Matrices inversibles

Exercice 4727. Soit $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 &4 \end{pmatrix}$. \\ Calculer $A^2$ et montrer qu'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $A^2 = \alpha A + \beta I_3$. En déduire que $A$ est inversible puis déterminer $A^{-1}$.
Exercice 4728. Étudier l'inversibilité des matrices suivantes et donner leur inverses si elles sont inversibles :\\ \[ A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix}1&0&1&1\\1&1&1&1\\2&1&1&3\\2&1&0&4\end{pmatrix} \]
Exercice 4729. Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \end{pmatrix}$. \\
  1. Calculer $A^2$ puis $A^3$. \\
  2. En déduire que $A$ n'est pas inversible. \\
  3. Calculer $(I_3-A)(I_3+A+A^2)$ puis en déduire que $I_3-A$ est inversible et déterminer son inverse. \\
  4. De la même manière, montrer que $I_3+A$ est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 4730. Soient $A,B \in M_n(K)$ vérifiant $AB = A + B$.\\ Montrer que $A$ et $B$ commutent.
Exercice 4731. On suppose que $A,B \in M_n(K)$ commutent et que $A$ est inversible.\\ Justifier que les matrices $A^{-1}$ et $B$ commutent.
Exercice 4732. Soit \[ A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d \end{pmatrix} \in M_2(K). \] Observer que \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=0. \] À quelle condition $A$ est-elle inversible ? Déterminer alors $A^{-1}$.
Exercice 4733. Soient $A,B,C \in M_n(K)$, avec $n \geqslant 2$, non nulles et vérifiant \[ ABC=O_n. \] Montrer qu'au moins deux des matrices $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice 4734. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ telle que : \[ A^2=0. \] Montrer que $I_n+A$ est inversible et déterminer son inverse.
Exercice 4735. Justifier que\\ \[ A=\begin{pmatrix} 1&-1&\cdots&-1\\ 0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&-1\\ 0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \] est inversible et déterminer $A^{-1}$.
Exercice 4736. Déterminer l’inverse de la matrice $A$, en utilisant des méthodes différentes, dans chacun des cas suivants :\\
  1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
  2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
  3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$.
Exercice 4737. Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&3\\0&1&0\end{pmatrix}$. Trouver $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $A^3+aA^2+bA+cI_3=0$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Exercice 4738. Soit $A=(1-\delta_{i,j}) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. Calculer $A^2$.\\
  2. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.
Exercice 4739. Soient $A,B,C\in M_n(\mathbb{K})$. On suppose qu'aucune des matrices n'est nulle, et que $ABC=0$. Montrer qu'au moins deux des trois matrices $A,B,C$ sont non inversibles.
Exercice 4740. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des complexes distincts, $A = \mathrm{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$ et\\ \[ C(A) = \{\,M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \mid AM = MA\,\}. \] Montrer que $(A^k)_{0 \leqslant k \leqslant n-1}$ est une base de $C(A)$.
Exercice 4741. Soit $A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$. \\ Vérifier que cette matrice est inversible et calculer son inverse.
Exercice 4742. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que la matrice $I + A$ soit inversible. On pose\\ \[ B=(I-A)(I+A)^{-1}. \]
  1. Montrer que $B=(I+A)^{-1}(I-A)$.\\
  2. Montrer que $I+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B$.
Exercice 4743. Soit $n \geqslant 1$. Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$ tel que : \[ \forall i \in \{1,\ldots,n\},\quad |a_{i,i}|>\Sum_{j=1,j\neq i}^n |a_{i,j}| \] Montrer que la matrice $A$ est inversible.
Exercice 4744. Soit $A$ une matrice réelle d’ordre $n$ telle que $A^5+A=I_n$.\\ Démontrer que $A^2+A+I_n$ est inversible et calculer son inverse.
Exercice 4745. Soit $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $A + A^{-1} = I_n$.\\ Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer $A^k + A^{-k}$.
Exercice 4746. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ où $B$ est nilpotente et commute avec $A$.\\ Montrer que $A$ et $A+B$ sont simultanément inversibles.
