Absurde et contraposée

Exercice 2304. Montrer que pour tout $n \in \N$, si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
Exercice 2305. Montrer que si $x$ est un irrationnel positif, alors $\sqrt{x}$ est un irrationnel.
Exercice 2306. \\ Montrer que $\sqrt{2} \notin \Q$.
Exercice 2307. Montrer que $\Frac{\ln{2}}{\ln{3}}$ est un nombre irrationnel.
Exercice 2308. Soit $x$ un réel. Montrer que si $\forall \varepsilon > 0, \abs{x} \leqslant \varepsilon$, alors $x=0$.
Exercice 2309. Montrer que la fonction identité est la seule fonction $f$ définie sur $\R$ vérifiant : \\
  • $f$ est strictement croissante sur $\R$, \\
  • pour tout réel $x$, $f(f(x))=x$.
Exercice 2310. \\
  1. Montrer que $\forall (a,b) \in \Z^2$, $a+b\sqrt{2}=0 \implies a=b=0$. \\
  2. En déduire que l'écriture $x=a+b\sqrt{2}$ est unique.
Exercice 2311. Montrer que pour tout $(x,y) \in (\Q_+)^2$ tels que $\sqrt{x}$ et $\sqrt{y}$ soient irrationnels, alors $\sqrt{x}+\sqrt{y}$ est irrationnel.
Exercice 2312. Soit $E$ un ensemble et $A$ une partie non vide de $E$. Soit $a$ un élément de $A$, on dit que $a$ est un point extremal de $A$ si \[ \forall (x,y) \in A^2, \;\; \parenthese{\Frac{x+y}{2}=a} \implies (x=y=a) \]
  1. Pour $E = \R$ et $A = ]0,1[$. Montrer qu'aucun point de $A$ n'est extremal. \\
  2. Si $E = \R$ et $A = [0,1]$. Montrer que les points extremaux de $A$ sont $0$ et $1$.