Nature de séries

Exercice 2484. ESCP

\\ Soit $p\in \N$. Déterminer la nature de la série de terme général $\Frac{n^p}{2^n}$.
Exercice 2485. Pour $x >0 $, nature de $\Sum_{ n \geqslant 1} x^{\ln(n)}$.
Exercice 2486. Nature de $\Sum_{n \geqslant 1} \integrale{0}{1/n}{\Frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1+x^2}}}{x}$

Exercice 2487. Critère de d'Alembert

\\ Soit $(u_n)$ une suite de réels strictement positifs. \\
  1. Montrer que si $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell \in [0,1[$, alors la série de terme général $u_n$ converge. \\
  2. Montrer que si $\limn \Frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell \in ]1,+\infty[$ alors la série de terme général $u_n$ diverge.
Exercice 2488. \\
  1. Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites à termes strictement positif tels que $\forall n \in \N^*$, $\Frac{u_{n+1}}{u_n} \leqslant \Frac{v_{n+1}}{v_n}$. \\ Montrer que si la série de terme général $v_n$ converge, alors la série de terme général $u_n$ converge. \\
  2. On pose pour tout $n \in \N^*$, $u_n = \Frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?

Exercice 2489. ESCP

\\ Déterminer la nature de la série de terme général $u_n = \left(1 + \Frac{1}{n}\right)^{2n} - \left(1 + \Frac{2}{n}\right)^n$.
Exercice 2490. Soit $(u_n)_{n \in \N^*}$ une suite réelle à termes positifs telle que $\Sum u_n$ converge. \\ Montrer que $\Sum \Frac{\sqrt{u_n}}{n}$ converge.
Exercice 2491. Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs. \\ Montrer que la série $\Sum u_n$ et la série $\Sum \Frac{u_n}{1+u_n}$ sont de même nature.
Exercice 2492. Montrer que la série de terme général $\sin(\pi(2+\sqrt{3})^n)$ est convergente. \\ On montrera que pour tout $n \in \N$, $a_n = (2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n$ est un entier naturel.

Exercice 2493. ESCP

\\ Soit $P=X^{3}+a_{1}X^{2}+a_{2}X+a_{3}$ un polynôme unitaire de degré $3$ à coefficients dans $\mathbb{N}$.\\ On suppose que $P$ possède trois racines réelles $\alpha,\beta,\gamma$ telles que $|\alpha| > 1$, $|\beta| < 1$ et $|\gamma| < 1$.\\ On pose\\ \[ e_{1}=\alpha+\beta+\gamma,\quad e_{2}=\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma,\quad e_{3}=\alpha\beta\gamma. \] On pose enfin, pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$ : $u_{n}=\alpha^{n}+\beta^{n}+\gamma^{n}$.\\
    1. Exprimer $a_{1},a_{2},a_{3}$ en fonction de $e_{1},e_{2},e_{3}$.\\
    2. Calculer $e_{1}e_{2}-3e_{3}$. Déduire l'expression de $u_{1},u_{2},u_{3}$ en fonction de $e_{1},e_{2},e_{3}$.\\
    3. Montrer que pour tout $p \in \mathbb{N}^{*}$ : $u_{p+3}-e_{1}u_{p+2}+e_{2}u_{p+1}-e_{3}u_{p}=0$.\\
    4. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, $u_{n}$ est un entier relatif.\\
  2. Déterminer la nature de la série de terme général $\sin\big(\pi\alpha^{n}\big)$.

Exercice 2494. HEC

\\ Soit $\sigma$ une injection de $\N^*$ dans $\N^*$.\\
  1. Proposer $3$ exemples de telles injection. Dans chacun de vos exemples, quelle est la nature de $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{\sigma(n)}{n^2}$ ?\\
  2. Dans le cas général, donner la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}\Frac{\sigma(n)}{n^2}$.