Théorèmes de continuité
Exercice
2412. Soit $a < b$ deux réels et $f : [a,b] \to \R$ continue telle que $f([a,b]) \subset [a,b]$. \\
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c)=c$. \\
- Montrer que si $f$ est décroissante sur $[a,b]$ alors $c$ est unique.
Exercice
2413. Soit $f : \R \to \R$ continue et périodique. \\
Montrer que $f$ est bornée et atteint ses bornes.
Exercice
2414. Soit $f : \R^+ \to \R$ continue telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. \\
Montrer que $f$ est bornée.
Exercice
2415. Soit $f:\R\to\R$ continue et décroissante. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
Exercice
2416. Soit $f : \R \to \Z$ une fonction continue. Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2417. ESCP
\\ Soit $f:\R\to\R$ continue.\\ On appelle point fixe de $f$ tout réel $x$ tel que $f(x)=x$.\\- Montrer que $f$ admet un point fixe si et seulement si $f\circ f$ admet un point fixe.\\
- Montrer que le nombre de points fixes de $f$ est inférieur ou égal à celui de $f\circ f$.
Exercice 2418. HEC
\\ Soit $f : [0,1] \to \R$ continue telle que $f(0)=f(1)$. \\ Montrer que $\forall n \in \N^*$, $\exists \alpha_n \in \left[0,1-\Frac{1}{n}\right], \;\; f(\alpha_n+\frac{1}{n}) = f(\alpha_n)$.Exercice 2419. HEC
\\ Soit $f$ une application de $\R$ dans $\R$, continue sur $\R$ et telle que $\forall(x,y)\in\R^2$,\\ \[ f(x+y)f(x-y)=f(x)^2.\\ \] On suppose que $f$ n’est pas la fonction nulle et on se propose de montrer que $f$ ne s’annule pas sur $\R$.\\- Montrer que $f(0)$ n’est pas égal à $0$.\\
- Soit $a\in\R$ tel que $f(a)=0$. Montrer que $f\!\left(\Frac{a}{2}\right)=0$.\\
- Conclure. Donner un exemple de telle fonction.
Exercice
2420. Soient $n$ réels $a_1 < a_2 < \hdots < a_n$ et la fonction \[ f : x \mapsto \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{x-a_k} \]
Montrer que $f$ s'annule exactement $n-1$ fois sur son domaine de définition.
Exercice
2421. Soit $f : \R_+ \to \R$ continue surjective. Montrer que $f$ s'annule une infinité de fois.