Récurrences

Exercice 2288. Suite de Fibonacci

\\ On considère la suite de fibonacci notée $(F_n)$ définie par $F_0=F_1=1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \] Montrer que la suite $(F_n)$ vérifie pour tout $n \in \N$, $F_nF_{n+2} -F_{n+1}^2 = (-1)^n$.
Exercice 2289. \\ On considère la suite de fibonacci $(F_n)$ définie par $F_0=F_1=1$ et pour tout $n \geqslant 0$, \[ F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n} \]
  1. Déterminer l'unique réel $\varphi > 0$ tel que $x^2=x+1$.\\
  2. Montrer que pour tout naturel $n \geqslant 2$, $\varphi^{n+1} < F_n < \varphi^n$. \\
  3. Montrer que pour tout $n \in \N$, $F_n = \Frac{1}{\sqrt{5}}\parenthese{\parenthese{\Frac{1+\sqrt{5}}{2}}^{n+1}-\parenthese{\Frac{1-\sqrt{5}}{2}}^{n+1}}$.
Exercice 2290. \\ Soit $x \in \R^*$ tel que $x + \Frac{1}{x}$ soit un entier. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $x^n+\Frac{1}{x^n}$ est un entier.
Exercice 2291. Montrer que pour tout $x \in \R_{+}$, pour tout $n \in \N$, on a \[ e^x \geqslant 1+x+\hdots+\Frac{x^n}{n!} \]
Exercice 2292. On considère $n$ réels $x_1,\hdots,x_n$ et $f$ l'application définie sur $\R$ par \[ \forall k \in \llbracket 2, n \rrbracket, \;\; f(x_k) = x_{k-1} \quad et \;\; f(x_1) = x_n \] On note $f^{(k)} = f \circ f \circ \hdots \circ f$, $k$-fois. \\ Exprimer pour tout naturel $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, $f^{(k)}(x_k)$ en fonction de $x_n$.
Exercice 2293. \\
  1. Soient $a_1, \hots, a_n$ des réels positifs. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}(1+a_i) \geqslant 1+ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_i$. \\
  2. Soient $a_1, \hdots, a_n$ des réels supérieurs à $1$. Montrer que $\displaystyle \prod_{i=1}^{n}a_i \geqslant 1-n+\sum_{i=1}^{n}a_i$.
Exercice 2294. Soit $n \in \N^*$ et $u_0, u_1, \hdots, u_{n}$ des réels tels que $u_n = 1$ et pour tout $p \in \{1,\hdots,n\}$, $u_{p-1} = \Frac{u_p}{p}$. \\ Exprimer pour tout $p \in \{0,\hdots,n\}$, $u_p$ en fonction de $n$ et $p$.

Exercice 2295. Suite de Wallis

\\ On définit la suite $(W_n)$ par les conditions $W_0 = 0$, $W_1 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $W_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}W_n$. \\
  1. Donner la valeur de $W_{2p}$ pour tout $p \in \N$. \\
  2. A l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que pour tout $p \in \N$, $W_{2p+1} = \Frac{4^p(p!)^2}{(2p+1)!}$.
Exercice 2296. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Sum_{k=1}^{2n} \Frac{(-1)^{k-1}}{k} = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{n+k}$.
Exercice 2297. Soit $(I_{p,q})$ la suite définie pour tout $p \in \N$ et $q \in \N$ par \[ \forall (p,q) \in \N^* \times \N, \;\; I_{p,q} = \Frac{p}{q+1}I_{p-1,q+1} \] et $I_{0,q} = \Frac{1}{q+1}$. \\ Déterminer l'expression de $I_{p,q}$ en fonction de $p$ et $q$ pour tout $p,q \in \N$.
Exercice 2298. Soit $(a_n)_{n \in \N^*} \in \R^{\N^*}$ vérifiant $\forall (n,p) \in (\N^*)^2,\; a_{n+p} \leqslant a_n + a_p$.\\
  1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $n a_{n+1} \leqslant 2 \Sum_{p=1}^{n} a_p$.\\
  2. En déduire que pour tout $n \in \N^*$, $a_n \leqslant \Sum_{p=1}^{n} \Frac{a_p}{p}$.
Exercice 2299. Montrer que pour tout $n \in \N$, $n! \leqslant \parenthese{\Frac{n+1}{2}}^n$.
Exercice 2300. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1 = 1$ et pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+1} = 1+ \Frac{n}{u_n}$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\sqrt{n} \leqslant u_n \leqslant \sqrt{n}+1$.
Exercice 2301. Montrer que pour tout $(x_1,\hdots,x_n) \in (\R_+^*)^n$, \[ (x_1+\hdots+x_n)(x_1^{-1}+\hdots+x_n^{-1}) \geqslant n^2 \]
Exercice 2302. \\ On pose $C_0=1$ et, pour tout $n \in \N$ :\\ \[ C_{n+1} = C_0 C_n + C_1 C_{n-1} + C_2 C_{n-2} + \dots + C_{n-2} C_2 + C_{n-1} C_1 + C_n C_0 = \Sum_{k=0}^{n} C_k C_{n-k}. \]
  1. Calculer $C_n$ pour $n \in \llbracket 1,6 \rrbracket$.\\
  2. Montrer, par récurrence forte, que pour tout $n \in \N$, $C_n \in \N^*$.\\
  3. Montrer, par récurrence simple, que pour tout $n \in \N$, $C_n \geqslant 2^{\,n-1}$.\\
  4. Montrer, par récurrence forte, que pour tout $n \in \N$, $C_n \geqslant 3^{\,n-2}$.\\
  5. A-t-on pour tout $n \in \N$, $C_n \geqslant 4^{\,n-2}$ ?
Exercice 2303. Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \hdots, a_n \in [1,+\infty[$. Montrer que \[ \Prod_{i=1}^{n} (1+a_i) \leqslant 2^{n-1} \parenthese{1+\Prod_{i=1}^{n} a_k} \]