Exercice 4747. Soit \[ A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \] vérifiant \[ \forall i \in \llbracket 1,n \rrbracket,\quad \Sum_{\substack{1 \leqslant j \leqslant n\\j \neq i}} |a_{i,j}| < |a_{i,i}|. \] Montrer que $A$ est inversible.
Exercice 4748. \\
  1. Quelles sont les matrices de $M_n(K)$ commutant avec toutes les matrices de $M_n(K)$ ?\\
  2. Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de $GL_n(K)$.
Exercice 4749. Calculer l'inverse des matrices carrées suivantes : \[ \startletters
  • a A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 2 & 1 & -3\\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
  • a B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}
  • a C= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \]
    • Exercice 4750. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2\\ 5 & -3 & 3\\ -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}. \]
    1. Calculer $(A+I_3)^3$. \\
    2. En déduire que $A$ est inversible.
    Exercice 4751. Soit $A=(1-\delta_{i,j}) \in M_n(\mathbb{R})$.\\
    1. Calculer $A^2$. \\
    2. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$.
    Exercice 4752. Soit $A \in M_n(K)$ telle que la matrice $I_n+A$ soit inversible.\\ On pose \[ B=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}. \]
    1. Montrer que $B=(I_n+A)^{-1}(I_n-A)$. \\
    2. Montrer que $I_n+B$ est inversible et exprimer $A$ en fonction de $B$.
    Exercice 4753. Montrer que la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] est inversible et calculer son inverse.
    Exercice 4754. Montrer que si $n$ est impair, alors toute matrice $M\in M_n(\mathbb{R})$ vérifiant ${}^tM=-M$ n’est pas inversible. \\ Étudier le cas où $n$ est pair.
    Exercice 4755. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ telles que : \[ AB=I_n. \] Montrer, sans utiliser le déterminant, que : \[ BA=I_n. \]
    Exercice 4756. Déterminer l'inverse de la matrice $A$, en utilisant des méthodes différentes, dans chacun des cas suivants :\\
    1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
    2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
    3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$
    Exercice 4757.
    1. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice symétrique. Démontrer que $\mathrm{Tr}(A^2) \geqslant 0$ et qu’il y a égalité si, et seulement si, $A = 0$. \\
    2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ une matrice symétrique et inversible. Démontrer que $A^{-1}$ est encore symétrique. \\
    3. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ telle qu’il existe des matrices $B$ et $C$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $AB = CA = I_n$. Démontrer que $A(B - C)A = 0$, en déduire que $A$ est inversible. \\
    Exercice 4758. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$. On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $q \in \N^*$ tel que $B^q = \mathcal{O}_n$. \\
    1. Soit $\alpha \in \R^*$ et $Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tel que $BY=\alpha Y$. Montrer que $Y = 0$. \\
    2. Montrer que, pour tout $\alpha \in \R^*$, la matrice $M_{\alpha} = -\alpha I_n + A^{-1}BA$ est inversible.
    Exercice 4759. Montrer que toute matrice inversible peut s'écrire sous forme d'un produit de matrices d'opérations élémentaires.

    Exercice 4760. Centrale

    \\ Soient $n\in\mathbb{N}^\ast$ et $A$ une sous-algèbre de $M_n(\mathbb{K})$. On suppose que $M\in A$ est une matrice inversible. Montrer que $M^{-1}\in A$.
    Exercice 4761. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $M_n(\mathbb{C})$ telles que $AB=BA$, et $B$ est nilpotente. Montrer que :\\ \[ A\in GL_n(\mathbb{C})\;\Longleftrightarrow\;A+B\in GL_n(\mathbb{C}).\\ \]
    Exercice 4762. Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$.\\
    1. Montrer que\\ \[ \{\,A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mid \forall M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}),\; AM = MA\,\} = \{\,\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\,\}. \]
    2. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que\\ \[ \forall M,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\; A = MN \implies A = NM. \] Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A = \lambda I_n$.
    Exercice 4763. Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure.\\ Montrer que $T$ commute avec sa transposée si, et seulement si, la matrice $T$ est diagonale.
