Arithmétique des polynômes

Exercice 3375. Soit $P_n = (X-1)^n - X^n + 1$ où $n$ est un entier $\geqslant 3$. \\
  1. Soit $z \in \mathbb{C}$. Montrer que $z$ est une racine au moins double de $P_n$ ssi $z^{n-1} = (z-1)^{n-1} = 1$. \\ En déduire que cela entraîne $|z| = |z-1| = 1$. Montrer qu'il n'y a que deux possibilités pour $z$. \\
  2. Déterminer l'ensemble des entiers $n \geqslant 3$ tels que $P_n$ ait au moins une racine au moins double.
Exercice 3376. Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé, le reste de la division euclidienne de $X^{n}$ par $X^{2}-X-2$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3377. On note $P_{0}(X)=1$, et pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $P_{n}(X)=\frac{(-1)^{n}}{n!}X(X-1)\cdots(X-n+1)$.\\ \\ Montrer : $\forall n \in \mathbb{N}$, $\Sum_{k=0}^{n}P_{k}(X)=P_{n}(X-1)$.
Exercice 3378. On pose \[ P=(X^2-1)^n. \]
  1. Montrer que $P^{(n)}$ est scindé sur $\R$ à racines simples.
  2. Déterminer \[ \left[\left(P^{(n)}\right)^2\right]^{(2n)}. \]
Exercice 3379. Soit $n \in \N^*$. Trouver $a$ et $b$ pour que $(X-1)^2$ divise $aX^{n+1}+bX^n+1$, puis expliciter le quotient.
Exercice 3380. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. \\
  1. Montrer que pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$, il existe un unique polynôme $Q \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(X) = Q(X) - Q(X-1)$ et $Q(0) = 0$. \\
  2. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, posons $P = X^n$. Il existe alors un unique polynôme $Q_n$ tel que $X^n = Q_n(X) - Q_n(X-1)$ et $Q_n(0) = 0$. Montrer que $Q_n'(X) = Q_n'(0) + n \cdot Q_{n-1}(X)$.
Exercice 3381. Soit $P \in \C[X]$ de degré $n \geqslant 1$.\\ On note \[ \mu(P)=\Frac{1}{n}\Sum_{P(z)=0}z \] la moyenne des racines de $P$ comptées avec leur multiplicité.\\ Montrer que \[ \mu(P)=\mu(P'). \]
Exercice 3382. Soit $P$ un polynôme de $\R[X]$ de degré $n \in \N^*$.
  1. On suppose que $P$ est scindé sur $\R$ à racines simples. En utilisant le théorème de Rolle, montrer que $P'$ est scindé sur $\R$ à racines simples.
  2. On suppose que $P$ est scindé sur $\R$, montrer qu'il en est de même de $P'$.
Exercice 3383. Pour $n \in \N^*$, on pose $P_n=X^a+X^b+1$ avec $a=2^n$ et $b=2^{n-1}$. Calculer $P_1$ et $P_2$. Vérifier que $P_1$ divise $P_2$. Montrer plus généralement que si $m \leqslant n$, alors $P_m$ divise $P_n$.
Exercice 3384. Déterminer tous les polynômes $P \in \C[X]$ tels que : \[ P(2)=6,\qquad P'(2)=1,\qquad P''(2)=4 \] et \[ \forall n \geqslant 3 \qquad P^{(n)}(2)=0. \]
Exercice 3385. Soient $\alpha,\beta,\gamma,\delta \in \N$. Montrer que $X^{4\alpha+3}+X^{4\beta+2}+X^{4\gamma+1}+X^{4\delta}$ est divisible par $X^3+X^2+X+1$.
Exercice 3386. Factoriser le polynôme \[ P(X)=1-\Frac{X}{1!}+\Frac{X(X-1)}{2!}-\cdots+(-1)^n\Frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}. \]
Exercice 3387. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé sur $\R$ à racines simples.\\ Soit $a > 0$. Montrer que toutes les racines de $P^2+a^2$ sont dans $\C\setminus\R$ et sont simples.
