Equations, inéquations

Exercice 250. Domaine de définition

\\ Justifier que la quantité $\ln(x^2-x-6)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$

Exercice 251. Etude de signe

\\ Etudier le signe de $1-2\ln{x}$ sur $\Rpe$.

Exercice 252. Etude de signe n°2

\\ Soient $f(x) = \ln{x}$ et $g(x) = (\ln{x})^2$.\\
  1. Etudier le signe de $(\ln{x})(1-\ln{x})$ sur $\Rpe$.\\
  2. En déduire la position relative des courbes $\Cf$ et $\Cg$ sur $\Rpe$.

Exercice 253. Equation logarithmique

\\ Résoudre l'équation, d'inconnue $x \in \R$ : $\ln(x-3)+\ln(x-1)=3\ln(2)$.
Exercice 254. Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = x\ln(x^2)-2x$.\\
  1. Montrer que pour tout $x >0$, $f(x) = 2x\ln\parenthese{\Frac{x}{e}}$. \\
  2. Déterminer par le calcul l'abscisse du point d'intersection de $\Cf$ avec l'axe des abscisses.

Exercice 255. Equation en $e^x$

\\ Résoudre l'équation $3e^{2x}+9e^x-30=0$ sur $\R$.

Exercice 256. Probabilités

\\ Soit $n \in \N^*$. \\ On lance $n$ fois un dé équilibré à 6 faces et on note $p_n$ la probabilité d'obtenir au moins une fois 6 au cours des $n$ lancers. \\ Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p_n > 0,999$.
Exercice 257. Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x) = \ln \parenthese{ \Frac{1+x}{1-x}}$. \\ Déterminer l'ensemble de définition de $f$, et montrer que $\Cf$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie.