Suites récurrentes

Exercice 2394. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = a$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_n(1-u_n)$. \\ Discuter suivant la valeur de $a$, de la convergence de la suite $(u_n)$.
Exercice 2395. Soit $n \in \N^*$ et $a > 0$. \\
  1. Montrer que l'équation $x^n-(1-x)a=0$ admet une unique solution $x_n$ sur $]0,1[$. \\
  2. Etudier les variations de $(x_n)$. \\
  3. Calculer $\limn x_n$.
Exercice 2396. Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que l'équation $x+\ln{x}=n$ admet une unique solution sur $\R^*_+$ notée $x_n$. \\
  2. Etudier les variations de $(x_n)$. \\
  3. Calculer $\limn x_n$.
Exercice 2397. Soit $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que l'équation $x^n+x-1=0$ admet une unique solution notée $u_n$ sur $]0,1[$. \\
  2. Etudier les variations de $(u_n)$. \\
  3. Calculer $\limn u_n$.
Exercice 2398. Soit $n \in \N^*$. On définit la fonction $f_n$ sur $\Rp$ par \[ f_n(x) = x^ne^{-x}-1 \]
  1. A l'aide de $f_n$, montrer que l'équation $e^x=x^n$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,n]$ et une unique solution $y_n$ dans $]n,+\infty[$. \\
    1. Montrer que $(x_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$. \\
    2. Donner un équivalent de $\ln(x_n)$ puis en déduire un équivalent de $x_n-1$. \\
    1. Déterminer $\limn y_n$. \\
    2. Montrer que $\ln{y_n} \sim \ln{n}$. \\
    3. En déduire un équivalent de $y_n$.
Exercice 2399. Soit $a > 0$ et $n \in \N^*$. \\
  1. Montrer que l'équation $x^{a+1}+x^a-n=0$ admet une unique solution sur $]0,+\infty[$ notée $u_n$. \\
  2. Calculer $\limn u_n$. \\
  3. Montrer que $u_n \sim n^{\frac{1}{a+1}}$.

Exercice 2400. ESCP

\\ Montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $y_n\in\R_+^*$ tel que $\ln(y_n)+y_n=\Frac{1}{n}$.\\ Montrer que la suite $(y_n)_{n\in\N^*}$ converge et si on note $\ell$ sa limite, déterminer un équivalent de $y_n-\ell$.

Exercice 2401. HEC

\\ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\in]0,\Frac{\pi}{2}]$ et $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\sin(u_n)$.\\
  1. Question de cours : donner les deux premiers termes des développements limités de $\sin(x)$ et $(1+x)^2$ lorsque $x$ tend vers $0$.\\
  2. Montrer que $\forall n\in\mathbb{N}$, $u_n\in]0,\Frac{\pi}{2}]$.\\
  3. Montrer que $(u_n)$ converge vers une limite finie $\ell$, que l'on déterminera.\\
  4. Montrer que la suite $v_n=\Frac{1}{u_{n+1}^{2}}-\Frac{1}{u_n^{2}}$ converge, et donner la valeur de sa limite.\\
  5. Soit $(x_n)$ une suite réelle de limite $x\in\mathbb{R}$. Montrer que la suite $y_n=\Frac{\Sum_{k=0}^{n-1}x_k}{n}$ converge vers $x$.\\
  6. Déterminer un équivalent de $(u_n)$, lorsque $n$ tend vers $+\infty$. En déduire la nature de la série de terme général $(u_n)$.