Taylor-Leibniz

1. Soit $\alpha >0$ et $g:[-\alpha,\alpha]\to\mathbb{R}$ une application impaire $5$ fois dérivable sur $[-\alpha,\alpha]$. Montrer \[ \exists \theta\in]0,\alpha[,\quad g(\alpha)=\frac{\alpha}{3}\bigl(g'(\alpha)+2g'(0)\bigr)-\frac{\alpha^5}{180}g^{(5)}(\theta). \]
2. Soient $a,b\in\mathbb{R}$, $a < b$, et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^5$ sur $[a,b]$. Montrer \[ \exists \theta\in]a,b[,\quad f(b)-f(a)=\frac{b-a}{6}\left[f'(a)+f'(b)+4f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(5)}(\theta). \]
3. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^4$. Soit $n\in\mathbb{N}^*$.\\ On considère la subdivision $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{2n}=b$ telle que \[ \forall i,\quad x_i=a+i\frac{b-a}{2n}. \] Si \[ M=\sup_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|, \] montrer \[ \left|\integrale{a}{b}{f(t)}{t}-\frac{b-a}{6n}\bigl(f(a)+4f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(b)\bigr)\right|\leqslant \frac{(b-a)^5}{2880\,n^4}M. \]

1. $\forall x \geqslant 0,\quad x-\frac{x^2}{2} \leqslant \log(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$.\\
2. $\forall x \geqslant 0,\quad x-\frac{x^3}{6} \leqslant \sin x \leqslant x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$.\\
3. $\forall x\in\mathbb{R},\quad 1-\frac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$.

Exercice 2347. X PC

1. On suppose qu'il existe $i\in[0,p-1]$ tel que $f(x)=o(x^n)$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f^{(p)}$ s'annule en un point. \\
2. Comment modifier la preuve précédente si on suppose simplement que $f$ est $p$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ ? \\
3. Que se passe-t-il si $i=p$ ?

1. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$. \\
2. On suppose que $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$. Soit $\alpha > 0$ et \[ M(\alpha)=\sup_{t\in[-2\alpha,2\alpha]}|f''(t)|. \] En utilisant une formule de Taylor, montrer que pour tout $x\in[-\alpha,\alpha]$ on a \\ \[ f'^2(x)\leqslant 2f(x)M(\alpha). \]
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit de classe $C^1$.

1. Soit $p\in\mathbb{N}$. On pose \[ N_p(f)=\max_{0 \leqslant q \leqslant p}\|f^{(q)}\|_\infty. \] Montrer que $N_p$ est une norme sur $E$.\\
2. Soit $\varphi$ une fonction $C^\infty$, nulle en dehors de $[-1,1]$, telle que \[ \varphi(0)=1 \quad \text{et} \quad \varphi^{(p)}(0)=0 \quad \text{si} \quad p\geqslant1. \] Comment construire une telle fonction ?\\
3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ \lim_{\varepsilon\to0^+}N_n\Bigl(\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon}\Bigr)x^{n+1}\Bigr)=0. \]
4. On se donne une suite $(a_n)$ de réels. Construire une suite décroissante de réels strictement positifs $(\varepsilon_n)$ telle que \[ N_n\Bigl(\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon_n}\Bigr)x^{n+1}\Bigr)\leqslant \min\Bigl(1,\frac{1}{|a_{n+1}|}\Bigr). \] On pose \[ g(x)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon_{n-1}}\Bigr)\frac{a_nx^n}{n!}. \] Montrer que $g$ est de classe $C^\infty$ et vérifie \[ g^{(n)}(0)=a_n \] pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\

1. Soit $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $A$ à coefficients réels de degré $\leqslant n-1$ tel que pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $A(x_k)=\alpha_k$.\\
2. 1. Déterminer l'unique polynôme $P \in \R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $P(x_k)=f(x_k)$.\\
   2. Soit $x \in I\setminus\{x_1,\dots,x_n\}$. Déterminer l'unique polynôme $Q \in \R_n[X]$ tel que $\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $Q(x_i)=f(x_i)$ et $Q(x)=f(x)$.\\
   3. En déduire qu'il existe $c \in I$ tel que $f(x)-P(x)=\Frac{f^{(n)}(c)}{n!}\Prod_{i=1}^n (x-x_i)$.

1. Montrer que pour tout $a \in \R_+^*$ et pour tout $x \in \R$, on a \[ |f'(x)| \leqslant \Frac{M_0}{a} + \Frac{1}{2} M_2 a. \]
2. En déduire que $f'$ est bornée sur $\R$ et que, en notant $M_1 = \sup_{x \in \R} |f'(x)|$, on a \[ M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}. \]

1. $y=e^{2x}(x^2-3x+1)$.\\
2. $y=e^{ax}\sin(bx)$, $(a,b\in\R^{\ast})$.\\
3. $y=\Frac{1}{ax+b}$, $(a\in\R^{\ast})$.\\
4. $y=\Frac{1-x}{1+x}$.\\
5. $y=\Frac{7}{4-x^2}$.\\
6. $y=\sin^4x+\cos^4x+\Frac12\sin^2(2x)$.\\
7. $y=x^n\ln x$.\\
8. Montrer par récurrence que la dérivée $n$-ième de $y=x^{n-1}e^{\Frac1x}$ est $(-1)^n\Frac{e^{\Frac1x}}{x^{n+1}}$.\\
9. Trouver une "forme générale" de la dérivée $n$-ième de $y=\Frac{1}{x^2+1}$.

1. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$.\\ On note encore $f$ son prolongement par continuité en $0$, défini sur $\R_+$.\\
2. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R_+^{\ast}$ et de classe $C^1$ sur $\R_+$.\\
3. Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe $P_n \in \R[X]$ tel que pour tout $x \in \R_+^{\ast}$, $f^{(n)}(x)=P_n\parenthese{\Frac{1}{x}}e^{-\frac{1}{x}}$.\\
4. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R_+$.

1. Montrer que la fonction $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.\\
2. Donner une majoration de $\|f'\|_{\infty}$ en fonction seulement de $\|f\|_{\infty}$ et $\|f''\|_{\infty}$.

1. Montrer que $f'$ est bornée sur $\R$.\\
2. On pose $M_i = \sup_{x \in \R} | f^{(i)}(x) |$.\\ Montrer que $M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}$.\\

Exercice 2370. X ENS

1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\alpha_n=\integrale{0}{1}{(1-t)^n e^t}{t}$. \\
   1. Déterminer un équivalent de $\alpha_n$. \\
   2. En déduire un équivalent de $u_n=\sin(\pi e\,n!)$.

1. Montrer que pour tout $r > 0$, la suite définie par $v_n=\Frac{r^n}{n!}$ converge vers $0$ (on pourra déterminer $\limn \Frac{v_{n+1}}{v_n}$).\\
2. En déduire que $e^x=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{x^n}{n!}$.\\
3. En déduire que $e$ est irrationnel.\\

1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$ :\\ \[ \left|\ln(2) - \Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}\right| \leqslant \Frac{1}{n}.\\ \]
2. En déduire que\\ \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln(2). \]