Théorèmes de dérivation

Exercice 2436. Montrer que pour tout $(x,y) \in \R^2$, $\abs{\sin{x}-\sin{y}} \leqslant \abs{x-y}$.
Exercice 2437. Soit $f : [0,1] \to \R$ continue sur $[0,1]$ et dérivable sur $]0,1[$ telle que $f(0)=0$. On suppose de plus que pour tout $x \in ]0,1[$, $f'(x) \neq 0$. \\
  1. Montrer que $f(1) \neq 0$. \\
  2. En déduire que $f$ garde un signe constant sur $]0,1[$.
Exercice 2438. Soit $f : \R \to \R$ dérivable telle que\\ \[ \lim_{x \to -\infty} f(x)=+\infty \quad \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty. \]\\ Montrer qu'il existe $c \in \R$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice 2439. Soient $(a,b)\in\R^2$ tel que $a < b$.\\ Soient $f,g:[a,b]\to\R$ continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, telles que $\forall x\in]a,b[$, $g'(x)\neq 0$.\\ Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $\Frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\Frac{f'(c)}{g'(c)}$.
Exercice 2440. Soit $(a,b) \in \R^2$ et $a < b$. \\ $f : [a,b] \to \R$ une application. \\
  1. On suppose $f$ $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ telle que $f'(a) < 0$ et $f'(b) > 0$. \\ Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ telle que $f'(c)=0$. \\
  2. On suppose $f$ dérivable sur $[a,b]$ telle que $f'(a) < 0$ et $f'(b) > 0$. \\ Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ telle que $f'(c) = 0$.
Exercice 2441. Déterminer l'ensemble des fonctions dérivables sur $\R$ telles que \[ \forall (x,y) \in \R^2, \;\; f(x+y) = f(x)+f(y) \]
Exercice 2442. Déterminer l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ dérivables telles que $f'=f$.
Exercice 2443. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\R$ et $f$ une fonction dérivable sur $I$.\\
  1. Montrer que si $f$ s'annule en $n$ points de $I$, alors sa dérivée $f'$ s'annule en au moins $n - 1$ points de $I$.\\
  2. Soit $P$ une fonction polynôme, montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de racines.\\
  3. Quel est le nombre maximal de racines réelles de l'équation $x^p+ax+b=0$ avec $p\in\N$ et $(a,b)\in\R^2$.

Exercice 2444. Règle de L'hospital

\\ Soient $x_0\in\R$ et $I$ un intervalle de $\R$ tel que $x_0$ soit un point intérieur de $I$.\\ Soient $f,g:I\to\R$ continues en $x_0$, dérivables sur $I\setminus\{x_0\}$, telles que $\forall x\in I\setminus\{x_0\}$, $g'(x)\neq 0$, et telles que $\Frac{f'(x)}{g'(x)}\xrightarrow[x\to x_0]{}\ell\in\R$.\\ Montrer que $\Frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}\xrightarrow[x\to x_0]{}\ell$.\\ Application : en appliquant la règle de L'Hospital, montrer que $\Frac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\to 0]{}1$, $\Frac{1-\cos x}{x^2}\xrightarrow[x\to 0]{}\Frac{1}{2}$, $\Frac{x-\sin x}{x^3}\xrightarrow[x\to 0]{}\Frac{1}{6}$.

Exercice 2445. ESCP

\\ Soit $P\in\R[X]$.\\ Montrer que l’équation $P(x)=e^x$ possède un nombre fini de solutions.