Exercice 3388. Déterminer tous les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P(1)=3$, $P(2)=2$ et $P(3)=1$.
Exercice 3389. Soit $m \in \C$. Montrer qu’il existe un unique couple $(p,q)\in\C^2$ tel que $X^2+mX-1$ divise $X^3+pX+q$.

Exercice 3390. ENS

\\ Soit $n\in\N$ avec $n\geqslant 3$.\\ Montrer qu'il n'existe pas de polynômes $P,Q,R\in\C[X]$ tels que $P^n+Q^n+R^n=0$ sans que $P,Q,R$ soient tous égaux, à une constante multiplicative près, à un même polynôme.
Exercice 3391. Justifier\\ \[ \forall(n,p,q)\in\mathbb{N}^3,\quad 1+X+X^2 \mid X^{3n}+X^{3p+1}+X^{3q+2}. \]
Exercice 3392. Soit $P \in K[X]$.\\ Montrer que $P(X) - X$ divise $P(P(X)) - X$.
Exercice 3393. Soit $n \geqslant 2$ un entier naturel. Déterminer tous les polynômes de $\R_n[X]$ divisibles par $X+1$ et dont les restes de la division euclidienne par $X+2$, $X+3$, $\hdots$, $X+n+1$ sont égaux.
Exercice 3394. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$.\\ Montrer qu’il y a équivalence entre :\\
  1. $\forall x \in \mathbb{R},\; P(x)\geqslant 0$.\\
  2. $\exists (A,B)\in \mathbb{R}[X]^2,\; P=A^2+B^2$.
Exercice 3395. Soient $P$ et $Q$ deux polynômes non constants de $\C[X]$ tels que $P$ et $Q$ aient même ensemble de racines (dans $\C$), ainsi que $P-1$ et $Q-1$.\\
  1. Soit $n$ le degré de $P$.\\ Montrer que le nombre de zéros distincts de $P$ est égal à $n-\deg(P\wedge P')$.\\
  2. Montrer que $\deg((P-1)\wedge P')+\deg(P\wedge P')\leqslant n-1$.\\
  3. En déduire que $P=Q$.
Exercice 3396. Soient $n,m \in \mathbb{N}^*$.\\
  1. De la division euclidienne de $n$ par $m$, déduire celle de $X^n-1$ par $X^m-1$.\\
  2. Établir que\\ \[ \mathrm{pgcd}(X^n-1,X^m-1)=X^{\mathrm{pgcd}(n,m)}-1. \]
Exercice 3397. On cherche les polynômes $P(X) = (X-a)(X-b) \in \mathbb{C}[X]$ tels que $P(X)$ divise $P(X^3)$.\\
  1. Montrer que, si $a=b$, alors $P \in \mathbb{R}[X]$ et que si $a \neq b$ et $a^3 \neq b^3$, il existe $6$ polynômes dont $4$ dans $\mathbb{R}[X]$.\\
  2. Trouver les polynômes $P$ si $a \neq b$ et $a^3 = b^3$ et en déduire que $13$ polynômes en tout conviennent, dont $7$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3398. Déterminer tous les entiers $n \in \N^\star$ tels que $(X^2 + X + 1)^2$ divise $(X + 1)^n - X^n - 1$.
Exercice 3399. Trouver tous les polynômes $P$ de degré $7$ tels que le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X + 2)^4$ soit égal à $2$ et le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X - 2)^4$ soit égal à $-2$.
Exercice 3400. Soient $P,Q \in \C[X]$ deux polynômes premiers entre eux. Montrer que si $r$ est racine double de $P^2+Q^2$, alors $r$ est racine de $P'^2+Q'^2$.
Exercice 3401. Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ ; montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :\\ \\ (i) $\forall x \in \mathbb{R}$, $P(x)\geqslant 0$\\ (ii) $\exists (A,B)\in(\mathbb{R}[X])^{2}$, $P=A^{2}+B^{2}$.
