Convergence

Exercice 2381. Soit $(u_n)$ une suite réelle. Montrer que si $\un$ est convergente alors $u_{n+1}-u_n \to 0$. La réciproque est-elle vraie ?
Exercice 2382. \\ Montrer que $\un \in \Z^{\N}$ converge vers $\ell \in \Z$ si et seulement si $\un$ est stationnaire.
Exercice 2383. Soit $p \in \R$ tel que $\sin{p} \neq 0$. \\ On considère pour tout $n \geqslant 1$, le produit $P_n = \Prod_{k=1}^{n} \cos\parenthese{\Frac{p}{2^k}}$. \\
  1. Montrer que la suite $\un$ définie par $u_n = P_n\sin\parenthese{\Frac{p}{2^n}}$ est géométrique.\\
  2. En déduire une expression de $P_n$ en fonction de $n$ puis $\limn P_n$.
Exercice 2384. Soit $n \in \N^*$. On pose $H_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$, $u_n = H_n-\ln{n}$, $v_n = H_n - \ln(n+1)$. \\
  1. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite notée $\gamma$. \\
  2. Justifier que $\forall n \in \N^*$, $v_n \leqslant \gamma \leqslant u_n$.
Exercice 2385. Soit $f$ une application injective de $\N$ dans $\N$. \\ Démontrer que $(f(n))_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$.
Exercice 2386. Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $0 < a < b$. \\ On définit deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ par $u_0 = a$, $v_0 = b$ et, pour tout $n \in \N$, \\ \[ u_{n+1} = \sqrt{u_n v_n} \qquad v_{n+1} = \Frac{u_n + v_n}{2}. \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n < v_n$. \\
  2. En déduire que $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers une même limite.
Exercice 2387. On pose pour tout $n \in \N$, $W_n = \integrale{0}{\pi/2}{\cos^n{t}}{t}$. \\
  1. Montrer que $\forall n \in \N$, $0 < W_{n+1} < W_n$. \\
  2. Montrer que $\forall n \in \N$, $W_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}W_n$. \\
  3. Montrer que $\forall n \in \N$, $W_{2n} = \Frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \Frac{\pi}{2}$. \\
  4. Montrer que $\forall n \in \N^*$, $n W_nW_{n-1}= \ps{2}$. \\
  5. Montrer que $W_n \sim W_{n-1}$ et $W_n \sim \sqrt{\Frac{\pi}{2n}}$.
Exercice 2388. Soit $(u_n)_{n \in \N}$ une suite de réels strictement positifs telle que la suite $\parenthese{\Frac{u_{n+1}}{u_n}}_{n \in \N}$ converge vers $l \in \R$.\\
  1. Si $l < 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ converge et déterminer sa limite.\\
  2. Si $l > 1$, montrer que $(u_n)_{n \in \N}$ diverge.\\
  3. Que se passe-t-il si $l = 1$ ?
Exercice 2389. \\ Soit $\un_{n \geqslant 1}$ une suite. \\ On définit la suite $\vn_{n \geqslant 1}$ par $v_n = \Frac{u_1 + \hdots + u_n}{n}$. \\ Montrer que si $\un$ converge, alors $\vn$ converge vers la même limite.

Exercice 2390. HEC

\\ Soit $\alpha\in\R_+$.\\ Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\Prod_{k=1}^{n}\left(1+\Frac{k^\alpha}{n^2}\right)$.\\
  1. Montrer que si $\alpha=2$, la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ est divergente.\\
  2. Montrer que si $0\leqslant \alpha < 1$, la suite $(u_n)_{n\geqslant 1}$ converge vers $1$.

Exercice 2391. HEC

\\ Soit $(x_n)$ une suite réelle qui converge vers le réel $m$.\\ On pose : $\forall (p,k)\in(\mathbb{N}^{*})^{2}$, $u_{p,k}=\max\{x_{p+1},x_{p+2},\dots,x_{p+k}\}$.\\
  1. Pour $k$ fixé, on pose $w_p=u_{p,k}$. Etudier la suite $(w_p)$.\\
  2. Pour $p$ fixé, on pose $v_k=u_{p,k}$. Etudier la suite $(v_k)$ et montrer qu'elle converge.

Exercice 2392. HEC

\\ Soit une suite réelle $(u_n)_{n \in \N}$ telle que\\ \[ \limn (u_n-u_n^2)=0 \] On suppose que $(u_n)_{n \in \N}$ ne tend pas vers $0$.\\ A-t-on $\limn u_n=1$ ? La suite $(u_n)_{n \in \N}$ est-elle bornée ?

Exercice 2393. HEC

\\ Soit $F:\R \to \R$ définie par :\\ \[ \forall x \in \R,\;\; F(x)= \left\lbrace \begin{aligned} 3x&\;\;\mathrm{si}\;\;x \leqslant \Frac{1}{2}\\ 3(1-x)&\;\;\mathrm{si}\;\;x \geqslant \Frac{1}{2} \end{aligned} \right. \]
  1. Tracer la courbe représentative de $F$ sur $[-1,2]$.\\
  2. On définit une suite réelle $(x_n)_{n \geqslant 0}$ par $x_0=a \in \R$ et $x_{n+1}=F(x_n)$.\\
    1. Que dire de la suite $(x_n)$ si elle est convergente ?\\
    2. Que dire de la suite $(x_n)$ si elle est bornée ?