    Exercice 4764. Pour tout $n\in\mathbb{N}^\ast$, on pose $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$. Soit $A_n$ la matrice $(a_{i,j})_{(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2}$ telle que\\ \[ \forall (i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\;\;a_{i,j}=\omega^{(i-1)(j-1)}.\\ \]
    1. Calculer l'inverse de $A_3$.\\
    2. Plus généralement, déterminer $A_n^{-1}$.
    Exercice 4765. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices antisymétriques.
    Exercice 4766. On considère la matrice\\ \[ A=\begin{pmatrix}-1&-2\\3&4\end{pmatrix}. \]
    1. Calculer $A^2-3A+2I$. En déduire que $A$ est inversible et calculer son inverse.\\
    2. Pour $n \geqslant 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.\\
    3. En déduire l'expression de la matrice $A^n$.
    Exercice 4767. Soient $n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ et $\omega=\exp\Big(\Frac{2i\pi}{n}\Big)$. On pose\\ \[ A=\big(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\big)_{1 \leqslant k,\ell \leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C}). \] Calculer $A\overline{A}$. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
    Exercice 4768. Soient $n \in \N^*$, $A=(a_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in GL_n(\C)$.\\ On suppose qu'il existe $\lambda\in\C$ tel que :\\ \[ \forall i\in\{1,\ldots,n\},\qquad \Sum_{j=1}^n a_{ij}=\lambda. \] On note $A^{-1}=(b_{ij})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$.\\ Montrer $\lambda\neq 0$ et :\\ \[ \forall i\in\{1,\ldots,n\},\qquad \Sum_{j=1}^n b_{ij}=\Frac{1}{\lambda}. \]
    Exercice 4769. Soient $n \in \N-\{0,1\}$, $(a,b)\in K^2$,\\ \[ A= \begin{pmatrix} a & b & \cdots & b\\ b & a & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & b\\ b & \cdots & b & a \end{pmatrix}\in M_n(K). \] Etudier l'inversibilité de $A$, et calculer $A^{-1}$ quand cet inverse existe
    Exercice 4770. \\
    1. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ?\\
    2. Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$.
    Exercice 4771. Soit $n \geqslant 2$. Déterminer les matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ commutant avec toutes les matrices symétriques.
    Exercice 4772. Soit $A,B \in \mathcal{M}_{n}(\R)$. On suppose que $A+B=AB$. \\ Montrer que $AB=BA$.
    Exercice 4773. Soient $K$ un corps, $n\geqslant 2$, $\lambda\in K$ et $H\in \mathcal{M}_n(K)$ de rang $1$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que \[ I_n+\lambda H \] soit inversible. Calculer alors son inverse en fonction de $H$.
    Exercice 4774.
    1. Soit $A \in M_n(\mathbb{C})$ définie par : \[ \forall i,j \in \{1,\ldots,n\},\quad a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1} \] Montrer que $A$ est inversible et déterminer $A^{-1}$.\\
    2. On dit qu’une permutation $\sigma \in S_n$ est un dérangement si elle n’a pas de point fixe. On note $d_n$ le nombre de dérangements de $S_n$. Montrer que : \[ n!=\Sum_{k=0}^n \binom{n}{k}d_k \] En déduire une expression de $d_n$.
    Exercice 4775. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que la matrice $M$ est inversible ou nulle si et seulement si pour tout $A \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \rg(AM)=\rg(MA) \]
    Exercice 4776. Trois matrices deux à deux semblables, dont l’une au moins est supposée inversible.\\ Soient $A,B,C \in \mathrm{M}_n(K)$ telles que $A$ soit inversible. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\
    1. $(i)\;$ $A,B,C$ sont deux à deux semblables.\\
    2. $(ii)\;$ $\exists (X,Y,Z)\in (\mathrm{M}_n(K))^3,\; XYZ=A,\; YZX=B,\; ZXY=C.$
    Exercice 4777. Soient $n\in \mathbb{N}^*$, $A\in \mathrm{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^5+A=\mathrm{I}_n$. Montrer que $A^2+A+\mathrm{I}_n$ est inversible et calculer son inverse.