Exercice 3402. Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$, $P \in \mathbb{C}_{n}[X]$ tel que : $\forall k \in \{1,\ldots,n+1\}$, $P(k)=\frac{1}{k^{2}}$.\\ \\
  1. Montrer qu’il existe $(a,b)\in\mathbb{C}^{2}$ unique tel que :\\ \[ X^{2}P-1=(aX+b)\Prod_{k=1}^{n+1}(X-k) \] et calculer $(a,b)$.\\ On fera intervenir le nombre harmonique $H_{n+1}=\Sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}$.\\
  2. Exprimer $P(n+2)$.
Exercice 3403. Calculer, pour tout $n \in \mathbb{N}$ fixé, le reste de la division euclidienne de $X^{n}$ par $X^{2}-X-2$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3404. Soient $p$ et $q$ deux entiers supérieurs à $2$ et premiers entre eux.\\ Montrer que $(X^p-1)(X^q-1)\mid(X-1)(X^{pq}-1)$.
Exercice 3405. Trouver le reste de la division euclidienne de $P$ par $Q$ dans les cas suivants :\\
  1. $P=X^{n+1}-X^n+1,\quad Q=X^2-1$.\\
  2. $P=X^{2n}+X^n+X+1,\quad Q=(X-1)^2$.\\
  3. $P=X^{2n+1}-X-1,\quad Q=X^2(X-1)^2$.\\
  4. $P=X^n+X+2,\quad Q=X^3+X^2+X+1$.
Exercice 3406. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-1$.
Exercice 3407. Soit $n \in \N$ et $a,b \in \R$ tels que $a \neq b$. \\ Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-a)$, puis par $(X-a)(X-b)$ puis par $(X-a)^2$.

Exercice 3408. CCP

\\ Soit $n$ un entier naturel non nul.\\
  1. Montrer qu'il existe un unique couple $(P,Q)\in\mathbb{R}_{n-1}[X]^2$ tel que $(1-X)^nP(X)+X^nQ(X)=1$.\\
  2. Montrer que $P(1-X)=Q(X)$, $Q(1-X)=P(X)$.\\
  3. Montrer qu'il existe $a\in\mathbb{R}$, $(1-X)P'(X)-nP(X)=aX^{n-1}$. Déterminer $a$ et $P$.
Exercice 3409. Soit $P \in \mathbb{K}[X]$.\\
  1. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-P(X)$.\\
  2. En déduire que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.\\
  3. On note $P^{[n]}=P \circ \cdots \circ P$ (composition à $n \geqslant 1$ facteurs).\\ Établir que $P(X)-X$ divise $P^{[n]}(X)-X$.
Exercice 3410. Soit $(A,B) \in (K[X])^2$ non nuls.\\ Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :\\
  1. $A$ et $B$ ne sont pas premiers entre eux.\\
  2. Il existe $(U,V) \in (K[X]-\{0\})^2$ tel que\\ \[ AU + BV = 0,\quad \deg U < \deg B\quad \mathrm{et}\quad \deg V < \deg A. \]
Exercice 3411. Soit $A,B \in K[X]$ non nuls.\\ Montrer : $A$ et $B$ sont premiers entre eux si, et seulement si, $A+B$ et $AB$ le sont.
Exercice 3412. Soit $A,B \in K[X]$ tels que $A^2 \mid B^2$.\\ Montrer que $A \mid B$.

Exercice 3413. CCP

\\ Soit $n \in \N^\star$. Trouver les couples $(a,b) \in \R^2$ tels que $X^2 + X + 1$ divise $P_n(X) = X^{2n} + aX^n + b$.
Exercice 3414. Soit $P \in \R[X]$ et $a \in \R$. \\ Montrer l'équivalence \[ P(a) = 0 \iff \exist Q \in \R[X], \;\; P(X)=(X-a)Q(X) \]
Exercice 3415. Soit $t\in\R$.\\ Déterminer le reste de la division euclidienne de $P=(X\cos t+\sin t)^n$ par $X^2+1$.
Exercice 3416. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-1$.
