Taylor-Leibniz

Exercice 2911. Soit $f : I \to \R$ et $a$ un point intérieur à $I$. On suppose $f$ de classe $C^1$ sur $I$ et deux fois dérivable en $a$.\\ En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer $\lim_{x\to 0}\Frac{1}{x^2}\left(f(a+x)+f(a-x)-2f(a)\right)$.
Exercice 2912. Calculer la dérivée $n$-ième de la fonction $x \mapsto x e^{-x}$.
Exercice 2913. Démontrer les inégalités suivantes.\\
  1. $\forall x \geqslant 0,\quad x-\frac{x^2}{2} \leqslant \log(1+x) \leqslant x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}$.\\
  2. $\forall x \geqslant 0,\quad x-\frac{x^3}{6} \leqslant \sin x \leqslant x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}$.\\
  3. $\forall x\in\mathbb{R},\quad 1-\frac{x^2}{2} \leqslant \cos x \leqslant 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$.
Exercice 2914. Démontrer que pour tout $x \in \R_+^{\ast}$,\\ \[ x-\Frac{x^3}{6}\leqslant \sin x \leqslant x-\Frac{x^3}{6}+\Frac{x^5}{120}. \]
Exercice 2915. En majorant $\left|\sin\left(\Frac{1}{n}\sin x\right) - \Frac{1}{n}\sin x\right|$, déterminer la limite de $u_n = n\integrale{0}{\pi}{\sin\left(\Frac{1}{n}\sin x\right)}{x}$.
Exercice 2916. Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ de degré $n$.\\ Soit $a \in \R$ tel que $P(a)$, $P'(a)$, $\ldots$, $P^{(n)}(a)$ soient strictement positifs.\\ Montrer que $P$ n’a pas de racine dans $[a,+\infty[$.
Exercice 2917. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$ :\\ \[ \left|\ln(2) - \Sum_{k=1}^{n}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}\right| \leqslant \Frac{1}{n}.\\ \]
  2. En déduire que\\ \[ \Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln(2). \]

Exercice 2918. X PC

\\ Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ un polynôme de degré impair et $f$ une fonction $C^{+\infty}$ sur $\mathbb{R}$.\\ On suppose que\\ \[ \forall n \in \mathbb{N},\forall x \in \mathbb{R},\ |f^{(n)}(x)| \leqslant |P(x)|. \] Montrer que $f$ est identiquement nulle.
Exercice 2919. Soit $f\in C^1([0,1],\mathbb{R})$ une fonction deux fois dérivable sur $]0,1[$ vérifiant \[ f(0)=f'(0)=f'(1)=0 \quad \text{et} \quad f(1)=1. \] Montrer qu'il existe $x\in]0,1[$ tel que \[ |f''(x)| \geqslant 4. \]
Exercice 2920. Soit $f : \R \to \R$ une fonction de classe $C^2$, on suppose que $f$ et $f''$ sont bornées. Montrer que $f'$ est bornée.
Exercice 2921. Soit $P$ un polynôme non nul et $a \in \R$. Montrer que si $P^{(k)}(a) \geqslant 0$ pour tout $k \in \N$, alors $P$ n'admet pas de racine sur l'intervalle $]a,+\infty[$.
Exercice 2922. Soit $f\in C^2([a,b],\R)$ et la suite $(u_n)$ définie pour $n$ non nul par\\ \[ u_n=\Frac{b-a}{n}\Sum_{k=0}^{n-1} f'\parenthese{a+\Frac{k}{n}(b-a)}. \] Montrer que $\lim u_n=f(b)-f(a)$.
Exercice 2923. Soit $f : [a,b] \to \R$ une application de classe $C^{n}$ sur $[a,b]$, et $(n+1)$ fois dérivable sur $]a,b[$, à valeurs réelles.\\ Montrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que\\ \[ f(b)=f(a)+\Sum_{k=1}^{n}\Frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+\Frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}. \]
Exercice 2924. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.
