Théorème des valeurs intermédiaires

Exercice 430. $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = e^x-(x+2)$. \\
  1. Démontrer que l'équation $g(x) =0$ admet exactement deux solutions dans $\R$. \\
  2. Avec la calculatrice, donner l'arrondi au millième des deux solutions.
Exercice 431. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x) = (x^2+x+1)e^{-x}-1$. \\ Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ admet deux solutions dans $\R$, dont l'une dans l'intervalle $[1,+\infty[$ qui sera notée $\alpha$. \\ Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$ puis en déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$.
Exercice 432. Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x+2)e^{x-4}-2$. \\
    1. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha > 0$ sur $\R$. \\
    2. En déduire le signe de $g$ sur $\R$. \\
  2. Soit $f$ définie sur $\Rp$ par $f(x) = x^2-x^2e^{x-4}$. \\
    1. Exprimer $f'(x)$ en fonction de $g(x)$. \\
    2. Montrer que le maximum de la fonction $f$ sur $\Rp$ est égal à $\Frac{\alpha^3}{\alpha+2}$.
Exercice 433. Soit $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par \[ \varphi(x) = e^x+x+1 \] \\
  1. Montrer que l'équation $\varphi(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ telle que $-1,28 < \alpha < -1,27$. \\
  2. En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$. \\ Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = \Frac{xe^x}{e^x+1}$. \\
  3. Montrer que $f'(x) = \Frac{e^x\varphi(x)}{(e^x+1)^2}$. En déduire le sens de variations de $f$. \\
  4. Montrer que $f(\alpha) = \alpha + 1$ et en déduire un encadrement de $f(\alpha)$. \\
Exercice 434. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $ f(x) = \Frac{7}{2} - \Frac{1}{2} \left(e^x + e^{-x}\right)$. \\
  1. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet, sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$, une unique solution, que l’on note $\alpha$.\\
  2. En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$ et qu’elles sont opposées.
Exercice 435. Soit $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2e^x-x-2$. \\
  1. Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions sur $\R$, $0$ et $\alpha \in ]-1.6 ; -1.5 [$. \\
  2. Soit $f(x) = e^{2x}-(x+1)e^x$. \\
    1. Dresser le tableau de variations de $f$. \\
    2. Montrer que $f(\alpha) = -\Frac{\alpha^2+2\alpha}{4}$.
Exercice 436. On considère la fonction $f$ définie sur $]1,+\infty[$ par $f(x)=\Frac{10(x-8)}{x(x-1)}$.\\ Montrer qu’il existe $c\in]1,+\infty[$ tel que $f(c)=\Frac12$.
Exercice 437. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\parenthese{x+\Frac{1}{2}}e^{-x}+x$.\\ Montrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
Exercice 438. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\parenthese{x+\Frac{1}{2}}e^{-x}+x$.\\ Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ de l’unique solution de $f(x)=0$.
Exercice 439. Soit $p$ définie sur $I=[-3;4]$ par $p(x)=x^3-2x^2+5x+1$.\\ Justifier que l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.
Exercice 440. Soit $p$ définie sur $I=[-3;4]$ par $p(x)=x^3-2x^2+5x+1$.\\ Déterminer une valeur approchée de l’unique solution $\alpha$ de $p(x)=0$ au dixième près.
Exercice 441. Soit $f$ définie sur $[0 \; ; \; +\infty[$ par $f(x)=x+1+xe^{-x}$.\\ Démontrer que l’équation $f(x)=2$ admet sur $[0 \; ; \; +\infty[$ une unique solution $\alpha$.\\ Vérifier que $0 < \alpha < 1$.
Exercice 442. On conserve $h(x)=f(x)-g(x)$ avec $f(x)=x-e^x$ et $g(x)=(1-x)e^x$.\\
  1. Montrer que $h$ est strictement croissante sur $\R$.\\
  2. En déduire que $\Cf$ et $\Cg$ admettent un unique point d’intersection d’abscisse $\alpha$.\\
  3. Montrer que $\alpha \in [1 \; ; \; 2]$, puis donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-1}$.
Exercice 443. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-4}-2$ définie sur $\R$.\\ Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$.
Exercice 444. On note $\Cu$ la courbe de $g_1(x)=xe^{-x}$.\\ Pour tout $x \in \R$, on note $N(x)$ l’ordonnée du point d’intersection avec l’axe des ordonnées de la tangente à $\Cu$ au point d’abscisse $x$.\\
  1. Étudier le sens de variation de $N$ sur $\R$.\\
  2. Soit $t \in \R$ et $T$ le point de l’axe des ordonnées tel que $OT=t$.\\ Déterminer, suivant la valeur de $t$, le nombre de tangentes à $\Cu$ passant par $T$.
Exercice 445. Soit $\varphi(x)=\parenthese{x^2+x+1}e^{-x}-1$ définie sur $\R$.\\ Montrer que l’équation $\varphi(x)=0$ admet exactement deux solutions réelles.\\ On montrera en particulier qu’elle admet une solution $\alpha \in [1 \; ; \; +\infty[$.
Exercice 446. Soit $g(x)=(x+2)e^{x-1}-1$ définie sur $\R$.\\ Démontrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution réelle $\alpha$.\\ Montrer que $0,20 < \alpha < 0,21$.
Exercice 447. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(x^2+2x-1)e^{-x}+1$. \\ Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ dans l'intervalle $[-2,4;-2,3]$.
Exercice 448. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(x-1)^2+\Frac{(e^x-e^{-x})^2}{4}$. \\ Montrer que l'équation $g'(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0,1]$.
Exercice 449. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f(x)=(x+1)e^{-\frac{1}{2}x}$. \\ Montrer que l'équation $f(x)=0,07$ admet une unique solution sur $\Rp$.
Exercice 450. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f(x)=(x+1)e^{-\frac{1}{2}x}$. \\ On note $\alpha$ l'unique solution de $f(x)=0,07$ sur $\Rp$. \\ Encadrer $\alpha$ entre deux entiers consécutifs.