Exercice 3417. Soit $k,n \in \mathbb{N}^*$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $k$ par $n$.\\ Montrer que le reste de la division euclidienne de $X^k$ par $X^n-1$ est $X^r$.
Exercice 3418. Montrer, pour tout $P$ de $\mathbb{K}[X]$ : $P(X)-X\mid P(P(X))-X$.
Exercice 3419. Soient $(a,b)\in(\mathbb{N}^{*})^{2}$, $\delta=\mathrm{pgcd}(a,b)$.\\ Montrer : $\mathrm{pgcd}(X^{a}-1,X^{b}-1)=X^{\delta}-1$, dans $\mathbb{K}[X]$.
Exercice 3420. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $n \in \mathbb{N}$ pour que\\ \[ X^2+X+1 \mid X^{2n}+X^n+1. \]
Exercice 3421. Déterminer tous les polynômes de $\R[X]$, unitaires, de degré $3$, divisibles par $X-1$, et dont les restes des divisions euclidiennes par $X-2$, $X-3$, $X-4$ sont égaux.
Exercice 3422. Déterminer une CNS sur $(a,b)\in\mathbb{C}^{2}$ pour que les deux polynômes $A=X^{3}+X+a$, $B=X^{4}+2X^{2}+b$ de $\mathbb{C}[X]$ aient au moins deux zéros communs.
Exercice 3423. Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$, $P=\Sum_{k=0}^{n}X^{k}$, $Q=\Sum_{k=0}^{n}X^{kn}$ en $\mathbb{K}[X]$.\\ Montrer : $P\mid Q$.
Exercice 3424. Soient $A,B,C \in K[X]$ tels que $A$ et $B$ soient premiers entre eux.\\ Montrer que $\mathrm{pgcd}(A,BC) = \mathrm{pgcd}(A,C)$.
Exercice 3425. Soient $a \in \mathbb{K}$ et $P \in \mathbb{K}[X]$.\\ Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$ en fonction de $P(a)$ et $P'(a)$.
Exercice 3426. Soit $(a,b) \in \mathbb{K}^2$ tels que $a \neq b$ et $P \in \mathbb{K}[X]$.\\ Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$.
Exercice 3427. Soient $a \in \mathbb{R}$, $P=\Prod_{k=1}^{n}(X\sin(ka)+\cos(ka))$.\\ Calculer le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^{2}+1$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3428. Soit $(A,B)\in(\mathbb{K}[X]-\{0\})^{2}$. Montrer :\\ \[ A \wedge B=1 \Longleftrightarrow (A+B)\wedge(AB)=1. \]
Exercice 3429. Déterminer l’ensemble des $n \in \mathbb{N}^*$ tels que $X^{2}+X+1$ divise $(X^{4}+1)^{n}-X^{n}$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3430. Soit $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$. Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de\\ \[ P=X^{n}+(X-1)^{n}+1 \] par $X^{2}-X$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3431. Résoudre l’équation d’inconnue $(P,Q)\in(\mathbb{K}[X])^{2}$ :\\ \[ (X^{2}-5X+7)P+(X-2)Q=2X-3. \]
Exercice 3432. On note, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $P_{n}=X^{2^{n}}+X^{2^{n-1}}+1 \in \mathbb{R}[X]$.\\ Montrer, pour tout $(m,n)\in(\mathbb{N}^*)^{2}$ :\\ \[ n \leqslant m \Longrightarrow P_{n}\mid P_{m}. \]
Exercice 3433. Factoriser en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ les polynômes suivants :\\
  1. $X^{6}+9X^{3}+8$.\\
  2. $X^{4}-2X^{2}+9$.\\
  3. $X^{4}+X^{2}-6$.\\
  4. $(X^{2}-4X+1)^{2}+(3X-5)^{2}$.\\
  5. $X^{5}+1$.\\
  6. $X^{6}-1$.
