n)}}}{n^a}. \] Déterminer la nature de la série $\Sum_{n\geqslant 3}u_n$ en fonction de la valeur de $a$.
Exercice 2941. Considérons la suite $(u_n)_n$ définie par $u_0\in\mathbb{R}$ et \[ u_n=(-1)^n\Frac{\cos(u_{n-1})}{n} \] pour tout $n\geqslant 1$. Déterminer la nature de la série $\Sum_n u_n$.
Exercice 2942. Donner la nature de la série de terme général \[ u_n=\Frac{\sin\left(\pi\sqrt{n^2+1}\right)}{(\ln n)^\alpha}. \]
Exercice 2943. Étudier la série de terme général \[ u_n=\Frac{(-1)^n}{n+\sin(n)},\qquad n\in\mathbb{N}^*. \]
Exercice 2944. Pour tout $n \geqslant 0$, posons \[ u_n=\integrale{0}{\pi/4}{\tan^n t}{t}. \]
  1. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$.\\
  2. Calculer $u_{n+2}+u_n$.\\
  3. Justifier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Déterminer sa limite.\\
  4. Considérons $\Sum_{n\geqslant 1}\dfrac{(-1)^n}{2n-1}$. Justifier la convergence et déterminer sa somme.\\
  5. Considérons $\Sum_{n\geqslant 1}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n}$. Justifier la convergence et déterminer sa somme.
Exercice 2945. Pour tout $n \geqslant 0$, on pose \[ u_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{4}}{\tan^n t}{t} \]
  1. Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
  2. Calculer $u_{n+2}+u_n$.
  3. Justifier la convergence de la suite $(u_n)_{n\in\N}$. Déterminer sa limite.
  4. Considérons \[ \Sum_{n\geqslant 1}\Frac{(-1)^n}{2n-1} \] Justifier la convergence et déterminer sa somme.
  5. Considérons \[ \Sum_{n\geqslant 1}\Frac{(-1)^{n+1}}{n} \] Justifier la convergence et déterminer sa somme.
Exercice 2946. Quelle est la nature de la série \[ \sum \sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\, ? \]
Exercice 2947. \\
  1. Montrer que la suite \[ u_n=\sum_{p=1}^{n}\frac{\ln p}{p}-\frac{1}{2}\ln^2 n \] converge. \\
  2. En déduire la valeur de \[ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{\ln n}{n}. \]
Exercice 2948.
  1. Énoncer le critère spécial des séries alternées (CSSA).\\
  2. Pour quels réels $\alpha$ la série de terme général \[ \Frac{(-1)^n}{n^\alpha} \] converge-t-elle ?\\
  3. Comment calculer à $10^{-3}$ près la somme \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^n}{n^3}\ ? \]
  4. Déterminer la nature de la série de terme général \[ \ln\left(1+\Frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right). \]
Exercice 2949. Nature de la série de terme général \[ u_n=\Frac{(-1)^n}{\ln(n+(-1)^n)},\qquad n\geqslant 2. \]
Exercice 2950. Soit $u_1\in\mathbb{R}$ et \[ u_{n+1}=\Frac{e^{-u_n}}{n} \] pour tout $n\in\mathbb{N}^*$. Déterminer la nature des séries \[ \Sum_n u_n \qquad \text{et} \qquad \Sum_n (-1)^nu_n. \]
Exercice 2951. Calculer $\Sum_{n=2}^{+\infty}\ln\Bigl(1+\Frac{(-1)^n}{n}\Bigr).$
Exercice 2952. \\
  1. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\Sum_{k=0}^{+\infty}\Frac{(-1)^k}{n+1+k}$.\\
  2. Déterminer la nature de la série de terme général $v_n=(-1)^n u_n$.\\
Exercice 2953. Déterminer la nature de la série $\Sum a_n$, où $a_n=\Frac{(-1)^n}{n-\ln n}$.
Exercice 2954. Nature de $\Sum u_n$ où $u_n=\ln\!\left(\Frac{\sqrt{n}+(-1)^n}{\sqrt{n}+a}\right)$, avec $a\in\mathbb{R}$.
Exercice 2955. On considère une suite récurrente telle que $u_0\in\left]0,\Frac{\pi}{2}\right[$ et telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=u_n\cos(u_n)$.\\ Etudier la suite $(u_n)$, puis les séries de terme général $(-1)^n u_n$ et $\ln(\cos u_n)$.\\ Déterminer la nature de la série $\Sum u_n$.
Exercice 2956. Déterminer la nature de la série de terme général $u_n=\cos\!\left(\pi\sqrt{n^2+n}\right)$.
Exercice 2957.
  1. Déterminer les natures des séries $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^n}{3^{\sqrt{n}}}$ et $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n \Frac{2^{\ln n}}{3^{\sqrt{n}}}$.
Exercice 2958. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1} (-1)^n a_n$, où $a_n = \integrale{\frac{2}{\pi}}{\frac{4}{\pi}}{\Frac{\sin\!\left(\frac{1}{t}\right)}{n+t}}{t}$.
Exercice 2959. Nature de la série de terme général $u_n = \Frac{(-1)^n \ln(n)}{n}$, $n \geqslant 1$.
Exercice 2960. Soit $\alpha > 0$. On pose, pour $n \geqslant 1$, \\ \[ u_n = \Sum_{k=n+1}^{+\infty} \Frac{(-1)^k}{k^\alpha}. \] Justifier que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ est bien définie, puis montrer la convergence de la série $\Sum_{n \geqslant 1} u_n$.