Taylor-Leibniz

Exercice 1185. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.

Exercice 1186. Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable sur $\R$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. \\ On note $M_0 = \sup_{x \in \R} |f(x)|$ et $M_2 = \sup_{x \in \R} |f''(x)|$. \\

1. Montrer que pour tout $a \in \R_+^*$ et pour tout $x \in \R$, on a \[ |f'(x)| \leqslant \Frac{M_0}{a} + \Frac{1}{2} M_2 a. \]
2. En déduire que $f'$ est bornée sur $\R$ et que, en notant $M_1 = \sup_{x \in \R} |f'(x)|$, on a \[ M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}. \]