Exercice 3434. Soit $p\in\mathbb{N}^*$.\\
  1. Montrer que $\exists !(U,V)\in\mathbb{R}[X]^2,\;(1-X)^pU+X^pV=1$ et $\deg(U) < p$.\\
  2. Que peut-on dire de $\deg(V)$ ? En déduire que $V(X)=U(1-X)$.\\
  3. Montrer que $\exists a\in\mathbb{R},\;(1-X)U'-pU=aX^{p-1}$.
Exercice 3435. \\
  1. Montrer qu'un polynôme dans $\mathbb{Q}[X]$ de degré $3$ n'admettant aucune racine rationnelle est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.\\
  2. Montrer que $2X^3+2X^2+4X+3$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.
Exercice 3436. \\
  1. Soit $n\in\mathbb{N}$. Le polynôme $X^2+X+1$ divise-t-il $X^{3n+8}+X^{3n+4}+X^{3n}$ dans $\mathbb{C}[X]$ ?\\
  2. Soit $n\in\mathbb{N}$. Le polynôme $(X^2+X+1)^2$ divise-t-il $(X+1)^n-X^n-1$ dans $\mathbb{C}[X]$ ?
Exercice 3437. Soit $P\in\mathbb{R}[X]$. Montrer que\\ $X^2-X \mid P(X^2+3X)\iff X^2-2X \mid P(X^2)$.
Exercice 3438. Soit $a \neq b$ dans $\mathbb{R}$.\\
  1. Exprimer à l'aide de $P(a)$ et $P(b)$ le reste dans la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-a)(X-b)$.\\
  2. Exprimer à l'aide de $P(a)$ et $P'(a)$ le reste dans la division euclidienne de $P(X)$ par $(X-a)^2$.\\
  3. Soit $n > 2$ un entier. Effectuer la division euclidienne de $X^n+2X-2$ par $(X-1)^2$.
Exercice 3439. Soient $n > 2$ un entier, puis $p$ un nombre premier.\\ On considère une factorisation $X^n-p=A(X)B(X)$ dans $\mathbb{Q}[X]$, avec les polynômes $A(X)$ et $B(X)$ unitaires.\\ On note $m_A$ et $m_B$ le ppcm des dénominateurs des coefficients rationnels mis sous forme irréductible des polynômes $A(X)$ et $B(X)$.\\
  1. Soit $\pi$ un nombre premier divisant éventuellement le produit $m_Am_B$.\\
    1. Montrer que $m_Am_BA(X)B(X)$ est le polynôme nul dans $\mathbb{Z}/\pi\mathbb{Z}[X]$.\\
    2. En déduire que l'un des polynômes $\Frac{m_A}{\pi}A(X)$ ou $\Frac{m_B}{\pi}B(X)$ est un polynôme à coefficients entiers.
  2. En déduire que les polynômes $A(X)$ et $B(X)$ sont à coefficients entiers.\\
  3. On suppose que les polynômes $A(X)$ et $B(X)$ ne sont pas constants.\\
    1. En passant dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}[X]$, montrer que les entiers $A(0)$ et $B(0)$ sont multiples de $p$.\\
    2. Aboutir à une contradiction.
  4. Conclure que le polynôme $X^n-p$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$.
Exercice 3440. Soit $P(X)\in\mathbb{Q}[X]$ un polynôme de degré $n$.\\
  1. Montrer que si $P$ est irréductible dans $\mathbb{Q}[X]$, alors toutes les racines complexes de $P(X)$ sont des racines simples.\\
  2. Montrer que si $P(X)$ admet une racine complexe de multiplicité strictement supérieure à $\Frac{n}{2}$, alors cette racine est rationnelle.
Exercice 3441. Soit $P(X)\in\mathbb{R}[X]$ un polynôme tel que : $\forall x\in\mathbb{R},\;P(x) > 0$.\\ Montrer qu'il existe deux polynômes $Q(X)$ et $R(X)$ dans $\mathbb{R}[X]$ tels que $P=Q^2+R^2$.