Exercice 2925. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$.\\ On suppose que les fonctions $f$ et $f''$ sont bornées sur $\mathbb{R}$.\\ Pour toute fonction bornée $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, on note $\|g\|_{\infty} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |g(x)|$.\\
  1. Montrer que la fonction $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Donner une majoration de $\|f'\|_{\infty}$ en fonction seulement de $\|f\|_{\infty}$ et $\|f''\|_{\infty}$.
Exercice 2926. Trouver une valeur approchée rationnelle à $10^{-4}$ près de $\sqrt{e}$.
Exercice 2927. Démontrer que la fonction $\tan$ est absolument croissante sur $[0;\Frac{\pi}{2}[$, c'est-à-dire que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de $\tan$ est positive sur $[0;\Frac{\pi}{2}[$.
Exercice 2928. \\
  1. Montrer que pour tout $r > 0$, la suite définie par $v_n=\Frac{r^n}{n!}$ converge vers $0$ (on pourra déterminer $\limn \Frac{v_{n+1}}{v_n}$).\\
  2. En déduire que $e^x=\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{x^n}{n!}$.\\
  3. En déduire que $e$ est irrationnel.\\
Exercice 2929. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction continue. \\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^\star$, justifier l’existence d’une primitive $n$-ième de $f$ sur $\mathbb{R}$, notée $f^{[n]}$, et démontrer que l’on peut prendre \\ $\forall x \in \mathbb{R},\; f^{[n]}(x)=\integrale{0}{x}{\Frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}\,f(t)}{t}$.
Exercice 2930. Montrer que pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$, $x-\Frac{x^2}{2}\leqslant \ln(1+x)\leqslant x$.\\ En déduire que : $\limn \Prod_{k=1}^{n}\left(1+\Frac{k}{n^2}\right)=\sqrt{e}$.\\
Exercice 2931. Soit $f$ une application $\mathcal{C}^2$ de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ telle que $f'(a)=f'(b)=0$. \\ Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que \[ |f''(c)| \geqslant \Frac{4}{(b-a)^2}\,|f(b)-f(a)|. \]
Exercice 2932. Justifier que les fonctions suivantes sont de classe $C^\infty$ sur un ou des intervalles à préciser et calculer leurs dérivées $n$-ièmes pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
  1. $f:x\mapsto \dfrac{1}{1-x^2}$.
  2. $f:x\mapsto \cos(x)e^x$.\\ On admet le résultat suivant : pour tout $g\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{C})$, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ \operatorname{Re}(g^{(n)})=(\operatorname{Re}(g))^{(n)}. \]
  3. $f:x\mapsto \sin^3(x)$
Exercice 2933. Calculer les dérivées successives de :\\
  1. $x\mapsto x^\alpha$, avec $\alpha\in\mathbb{R}$.
  2. $x\mapsto a^x$, avec $a > 0$.
  3. $\sin$ et $\cos$.
  4. $x\mapsto \dfrac{1}{x+a}$, avec $a\in\mathbb{R}$.
  5. $x\mapsto x^2\sin(x)$.
  6. $x\mapsto e^{2x}\sin(x)$
Exercice 2934.
  1. On pose $g(x)=e^{2x}$ et $h(x)=\dfrac{1}{1+x}$.\\ Calculer, pour tout entier naturel $k$, la dérivée d'ordre $k$ des fonctions $g$ et $h$ sur leurs ensembles de définition respectifs.
  2. On pose \[ f(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+x}. \] En utilisant la formule de Leibniz, déterminer, pour tout entier naturel $n$ et pour $x\in\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, la valeur de $f^{(n)}(x)$.