    Exercice 4778. Exemple de calcul d’un couple $(P,Q)$ de matrices inversibles tel que $A=PJ_{n,p,r}Q$.\\ On note : $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&-1&0\\1&1&2\end{pmatrix}$ , $J=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}\in \mathrm{M}_3(\mathbb{R})$. Montrer qu’il existe $(P,Q)\in (\mathrm{GL}_3(\mathbb{R}))^2$ tel que $A=PJQ$, et calculer un tel couple $(P,Q)$.
    Exercice 4779. Montrer que les matrices \[ A= \begin{pmatrix} 3 & -3 & -3\\ -2 & 2 & 2\\ 5 & -5 & -5 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] sont semblables.
    Exercice 4780. Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2=0$ et $A \neq 0$. Montrer que $A$ est semblable à \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
    Exercice 4781. Soit $n \in \N^*$ et soit $A \in M_n(\K)$. \\
    1. Justifier que la famille $(I_n,A,\ldots,A^{n^2})$ est liée. \\
    2. En déduire qu'il existe $P \in \K[X]\setminus\{0\}$ tel que $P(A)=0$. \\
    3. On suppose que $A$ est inversible. \\ \startlettersnext
    4. a On note $a_k$ les coefficients de $P$ et $p=\min\{k \in \N \mid a_k \neq 0\}$. \\ En utilisant ces notations, montrer qu'il existe $Q \in \K[X]$ tel que $Q(A)=0$ et $Q(0) \neq 0$. \\
    5. a En déduire que $A^{-1}$ est un polynôme en $A$. \\
    6. Montrer aussi que si $A$ est inversible et triangulaire supérieure, alors $A^{-1}$ est aussi triangulaire supérieure.
    Exercice 4782. Soient $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ où $B$ est nilpotente et commute avec $A$.\\ Montrer que $A$ et $A+B$ sont simultanément inversibles.
    Exercice 4783. Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$.\\
    1. Montrer que \[ \{A \in M_n(\mathbb{R}) \mid \forall M \in GL_n(\mathbb{R}),\ AM=MA\} = \{\lambda I_n \mid \lambda \in \mathbb{R}\}. \]
    2. Soit $A \in M_n(\mathbb{R})$. On suppose que \[ \forall M,N \in M_n(\mathbb{R}),\quad A=MN \Longrightarrow A=NM. \] Montrer qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $A=\lambda I_n$.
    Exercice 4784. Justifier que \[ A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & \cdots & -1\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & -1\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R}) \] est inversible et déterminer $A^{-1}$.
    Exercice 4785. Matrice à diagonale strictement dominante.\\ Soit $A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb{C})$ telle que, pour tout $1 \leqslant i \leqslant n$, \[ \sum_{j \neq i}|a_{i,j}| < |a_{i,i}|. \] Montrer que la matrice $A$ est inversible.
    Exercice 4786. Soient $n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ et $\omega=\exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right)$.\\ On pose \[ A=\left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1 \leqslant k,\ell \leqslant n} \in M_n(\mathbb{C}). \] Calculer $A\overline{A}$.\\ En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
    Exercice 4787. Montrer que les matrices carrées d'ordre $n \geqslant 2$ suivantes sont inversibles, et déterminer leur inverse par la méthode de Gauss : \[ \startletters
  • a A= \begin{pmatrix} 1 & -a & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & -a & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & & \ddots & 1 & -a\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
  • a B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 1 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
  • a C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & n-1\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & 1 & 2\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
    • Exercice 4788. Soit $E$ l'ensemble des matrices de la forme \[ M(a,b,c)= \begin{pmatrix} a & b & c\\ 0 & a & b\\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \] avec $a,b,c \in \mathbb{R}$.\\ Notre objectif est d'établir que l'inverse d'une matrice inversible de $E$ appartient encore à $E$, sans pour autant calculer cet inverse.\\
    1. Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel dont on précisera la dimension.
