Continuité en un point

Exercice 419. $m$ désigne un nombre réel et $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \begin{cases} x^2 &\text{ si } x \leqslant 0 \\ x+m &\text{ si } x > 0 \end{cases}$ \\ Déterminer la valeur de $m$ pour laquelle la fonction $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 420. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x) = \begin{cases} -x+1 \;\; &pour \;\; x<3 \\ x-4 \;\; &pour \;\; 3 \leqslant x < 5 \\ -2x+13 \;\; &pour \;\; x \geqslant 5 \end{cases}\] La fonction $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 421. $h$ est la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \Frac{x^3+1}{x+1}$ si $x \neq -1$ et $h(-1) = 1$. \\
  1. Expliquer pourquoi pour tout réel $x \neq -1$, $h(x) = x^2-x+1$. \\
  2. Etudier alors la continuité de $h$ sur $\R$.
Exercice 422. $g$ est la fonction définie sur $\Rp$ par \[g(x) = \Frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \quad \text{si} \quad x>0 \quad \text{et} \quad g(0) = \Frac{1}{2} \]
  1. Expliquer pourquoi pour tout réel $x > 0$, $g(x) = \Frac{1}{ \sqrt{x+1} + 1}$. \\
  2. Etudier alors la continuité de $g$ sur $\Rp$.
Exercice 423. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(0)=0$ et pour tout $x \neq 0$, $f(x) = x+\Frac{\sqrt{x^2}}{x}$. \\ \\ Etudier la continuité de $f$ sur $\R$.
Exercice 424. Soit la fonction $f$ définie sur $\R[$ par $f(x) = \begin{cases} x\sin \parenthese{ \Frac{1}{x}} &\text{ si } x \neq 0 \\ f(0)=0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue en 0 ? Conclure pour la continuité de $f$ sur $\R$.
Exercice 425. Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \begin{cases} \Frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}} \;\; si \;\; x \neq 0 \\ \\ f(0)=0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue en 0 ? Conclure pour la continuité de $f$ sur $\R$.
Exercice 426. Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(0)=0$ et $\begin{cases} e^{\frac{1}{x}} \quad si \; x < 0 \\ \\ xe^{\frac{x-1}{x^2}} \quad si \; x > 0 \end{cases}$.\\ $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 427. Soit $f$ définie sur $\R$ par $\begin{cases} f(x) = x\cos{\frac{1}{x}} \quad pour \; x \neq 0 \\ f(0) = 0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue sur $\R$ ?
Exercice 428. On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty ; 0[ \cup ]0 ; 4]$ par : $\begin{cases} f(x) = \Frac{x - 2}{\sqrt{4 - x} - 2} \\ f(2) = 0 \end{cases}$. \\ $f$ est-elle continue en $2$ ? En $4$ ?
Exercice 429. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,1[\cup]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Justifier que $f$ est continue sur $]0,1[$ et sur $]1,+\infty[$.