  3. Démontrer, dans le cas général, la formule de Leibniz utilisée dans la question précédente
Exercice 2935. Soit $f:x\mapsto \dfrac{1}{1+x^2}$.\\ Montrer qu'il existe, pour tout $n\in\mathbb{N}$, une fonction polynomiale $P_n$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, \[ f^{(n)}(x)=\dfrac{P_n(x)}{(1+x^2)^{n+1}}. \] Préciser le degré de $P_n$
Exercice 2936. Justifier l'existence des dérivées $n$-ièmes des fonctions suivantes et calculer ces dérivées $n$-ièmes :\\
  1. $f:x\mapsto (x^2+2)e^{2x}$.
  2. $f:x\mapsto \ln(x+1)$.
  3. $f:x\mapsto (1+x)^nx^2$
Exercice 2937. Soient $m\geqslant 2$ un entier, $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^m$ et $n\in\mathbb{N}^*$, $n < m$.\\ On suppose qu’il existe un entier $k$, $n < k \leqslant m$, tel que $f^{(k)}(0)\neq 0$. D’après l’égalité de Taylor-Lagrange, \[ \forall x\in\mathbb{R},\exists \theta_x\in]0,1[,\quad f(x)=f(0)+xf'(0)+\cdots+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(0)+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(\theta_x x). \] Montrer l’existence et donner la valeur de \[ \lim_{x\to 0}\theta_x. \]
Exercice 2938. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dérivable en $0$ et vérifiant \[ f(0)=0. \] Déterminer la limite de la suite de terme général \[ s_n=\Sum_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n^2}\right). \]
Exercice 2939. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^p$. \\
  1. On suppose qu'il existe $i\in[0,p-1]$ tel que $f(x)=o(x^n)$ lorsque $|x|$ tend vers $+\infty$. Montrer que $f^{(p)}$ s'annule en un point. \\
  2. Comment modifier la preuve précédente si on suppose simplement que $f$ est $p$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ ? \\
  3. Que se passe-t-il si $i=p$ ?
Exercice 2940. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme de degré impair et $f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ telle que \[ |f^{(n)}(x)| \leqslant |P(x)| \] pour tout $x\in\mathbb{R}$ et tout $n\in\mathbb{N}$. Que dire de $f$ ?
Exercice 2941. Calculer la dérivée $n$-ième de $x^n(1-x)^n$ en utilisant la formule de Leibniz.\\ Calculer de deux façons différentes le coefficient de $x^n$ dans cette dérivée et en déduire la valeur de $\Sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2$.
Exercice 2942. Soit $n\in\N^{\ast}$. Déterminer les dérivées $n$-ièmes de\\
  1. $y=e^{2x}(x^2-3x+1)$.\\
  2. $y=e^{ax}\sin(bx)$, $(a,b\in\R^{\ast})$.\\
  3. $y=\Frac{1}{ax+b}$, $(a\in\R^{\ast})$.\\
  4. $y=\Frac{1-x}{1+x}$.\\
  5. $y=\Frac{7}{4-x^2}$.\\
  6. $y=\sin^4x+\cos^4x+\Frac12\sin^2(2x)$.\\
  7. $y=x^n\ln x$.\\
  8. Montrer par récurrence que la dérivée $n$-ième de $y=x^{n-1}e^{\Frac1x}$ est $(-1)^n\Frac{e^{\Frac1x}}{x^{n+1}}$.\\
  9. Trouver une "forme générale" de la dérivée $n$-ième de $y=\Frac{1}{x^2+1}$.
Exercice 2943. Soit $f:\R_+^{\ast}\to\R$ définie par $f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$.\\
  1. Montrer que $f$ se prolonge par continuité en $0$.\\ On note encore $f$ son prolongement par continuité en $0$, défini sur $\R_+$.\\
  2. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R_+^{\ast}$ et de classe $C^1$ sur $\R_+$.\\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe $P_n \in \R[X]$ tel que pour tout $x \in \R_+^{\ast}$, $f^{(n)}(x)=P_n\parenthese{\Frac{1}{x}}e^{-\frac{1}{x}}$.\\
  4. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\R_+$.