    2. Montrer que $(E,+,\times)$ est un anneau commutatif.
    3. À quelle condition sur $(a,b,c) \in \mathbb{R}^3$, la matrice $A=M(a,b,c)$ est-elle inversible dans $M_3(\mathbb{R})$ ?\\ On suppose cette condition vérifiée. En considérant l'application $f:E \to E$ définie par $f(X)=AX$, montrer que $A^{-1} \in E$.
    Exercice 4789. Matrices de permutation.\\ Soit $n \in \mathbb{N}\setminus\{0,1\}$. Pour $\sigma \in \mathfrak{S}_n$, on note \[ P(\sigma)=\left(\delta_{i,\sigma(j)}\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_n(\mathbb{R}) \] la matrice de permutation associée à $\sigma$.\\
    1. Montrer que, pour tous $\sigma,\sigma' \in \mathfrak{S}_n$, \[ P(\sigma \circ \sigma')=P(\sigma)P(\sigma'). \]
    2. En déduire que $E=\{P(\sigma)\mid \sigma \in \mathfrak{S}_n\}$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb{R})$ isomorphe à $\mathfrak{S}_n$.
    3. Vérifier que \[ {}^tP(\sigma)=P(\sigma^{-1}). \]
    Exercice 4790. Soit $E$ l'ensemble des matrices de $M_2(K)$ de la forme \[ A= \begin{pmatrix} a+b & b\\ -b & a-b \end{pmatrix} \] avec $(a,b) \in K^2$.\\
    1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $M_2(K)$ et en donner une base.
    2. Montrer que $E$ est un sous-anneau commutatif de $M_2(K)$.
    3. Déterminer les inversibles de $E$.
    4. Déterminer les diviseurs de zéro de $E$, c'est-à-dire les matrices $A$ et $B \in E$ vérifiant $AB=O_2$ avec $A,B \neq O_2$.
    Exercice 4791. On dit qu'une matrice $A=(a_{i,j}) \in M_n(K)$ est centro-symétrique si \[ \forall (i,j) \in \{1,\dots,n\}^2,\quad a_{n+1-i,n+1-j}=a_{i,j}. \]
    1. Montrer que le sous-ensemble $C$ de $M_n(K)$ formé des matrices centro-symétriques est un sous-espace vectoriel de $M_n(K)$.
    2. Montrer que le produit de deux matrices centro-symétriques de $M_n(K)$ est aussi centro-symétrique.
    3. Soit $A$ centro-symétrique de $M_n(K)$ et inversible. En considérant l'application $X \mapsto AX$ de $C$ vers $C$, montrer que $A^{-1}$ est centro-symétrique.
    Exercice 4792. \\
    1. Montrer qu’une matrice $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est non inversible si, et seulement si, elle est équivalente à une matrice nilpotente.\\
    2. Soit $f : \mathcal{M}_n(K) \to K$ une application vérifiant $f(O_n)=0$, $f(I_n)=1$ et, pour tout $A,B \in \mathcal{M}_n(K)$, $f(AB)=f(A)f(B)$.\\ Montrer que $A \in \mathcal{M}_n(K)$ est inversible si, et seulement si, $f(A) \neq 0$.
    Exercice 4793. Soit $A\in GL_n(\mathbb{C})$. \\ Montrer que $A$ est triangulaire inférieure si et seulement si, pour tout $k\geqslant 2$, $A^k$ est triangulaire inférieure. \\ Donner un exemple de matrice qui n’est ni inversible ni triangulaire inférieure, mais dont toutes les puissances supérieures ou égales à $2$ sont triangulaires inférieures.
    Exercice 4794. Soient $\mathbb{K}$ un corps et $f : \mathfrak{M}_n(\mathbb{K}) \to \mathbb{K}$ non constante telle que : \[ \forall (A, B) \in (\mathfrak{M}_n(\mathbb{K}))^2, \quad f(AB) = f(A)f(B). \] Montrer que $f(A) = 0 \iff A$ n'est pas inversible.
    Exercice 4795. Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est un ouvert de $M_n(\mathbb{R})$. \\ Déterminer son adhérence. \\ $M_n(\mathbb{R}) \setminus GL_n(\mathbb{R})$ est-il compact ?
