Dérivabilité

Exercice 2423. Déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et calculer la dérivée des fonctions suivantes : \\
  1. $f : \R \to \R$, $f(x) = \abs{x} \sin{x}$. \\
  2. $g : \R \to \R$, $g(x) = \begin{cases} x^3\sin\parenthese{\Frac{1}{x}} \quad si \;\; x \neq 0 \\ 0 \quad si \;\; x = 0 \end{cases}$.
Exercice 2424. Soit $f : \R \to \R$ une application dérivable et $a \in \R$. Calculer \[ \lim_{x \to a} \Frac{xf(a)-af(x)}{x-a} \]
Exercice 2425. Soit $(a,b) \in \R^2$ et $f : \R^+ \to \R$ telle que \[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x} \quad si \;\; 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ a(x^2-1)+b \quad si \;\;x > 1 \end{cases} \] $f$ est-elle $\mathcal{C}^1$ sur $\R^+$ ?
Exercice 2426. Pour tout $n \in \N$, calculer $\sin^{(n)}(x)$ et $\cos^{(n)}(x)$.
Exercice 2427. Soit $f : \R \to \R$ telle que $f(x) = \sin{x} \sin\Frac{1}{x}$. \\
  1. Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en $0$. \\
  2. Le prolongement est-il dérivable en $0$?
Exercice 2428. Soit $I \subset \R$ et $u \in \mathcal{C}^0(I,\R)$. \\ Déterminer $E = \{ f \in \mathcal{D}(I,\R) / \;\; \forall x \in I, \;\; f'(x)=u(x)f(x) \}$.
Exercice 2429. Déterminer $E = \{ f \in \mathcal{D}(\R,\R),\;\; \forall x \in \R, \; x^2f'(x) = f(x) \}$.
Exercice 2430. On pose \[ E = \{ f \in \mathcal{C}^0(\R,\R) / \;\; \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f\parenthese{\Frac{x+y}{2}} = \Frac{f(x)+f(y)}{2} \quad et \quad f(0)=f(1)=0 \} \] \[ F = \{ f \in \mathcal{C}^0(\R,\R) / \;\; \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f\parenthese{\Frac{x+y}{2}} = \Frac{f(x)+f(y)}{2} \} \]
  1. Soit $f \in E$. \\
    1. Montrer que pour tout $p \in \N$, $f(p)=0$. \\
    2. Montrer que pour tout $p \in \Z$, $f(p)=0$. \\
    3. Montrer que pour tout $(p,n) \in \Z \times \N$, $f\parenthese{\Frac{p}{2^n}} = 0$. \\
    4. Montrer que pour tout $x \in \R$, $f(x)=0$. \\
  2. Déterminer $E$ et $F$.
Exercice 2431. Soit $f \in \mathcal{A}(\R,\R) / \exists k \geqslant 0, \;\; \forall (x,y) \in \R^2, \;\; \abs{f(x)-f(y)} \leqslant k \abs{x-y}$. \\ Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
Exercice 2432. Soit $f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)$ et $g \in \mathcal{C}^0(\R,\R)$. \\ Montrer que $\inf(f,g)$ et $\sup(f,g)$ sont continues sur $\R$.
Exercice 2433. \\
  1. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\exists (u_n)_{n \in \N} \in \Q^{\N}$ tel que $\limn u_n = x$. \\
  2. Montrer que pour tout $x \in \R$, $\exists (v_n) \in (\R \backslash \Q)^{\N}$ tel que $\limn v_n = x$. \\
  3. Soit $f : \R \to \R$ telle que $f(x) = \begin{cases} 1 \quad si \;\; x \in \Q \\ 0 \quad si \;\; x \notin \Q \end{cases}$. \\ Montrer que $f$ n'est continue en aucun point.
Exercice 2434. Soit $f : \R \to \R$ telle que $f(x) = \Frac{1}{1-x^2}$. \\ Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur son domaine de définition et donner pour $x$ dans ce domaine et $n \in \N^*$, $f^{(n)}(x)$.

Exercice 2435. HEC

\\ Soit $\alpha$ un réel strictement positif.\\ Montrer que pour tout réel $x$ positif, il existe un unique réel positif noté $f(x)$ tel que $f(x)e^{f(x)}=x^{\alpha}$.\\ Étudier ensuite la dérivabilité de $f$, et exprimer $f'$ en fonction de $f$ le cas échéant.