Exercice 2944. Soit $n\in\N$, $p,q\in\N$ et soit $f:x\mapsto \Frac{(x-p)^n(x-q)^n}{n!}$.\\ Montrer que les dérivées successives de $f$ en $p$ et $q$ sont toutes entières.
Exercice 2945. Soit $f$ de classe $C^2$ sur $\R$ avec $f$ et $f''$ bornées.\\
  1. Montrer que $f'$ est bornée sur $\R$.\\
  2. On pose $M_i = \sup_{x \in \R} | f^{(i)}(x) |$.\\ Montrer que $M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}$.\\
On appliquera la formule de Taylor Lagrange entre $x_0$ et $x_0 + h$ et entre $x_0$ et $x_0 - h$.
Exercice 2946.
  1. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $\alpha_n=\integrale{0}{1}{(1-t)^n e^t}{t}$. \\
    1. Déterminer un équivalent de $\alpha_n$. \\
    2. En déduire un équivalent de $u_n=\sin(\pi e\,n!)$.
Exercice 2947. Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ de classe $C^\infty$, non identiquement nulle. On suppose qu’il existe $a\in[0,1]$ tel que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $f^{(n)}(a)=0$. Montrer que\\ \[ \Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{1}{N(f^{(n)})}\leqslant \Frac{e}{N(f)},\\ \] où $N(g)$ désigne $\sup_{[0,1]}|g|$.
Exercice 2948. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré impair et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^\infty$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ait $|f^{(n)}(x)| \leqslant |P(x)|$. \\ Montrer que la fonction $f$ est nulle.
Exercice 2949. Soit $n \in \mathbb{N}^\star$ et, pour $t \in ]-1;+\infty[$, posons $f_n(t)=t^{n-1}\ln(1+t)$. \\ Montrer que : $\forall t \in ]-1;+\infty[,\; f_n^{(n)}(t)=(n-1)!\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{(1+t)^k}$.
Exercice 2950. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[ f(x)= \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & si\; x > 0,\\ 0 & sinon. \end{cases} \]
  1. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, montrer qu'il existe une fonction polynomiale $P_n$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R}_+^*$, \[ f^{(n)}(x)=P_n\left(\dfrac{1}{x}\right)e^{-\frac{1}{x}}. \]
  2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb{R}$ et donner pour tout $n\in\mathbb{N}$ la valeur de $f^{(n)}(0)$
Exercice 2951. Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de \[ f(x)=(x-1)^n(x+1)^n \] de deux manières différentes.\\ En identifiant les coefficients dominants, retrouver la formule \[ \Sum_{k=0}^{n}\Binom{n}{k}^2=\Binom{2n}{n} \]
Exercice 2952. Soient $I$ un intervalle, $f\in C^{n+1}(I)$, $a\in I$ et $x\in I$.\\
  1. On suppose $x\neq a$.\\ On considère, pour $A\in\mathbb{R}$, la fonction \[ \varphi:t\mapsto f(x)-\Sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k-\dfrac{A}{(n+1)!}(x-t)^{n+1}. \]
    1. Déterminer $A$ pour que $\varphi(a)=0$.
    2. Calculer $\varphi'(t)$.
    3. En déduire qu'il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $x$ tel que \[ f(x)=\Sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}. \]
  2. En déduire que si $f^{(n+1)}$ est bornée sur $I$, alors \[ \left|f(x)-\Sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right| \leqslant \dfrac{\sup_I |f^{(n+1)}|}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}. \]
  3. Appliquer ce résultat à $f=\cos$ en $a=0$ et en déduire le développement en série entière de $\cos$
Exercice 2953. Soient $a,b\in\overline{\mathbb{R}}$ tels que $a < b$.\\ On dit que $f$ est absolument monotone si $f\in C^\infty(]a,b[)$ et si \[ \forall n\in\mathbb{N},\quad \forall x\in]a,b[,\quad f^{(n)}(x)\geqslant 0. \]
  1. Montrer que toute application absolument monotone est positive et croissante. Donner un exemple d'application absolument monotone et décroissante.
