Calculs de limites

Exercice 2376. Soit $x \in \R$ et pour $n \in \N^*$, $x_n = \Frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$. \\ Calculer $\limn x_n$.
Exercice 2377. Soient $\alpha,\beta \in \R$ tels que $0 < \alpha < \beta$. \\
  1. Montrer que si $\alpha, \beta \in ]0,1[$, alors $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$. \\
  2. Montrer que si $\limn \alpha^n+\beta^n = 0$, alors $\alpha, \beta\in ]0,1[$.
Exercice 2378. Calculer la limite de $u_n = \Frac{1}{n!} \Sum_{k=0}^{n} k!$.
Exercice 2379. Calculer $\limn \Sum_{k=0}^{n} \displaystyle \binom{n}{k}^{-1}$.
Exercice 2380. Calculer, si existence, les limites suivantes : \\
  1. $\limn \Sum_{k=1}^{n} \Frac{k}{n^2}\sin\parenthese{\Frac{k}{n}}$. \\
  2. $\limn \Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}\ln\parenthese{\Frac{k}{n}}$. \\
  3. $\limn \Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}\left \lfloor \Frac{n}{k} \right\rfloor$.