Sommes d'une série

Exercice 2495. Calculer si convergence $\Sum_{n=0}^{+\infty} \Frac{2n^2-n+1}{n!}$.
Exercice 2496. Soit $x \in ]0,1[$. \\ Montrer que $\Sum_{k=1}^{+\infty} \Frac{x^k}{k} = -\ln(1-x)$.
Exercice 2497. Calculer les sommes (si existence) : \\
  1. $\Sum_{n=0}^{+\infty} \Frac{2n^2+1}{5^n}$. \\
  2. $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Frac{n^3}{n!}$. \\
  3. $\Sum_{n=0}^{+\infty} \Frac{n(n-1)2^n}{5^{n+1}}$. \\
  4. $\Sum_{n=2}^{+\infty} \ln\parenthese{\Frac{n^2}{n^2-1}}$.

Exercice 2498. HEC

\\ On considère la suite $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et, pour tout $n \in \N$,\\ $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.\\ Calculer $F_n$.\\ Montrer que la série de terme général $\Frac{1}{F_{2^n}}$ converge et calculer sa somme.\\ On pourra exprimer $\Frac{1}{F_{2^n}}$ sous la forme $u_n-u_{n+1}$ où $(u_n)$ est une suite à déterminer.
Exercice 2499. On pose pour tout $n \in \N^*$, $u_n = \Sum_{p=1}^{n} p^2$. \\
  1. Pour $n \in \N^*$, écrire $u_n$ sans somme. \\
  2. Montrer que la série de terme général $\Frac{1}{u_n}$ converge. \\
  3. Déterminer $3$ réels $a,b,c$ tels que $\forall x \in \R \backslash \{0,-1,-1/2\}$, $\Frac{1}{x(x+1)(2x+1)} = \Frac{a}{x} + \Frac{b}{x+1} + \Frac{c}{2x+1}$. \\
  4. On pose $S_N = \Sum_{p=1}^{N} \Frac{1}{p}$. \\ En comparant avec une intégrale, calculer si existence, $\lim_{N \to +\infty} (S_{2N+1}-S_N)$. \\
  5. Montrer que $\Sum_{n=1}^{+\infty} \Frac{1}{u_n} = 18-24\ln{2}$.

Exercice 2500. ESCP

\\ Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $H_n=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k}$ et $\gamma_n=H_n-\ln(n)$.\\
  1. Montrer que la série de terme général $\gamma_{n+1}-\gamma_n$ converge.\\ En déduire que la suite $(\gamma_n)_{n\geqslant 1}$ converge. On note $\gamma$ sa limite.\\
  2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, on a : $\Sum_{k=1}^{2n}\Frac{(-1)^k}{k}=H_n-H_{2n}$.\\ En déduire que la série $\Sum_{k\geqslant 1}\Frac{(-1)^k}{k}$ converge et déterminer sa somme.\\
  3. Dans cette question, on pose, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_{3n+1}=a_{3n+2}=1$ et $a_{3n+3}=-1$.\\ Déterminer $\limn\Sum_{k=1}^{3n+3}\Frac{a_k}{k}$ et en déduire la nature de la série de terme général $\Frac{a_k}{k}$.\\ Dans la suite, on pose pour tout $n \in \mathbb{N}$, $a_{4n+1}=a_{4n+2}=1$ et $a_{4n+3}=a_{4n+4}=-1$.\\
    1. Montrer que pour tout $N \in \mathbb{N}$, on a $\Sum_{n=0}^{N}\Big(\Frac{1}{4n+1}-\Frac{1}{4n+3}\Big)=\integrale{0}{1}{\Frac{1-x^{4N+4}}{1+x^{2}}}{x}$.\\
    2. En déduire que $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\Frac{1}{4n+1}-\Frac{1}{4n+3}\Big)=\Frac{\pi}{4}$.\\
    3. Calculer de même $\Sum_{n=0}^{+\infty}\Big(\Frac{1}{4n+2}-\Frac{1}{4n+4}\Big)$.\\
  5. Montrer que $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{a_n}{n}=\Frac{\pi}{4}+\Frac{1}{2}\ln(2)$.