  2. Soit $f$ et $g$ deux fonctions absolument monotones sur $]a,b[$. Montrer que $f+g$, $fg$ et $e^f$ sont absolument monotones.
  3. Montrer que \[ g: \begin{cases} ]0,1[\to\mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{1}{1+x}\right) \end{cases} \] est absolument monotone.
  4. Faire de même avec \[ g: \begin{cases} ]0,1[\to\mathbb{R}\\ x\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{cases} \]
  5. Montrer que $\arcsin$ est absolument monotone sur $]0,1[$
Exercice 2954. Montrer que $e$ n'est pas algébrique d'ordre $2$, c'est-à-dire qu'on ne peut pas trouver trois entiers $a,b,c$ non tous nuls tels que \[ ae^2+be+c=0. \] On pourra raisonner par l'absurde en considérant le développement de Taylor de la fonction \[ f:x\mapsto ae^x+ce^{-x}. \]
Exercice 2955. Soit $f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que \[ f(0)=0 \quad \text{et} \quad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \] Démontrer l'existence d'une suite $(x_n)$ strictement croissante à valeurs positives telle que \[ f^{(n)}(x_n)=0 \] pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.
Exercice 2956. \\
  1. Soit $\alpha >0$ et $g:[-\alpha,\alpha]\to\mathbb{R}$ une application impaire $5$ fois dérivable sur $[-\alpha,\alpha]$. Montrer \[ \exists \theta\in]0,\alpha[,\quad g(\alpha)=\frac{\alpha}{3}\bigl(g'(\alpha)+2g'(0)\bigr)-\frac{\alpha^5}{180}g^{(5)}(\theta). \]
  2. Soient $a,b\in\mathbb{R}$, $a < b$, et $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^5$ sur $[a,b]$. Montrer \[ \exists \theta\in]a,b[,\quad f(b)-f(a)=\frac{b-a}{6}\left[f'(a)+f'(b)+4f'\left(\frac{a+b}{2}\right)\right]-\frac{(b-a)^5}{2880}f^{(5)}(\theta). \]
  3. Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^4$. Soit $n\in\mathbb{N}^*$.\\ On considère la subdivision $a=x_0 < x_1 < \cdots < x_{2n}=b$ telle que \[ \forall i,\quad x_i=a+i\frac{b-a}{2n}. \] Si \[ M=\sup_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|, \] montrer \[ \left|\integrale{a}{b}{f(t)}{t}-\frac{b-a}{6n}\bigl(f(a)+4f(x_1)+2f(x_2)+\cdots+2f(x_{2n-2})+4f(x_{2n-1})+f(b)\bigr)\right|\leqslant \frac{(b-a)^5}{2880\,n^4}M. \]
Exercice 2957. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$, positive sur $\mathbb{R}$. \\
  1. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit dérivable sur $\mathbb{R}$. \\
  2. On suppose que $f(0)=f'(0)=f''(0)=0$. Soit $\alpha > 0$ et \[ M(\alpha)=\sup_{t\in[-2\alpha,2\alpha]}|f''(t)|. \] En utilisant une formule de Taylor, montrer que pour tout $x\in[-\alpha,\alpha]$ on a \\ \[ f'^2(x)\leqslant 2f(x)M(\alpha). \]
  3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $\sqrt{f}$ soit de classe $C^1$.
Exercice 2958. Soient $f \in \mathcal{C}^3(\R,\R)$ et $a \in \R$. Déterminer la limite : \[ \lim_{h\to 0}\Frac{f\left(a+\Frac{3h}{2}\right)-3f\left(a+\Frac{h}{2}\right)+3f\left(a-\Frac{h}{2}\right)-f\left(a-\Frac{3h}{2}\right)}{h^3} \] Proposer, puis prouver une généralisation de ce résultat.
