Taylor-Leibniz

Exercice 1549. Calculer la dérivée $n$-ième de la fonction $x \mapsto x e^{-x}$.
Exercice 1550. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.
Exercice 1551. Soit $f$ une application $\mathcal{C}^2$ de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ telle que $f'(a)=f'(b)=0$. \\ Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que \[ |f''(c)| \geqslant \Frac{4}{(b-a)^2}\,|f(b)-f(a)|. \]
Exercice 1552. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$ :\\ \[ \left|\ln(2) - \Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}\right| \leqslant \Frac{1}{n}.\\ \]
  2. En déduire que\\ \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln(2). \]
Exercice 1553. Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ de degré $n$.\\ Soit $a \in \R$ tel que $P(a)$, $P'(a)$, $\ldots$, $P^{(n)}(a)$ soient strictement positifs.\\ Montrer que $P$ n’a pas de racine dans $[a,+\infty[$.
Exercice 1554. En majorant $\left|\sin\left(\Frac{1}{n}\sin x\right) - \Frac{1}{n}\sin x\right|$, déterminer la limite de $u_n = n\integrale{0}{\pi}{\sin\left(\Frac{1}{n}\sin x\right)}{x}$.
Exercice 1555. Trouver une valeur approchée rationnelle à $10^{-4}$ près de $\sqrt{e}$.
Exercice 1556. Démontrer que la fonction $\tan$ est absolument croissante sur $[0;\Frac{\pi}{2}[$, c'est-à-dire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de $\tan$ est positive sur $[0;\Frac{\pi}{2}[$.
Exercice 1557. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$.\\ On suppose que les fonctions $f$ et $f''$ sont bornées sur $\mathbb{R}$.\\ Pour toute fonction bornée $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, on note $\|g\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |g(x)|$.\\
  1. Montrer que la fonction $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Donner une majoration de $\|f'\|_{\infty}$ en fonction seulement de $\|f\|_{\infty}$ et $\|f''\|_{\infty}$.
Exercice 1558. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction continue. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$, justifier l’existence d’une primitive $n$-ième de $f$ sur $\mathbb{R}$, notée $f^{[n]}$, et démontrer que l’on peut prendre \\ $\forall x \in \mathbb{R},\; f^{[n]}(x)=\integrale{0}{x}{\Frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f(t)}{t}$.
Exercice 1559. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$, $x-\Frac{x^2}{2}\leqslant \ln(1+x)\leqslant x$.\\ En déduire que : $\limn \Prod_{k=1}^{n}\left(1+\Frac{k}{n^2}\right)=\sqrt{e}$.\\
Exercice 1560. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré impair et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^\infty$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ait $|f^{(n)}(x)| \leqslant |P(x)|$. \\ Montrer que la fonction $f$ est nulle.
Exercice 1561. Soit $f$ de classe $C^2$ sur $\R$ avec $f$ et $f''$ bornées.\\
  1. Montrer que $f'$ est bornée sur $\R$.\\
  2. On pose $M_i = \sup_{x \in \R} | f^{(i)}(x) |$.\\ Montrer que $M_1^2 \leqslant 2 M_0 M_2$.\\
On appliquera la formule de Taylor Lagrange entre $x_0$ et $x_0 + h$ et entre $x_0$ et $x_0 - h$.
Exercice 1562. Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable sur $\R$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. \\ On note $M_0 = \sup_{x \in \R} |f(x)|$ et $M_2 = \sup_{x \in \R} |f''(x)|$. \\
  1. Montrer que pour tout $a \in \R_+^*$ et pour tout $x \in \R$, on a \[ |f'(x)| \leqslant \Frac{M_0}{a} + \Frac{1}{2} M_2 a. \]
  2. En déduire que $f'$ est bornée sur $\R$ et que, en notant $M_1 = \sup_{x \in \R} |f'(x)|$, on a \[ M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}. \]
Exercice 1563. Soit $n \in \mathbb{N}^\star$ et, pour $t \in ]-1;+\infty[$, posons $f_n(t)=t^{n-1}\ln(1+t)$. \\ Montrer que : $\forall t \in ]-1;+\infty[,\; f_n^{(n)}(t)=(n-1)!\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{(1+t)^k}$.
Exercice 1564.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\alpha_n=\integrale{0}{1}{(1-t)^n e^t}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de $\alpha_n$. \\
    2. En déduire un équivalent de $u_n=\sin(\pi e\,n!)$.

Exercice 1565. X ENS

\\ Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ une fonction de classe $C^{\infty}$.\\ On définit $g : [0,+\infty[ \to \R$ par \[ g(x)= \begin{cases} \Frac{f(x)-f(0)}{x} & x > 0,\\ f'(0) & x = 0. \end{cases} \] Montrer que la fonction $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0,+\infty[$.
Exercice 1566. Soit $f:I \to \mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ de cardinal infini. \\ On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $t \in I$, $f^{(2k+1)}(t) \neq 0$. \\ Pour tout $\alpha \in I$ et $x \in I$, on pose \[ T_\alpha(x)=\Sum_{h=0}^{2k}\Frac{(x-\alpha)^h}{h!}\,f^{(h)}(\alpha). \] Montrer que les graphes des applications $T_\alpha$ sont deux à deux disjoints.
Exercice 1567. \\
  1. Montrer que pour tout $r > 0$, la suite définie par $v_n=\Frac{r^n}{n!}$ converge vers $0$ (on pourra déterminer $\limn \Frac{v_{n+1}}{v_n}$).\\
  2. En déduire que $e^x=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{x^n}{n!}$.\\
  3. En déduire que $e$ est irrationnel.\\
Exercice 1568. Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ de classe $C^\infty$, non identiquement nulle. On suppose qu’il existe $a\in[0,1]$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(n)}(a)=0$. Montrer que\\ \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{N(f^{(n)})}\leqslant \Frac{e}{N(f)},\\ \] où $N(g)$ désigne $\sup_{[0,1]}|g|$.