Exercice 3442. \\
  1. Montrer qu'un polynôme $P(X)$ est à coefficients rationnels si et seulement si $P(\mathbb{Q})\subset\mathbb{Q}$.\\
  2. Le résultat subsiste-t-il si l'on remplace $\mathbb{Q}$ par $\mathbb{Z}$ ?
Exercice 3443. Soit $\alpha$ un nombre complexe. On pose $I_\alpha=\{P(X)\in\mathbb{Q}[X]\mid P(\alpha)=0\}$.\\
  1. Montrer que $I_\alpha$ est un idéal de $\mathbb{Q}[X]$.\\
  2. On suppose qu'il existe $P(X)$ non nul dans $\mathbb{Q}[X]$ tel que $P(\alpha)=0$. Montrer que l'idéal $I_\alpha$ est engendré par un polynôme unitaire irréductible $\mu_\alpha(X)$.\\
  3. Calculer $\mu_\alpha(X)$ lorsque $\alpha=2\cos\Frac{\pi}{5}$.
Exercice 3444. Soit $P(X)$ un polynôme non nul dans $K[X]$. On pose $n=\deg(P)$.\\
  1. Montrer que $Q(X)=X^nP(1/X)$ est encore un polynôme.\\
  2. Montrer que si $P(X)$ est irréductible, alors $Q(X)$ aussi.
Exercice 3445. Soient $p$ et $q$ deux entiers supérieurs à $2$ et premiers entre eux. Montrer que $(X^p-1)(X^q-1)$ divise $(X-1)(X^{pq}-1)$ dans $\mathbb{R}[X]$.
Exercice 3446. Déterminer les polynômes $P \in \R_7[X]$ tels que $(X-1)^4$ divise $P(X)+1$ et $(X+1)^4$ divise $P(X)-1$.
Exercice 3447. \\
  1. Quel est le reste de la division euclidienne de $A=2X^9-4X^5$ par $B=X+1$ ?\\
  2. Soit $n\in\N$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $(X-8)(X+2)$.\\
  3. Quel est le reste de la division euclidienne de $A=2X^4-4X^3+2$ par $B=X-1$ ? Déterminer aussi le quotient.
Exercice 3448. Soit $n\in\N^*$.\\ On considère le polynôme \[ P=X^{2n}-X^{n+1}-(n-1)X+n-1. \] Justifier que $X-1$ divise $P$.\\ Justifier ensuite que $X-1$ divise aussi $P'$.\\ Donner enfin le reste de la division euclidienne de $P$ par $X^2-2X$.
Exercice 3449. Le polynôme \[ P=X^4+1 \] est-il irréductible sur $\R$ ?
Exercice 3450. \\
  1. Appliquer la formule de Taylor au polynôme $P = X^3+3X^2-2$ en $1$. En déduire le reste et le quotient de la division euclidienne de $P$ par $(X-1)^2$.\\
  2. Soit $n \in \N$. En appliquant la formule de Taylor, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n+2X-2$ par $(X-2)^2$.
Exercice 3451. \\
  1. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$ dans $\Z$, effectuer la division euclidienne de $X^n-1$ par $X^m-1$.\\
  2. En déduire que le pgcd de ces deux polynômes est $X^{m \wedge n}-1$.
Exercice 3452. Soit $P$ un polynôme non constant complexe. Déterminer le PGCD de $P$ et $P'$.
Exercice 3453. Effectuer les divisions euclidiennes de $A$ par $B$ lorsque :\\
  1. $A=2-X-X^2+2X^3$ et $B=X^2-1$\\
  2. $A=X^3+X^2-2X$ et $B=X+2$\\
  3. $A=-X^6+X^4-X$ et $B=X^3$
Exercice 3454. Déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ pour que $X^2-4X+5$ divise $X^4-4X^3+aX^2-4X+b$.
Exercice 3455. Soit $n \in \N$, donner le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par $X^2-3X+2$.