Exercice 2959. Soit $E$ l'ensemble des fonctions réelles de classe $C^\infty$ à support compact.\\
  1. Soit $p\in\mathbb{N}$. On pose \[ N_p(f)=\max_{0 \leqslant q \leqslant p}\|f^{(q)}\|_\infty. \] Montrer que $N_p$ est une norme sur $E$.\\
  2. Soit $\varphi$ une fonction $C^\infty$, nulle en dehors de $[-1,1]$, telle que \[ \varphi(0)=1 \quad \text{et} \quad \varphi^{(p)}(0)=0 \quad \text{si} \quad p\geqslant1. \] Comment construire une telle fonction ?\\
  3. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, \[ \lim_{\varepsilon\to0^+}N_n\Bigl(\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon}\Bigr)x^{n+1}\Bigr)=0. \]
  4. On se donne une suite $(a_n)$ de réels. Construire une suite décroissante de réels strictement positifs $(\varepsilon_n)$ telle que \[ N_n\Bigl(\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon_n}\Bigr)x^{n+1}\Bigr)\leqslant \min\Bigl(1,\frac{1}{|a_{n+1}|}\Bigr). \] On pose \[ g(x)=a_0+\sum_{n=1}^{+\infty}\varphi\Bigl(\frac{x}{\varepsilon_{n-1}}\Bigr)\frac{a_nx^n}{n!}. \] Montrer que $g$ est de classe $C^\infty$ et vérifie \[ g^{(n)}(0)=a_n \] pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
Exercice 2960. Soit $n \in \N^\star$, une application $f \in C^n(I,\R)$ et $x_1,\dots,x_n$ des points distincts de l'intervalle $I$.\\
  1. Soit $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\R^n$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $A$ à coefficients réels de degré $\leqslant n-1$ tel que pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $A(x_k)=\alpha_k$.\\
    1. Déterminer l'unique polynôme $P \in \R_{n-1}[X]$ tel que pour tout $k \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $P(x_k)=f(x_k)$.\\
    2. Soit $x \in I\setminus\{x_1,\dots,x_n\}$. Déterminer l'unique polynôme $Q \in \R_n[X]$ tel que $\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket$, $Q(x_i)=f(x_i)$ et $Q(x)=f(x)$.\\
    3. En déduire qu'il existe $c \in I$ tel que $f(x)-P(x)=\Frac{f^{(n)}(c)}{n!}\Prod_{i=1}^n (x-x_i)$.
Exercice 2961. Soit $f : \R \to \R$ deux fois dérivable sur $\R$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. \\ On note $M_0 = \sup_{x \in \R} |f(x)|$ et $M_2 = \sup_{x \in \R} |f''(x)|$. \\
  1. Montrer que pour tout $a \in \R_+^*$ et pour tout $x \in \R$, on a \[ |f'(x)| \leqslant \Frac{M_0}{a} + \Frac{1}{2} M_2 a. \]
  2. En déduire que $f'$ est bornée sur $\R$ et que, en notant $M_1 = \sup_{x \in \R} |f'(x)|$, on a \[ M_1 \leqslant \sqrt{2 M_0 M_2}. \]
Exercice 2962. Soit $f:I \to \mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$ de cardinal infini. \\ On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que, pour tout $t \in I$, $f^{(2k+1)}(t) \neq 0$. \\ Pour tout $\alpha \in I$ et $x \in I$, on pose \[ T_\alpha(x)=\Sum_{h=0}^{2k}\Frac{(x-\alpha)^h}{h!}\,f^{(h)}(\alpha). \] Montrer que les graphes des applications $T_\alpha$ sont deux à deux disjoints.

Exercice 2963. X ENS

\\ Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ une fonction de classe $C^{\infty}$.\\ On définit $g : [0,+\infty[ \to \R$ par \[ g(x)= \begin{cases} \Frac{f(x)-f(0)}{x} & x > 0,\\ f'(0) & x = 0. \end{cases} \] Montrer que la fonction $g$ est de classe $C^{\infty}$ sur $[0,+\infty[$.