    Exercice 4796. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ telles que : \[ \forall X\in M_n(\mathbb{R}),\quad \det(A+X)=\det(B+X). \] Montrer que $A=B$.
    Exercice 4797. Trouver les matrices $M\in M_n(\mathbb{R})$ telles que : \[ M{}^tMM=I_n. \]
    Exercice 4798. Soit $A=(a_{i,j}) \in M_n(\mathbb{R})$ telle que : pour tout $i$, $a_{i,i} \geqslant -\sum_{j \neq i} a_{i,j}$ et $a_{i,j} \leqslant 0$ si $i \neq j$.
    1. Montrer que si l’inégalité est stricte, alors $\ker A = \{0\}$.
    2. Montrer que $\mathbb{R}^n = \ker A \oplus \mathrm{Im}(A)$.
    Exercice 4799. Soit $A\in GL_n(\mathbb{R})$ et $u,v\in \mathbb{R}^n$.\\ On suppose que \[ 1+\langle v,A^{-1}u\rangle \neq 0. \] Montrer que \[ (A+uv^T)^{-1}=A^{-1}-\frac{A^{-1}uv^TA^{-1}}{1+\langle v,A^{-1}u\rangle} \]
    Exercice 4800. On pose \[ A= \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0\\ 5 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). \]
    1. Déterminer une base de $\mathbb{C}[A]=\mathrm{Vect}(A^k\ ;\ k\in \mathbb{N})$.\\
    2. La matrice $A$ est-elle inversible ? Si oui, calculer son inverse.\\
    3. Déterminer les complexes $\lambda$ tels que la matrice $A-\lambda I_3$ n'est pas inversible.
    Exercice 4801. Soit $A$ une matrice dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telle que pour tout $i\in \llbracket 1,n\rrbracket$ : \[ |A_{i,i}|>\Sum_{j\neq i}|A_{i,j}|. \]
    1. Montrer que $\ker(A)=\{0\}$.\\
    2. En déduire que $A$ est inversible.
    Exercice 4802. Soient $n \in \N^*$, et\\ \[ A=\bigl(\min(i,j)\bigr)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in M_n(\R). \] Montrer que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
    Exercice 4803. Soit $n \in \N^*$. On définit la matrice $M$ par $M = (m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant 2n}$ par \[ \forall (i,j) \in \llbracket 1,2n\rrbracket^{2}, \; m_{i,j} = \begin{cases} 1 \; si \; i \leqslant n \\ 0 \; sinon \end{cases} \]
    1. Expliciter $M$ dans le cas $n=1$ et $n=2$. \\
    2. Calculer $M^2$ puis $M^p$ pour tout entier $p \geqslant 1$. \\
    3. $M$ est-elle inversible ? \\
    4. Dans le cas $n=2$, déterminer les valeurs de $\lambda$ pour lesquelles la matrice $M-\lambda I_4$ n'est pas inversible.
    Exercice 4804. Soit $K$ un corps et $n\geqslant 1$. On définit une transvection comme une matrice de la forme \[ T_{i,j}(\lambda)=I_n+\lambda E_{i,j} \] avec $\lambda\in K$, $i\neq j$. Pour $n=1$ on convient que $(1)$ est une transvection. On définit une dilatation comme une matrice de la forme \[ D_i(\lambda)=I_n+(\lambda-1)E_{i,i} \] avec $\lambda\in K^*$ son coefficient et $i\in [\![1,n]\!]$. On note \[ \mathrm{Sl}_n(K)=\{M\in \mathcal{M}_n(K),\det(M)=1\}. \]
    1. Prouver que $\mathrm{Sl}_n(K)$ est un groupe multiplicatif contenant toutes les transvections.
    2. Prouver que $\mathrm{Gl}_n(K)$ est engendré par les transvections et les dilatations.
    3. Prouver que $\mathrm{Sl}_n(K)$ est engendré par les transvections, en déduire que $\mathrm{Sl}_n(K)$ est connexe par arc.