Exercice 3456. Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : \\
  1. $X^6+X^5$ par $X^2-1$ \\
  2. $2X^3-11X^2+7X+20$ par $2X-5$ \\
  3. $X^5-5X^4+31X^2-43X+6$ par $X^3-5X^2+6X$ \\
  4. $X^4+1$ par $X^2-\sqrt{2}X+1$ \\
  5. $X^n$ par $X-1$
Exercice 3457. \\
  1. Soit $P \in \C[X]$ et $(a,b) \in \C^2$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ en distinguant les cas $a=b$ et $a \neq b$. \\
  2. En déduire, pour $n \in \N$, le reste de la division euclidienne de $(X+1)^{2n+1}-X^{2n+1}$ par $X^2+X+1$.
Exercice 3458. \\
  1. Soit $a \in \R$. Donner le reste de la division euclidienne de $X^n+X$ par $X-a$. \\
  2. Donner le degré de $(X+1)^n-(X-1)^n$ si $n \neq 0$.
Exercice 3459. \\
  1. Soit $a,b \in \R$ et $P$ un polynôme. Donner le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$, en distinguant le cas $a=b$ du cas $a \neq b$.
  2. On souhaite montrer qu’il n’existe aucun polynôme $P$ respectant la propriété suivante : si $Q$ est un polynôme tel que $P(0)=Q(0)$ et $P(1)=Q(1)$, alors pour tout $x \in [0,1]$, $P(x)=Q(x)$. On suppose par l’absurde l’existence d’un tel polynôme $P$. \\
    1. Justifier que pour tout $x \in [0,1]$, \[ P(x)=(P(1)-P(0))x+P(0). \] En déduire que \[ P=(P(1)-P(0))X+P(0). \]
    2. Trouver un polynôme $Q$ de degré $2$ tel que $P(x)=Q(x)$ pour tout $x \in [0,1]$. Conclure.
Exercice 3460. Montrer que $(X-1)^2$ et $(X+1)^2$ sont premiers entre eux. En déduire tous les polynômes $P \in \R[X]$ tels que \[ \deg(P) \leqslant 4, \qquad (X-1)^2 \mid P(X)+1, \qquad (X+1)^2 \mid P(X)-1. \]
Exercice 3461. \\
  1. Donner la division euclidienne de $4X^3-3X^2+1$ par $X^2-2$. \\
  2. Soit $n \in \N^*$. Donner le reste de la division euclidienne de $(X+3)^n$ par $X^2-4$. \\
  3. Soit $n \in \N^*$. On considère \[ Q_n=(X+1)^n-(3-2X)^n. \]
    1. En résolvant $x+1=3-2x$, trouver un réel $a$ tel que $X-a$ divise $Q_n$. \\
    2. On suppose $n$ pair désormais, trouver alors un autre réel $b \neq a$ tel que $X-b$ divise $Q_n$. Justifier alors que $X^2-(a+b)X+ab$ divise $Q_n$.
Exercice 3462. \\
  1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de : \\
    1. $X^4+5X^3+12X^2+19X-7$ par $X^2+3X-1$ \\
    2. $X^4-4X^3-9X^2+27X+38$ par $X^2-X-7$ \\
    3. $X^5-X^2+2$ par $X^2+1$
  2. Soit $P \in K[X]$, soit $a,b \in K$ avec $a \neq b$. \\
    1. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P(b)$. \\
    2. Soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
  3. Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par : \\
    1. $X^2-3X+2$ \\
    2. $X^2+X+1$ \\
    3. $X^2-2X+1$
  4. Soient $a,b$ des réels, et \[ P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1. \] Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ le polynôme $P$ est-il le carré d’un polynôme de $\R[X]$ ? \\
  5. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda,\mu) \in \C^2$ pour que $X^2+2$ divise \[ X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2. \]
Exercice 3463. \\
  1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $(\lambda,\mu) \in \C^2$ pour que \[ X^4+X^3+\lambda X^2+\mu X+2 \] soit divisible par $X^2+2$. \\
  2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a \in \C$ pour que \[ X^4-X+a \] soit divisible par \[ X^2-aX+1. \]
Exercice 3464. Soit $(a,b) \in K^2$ tels que $a \neq b$ et $P \in K[X]$. Exprimer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)(X-b)$ en fonction de $P(a)$ et $P(b)$.