    Exercice 4805. Déterminer les matrices $M$ telles que \[ M^2=A= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&4&0\\ 0&1&9 \end{pmatrix}. \]
    Exercice 4806. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que \[ A^n=0 \quad \text{et} \quad A^{n-1} \neq 0 \]
    1. Donner une matrice $T$, la plus simple possible, telle que $A$ soit semblable à $T$.\\
    2. Soit $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ commutant avec $A$. Montrer que $B$ est un polynôme en $A$.
    Exercice 4807. Soit $M\in\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ avec $p\geqslant 1$ telle que \[ \forall n\in\mathbb{N}^*, \quad M^{n+2}=3M^{n+1}-2M^n. \]
    1. Supposons $M$ inversible. \startletters
    2. a Démontrer qu'il existe un polynôme annulateur de $M$, l'expliciter. En déduire que $M$ est diagonalisable.\\
    3. a Exprimer $M^{-1}$ en fonction de $M$ et $I_p$.\\
    4. Supposons $M$ non inversible. La matrice $M$ est-elle encore diagonalisable ?\\
    5. Démontrer que \[ N= \begin{pmatrix} 0&0&-1\\ 0&0&0\\ 2&0&3 \end{pmatrix} \] vérifie la relation précédente.\\
    6. Soit $X:\mathbb{R}_+\to\mathcal{M}_p(\mathbb{R})$ une solution de l'équation $X'=MX$. Démontrer que si $X$ est bornée alors elle est constante.
    Exercice 4808. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ telle que : \[ A^3-A-I_n=0. \] Montrer que $\det(A)>0$.
    Exercice 4809. Soient $p,q\in \mathbb{N}$ et $H\in M_{p,q}(\mathbb{R})$ une matrice de rang $q$, avec $p > q$. \\ Construire une matrice $J\in M_q(\mathbb{R})$ telle que : \[ {}^tJJ={}^tHH. \] Montrer que toutes les matrices $J$ vérifiant cette relation sont inversibles.
    Exercice 4810. Soit $C\in M_n(\mathbb{R})$ telle que : \[ \forall X\in M_n(\mathbb{R}),\quad \det(C+X)=\det(X). \] Montrer que $C=0$.
    Exercice 4811. On pose $A=(\min(i,j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
    1. Déterminer une matrice triangulaire supérieure $U$ avec des $1$ sur la diagonale telle que $A=U^T \times U$.\\
    2. En déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.\\
    3. Montrer que pour tout $\lambda\in \mathbb{R}$, si $A^{-1}-\lambda I_n$ n'est pas inversible, alors il existe $\theta\in \mathbb{R}$ tel que $\lambda=2-2\cos\theta$.
    Exercice 4812. Soient $n \geqslant 2$ un entier, $k \in \{1,\ldots,n-1\}$, \[ \mathcal{P}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mid M^2=M,\ \mathrm{rg}(M)=k\}, \] et $\Pi$ la matrice diagonale de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dont les $k$ premiers coefficients diagonaux valent $1$ et tous les autres $0$.\\ Montrer qu'il existe un ouvert $U$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ contenant $\Pi$, un ouvert $V$ de $\mathbb{R}^{2k(n-k)}$ contenant $0$, une bijection continue $f$ de $V$ sur $U \cap \mathcal{P}$ dont la réciproque est continue.
    Exercice 4813. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\
    1. On note $J_n$ la matrice \[ J_n=\left(\mathbf{1}_{j\equiv i+1\,[n]}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}. \] Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $J_n$.
    2. On suppose que $n$ est premier et on admet que \[ \Sum_{k=0}^{n-1}X^k \] est irréductible sur $\mathbb{Q}$.\\ On se donne $(X_k)_{0\leqslant k\leqslant n-1}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher.\\ Soit $M$ la matrice aléatoire \[ \begin{pmatrix} X_0&X_1&X_2&\cdots&X_{n-1}\\ X_{n-1}&X_0&X_1&\cdots&X_{n-2}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ X_2&\cdots&X_{n-1}&X_0&X_1\\ X_1&X_2&\cdots&X_{n-1}&X_0 \end{pmatrix}. \] Déterminer \[ \mathbb{P}(M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})). \]