Etude de fonction

Exercice 258. Calcul de limite

\\ Calculer les limites de la fonction $f$ définie sur $]3;+\infty[$ par $f(x) = \ln(x^2-x-6)$ aux bornes de son intervalle de définition.

Exercice 259. Calcul de limite n°2

\\ Déterminer les limites en $+\infty$ et en $0$ de la fonction $f(x) = \parenthese{1-\Frac{1}{x}}(\ln{x}-2)$.

Exercice 260. Calcul de limite n°3

\\ Soit $f$ définie par $f(x) = \ln\parenthese{x^2+x+\Frac{5}{2}}$.\\
  1. Justifier que $f$ est définie sur $\R$. \\
  2. Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.

Exercice 261. Calcul de limite n°4

\\ Soit $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x) = \sqrt{x} \ln{x}$ \\ Etudier les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de définition.

Exercice 262. Etude de fonction

\\ Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = x\ln^2{x}-3x$. \\
  1. Déterminer le tableau de variations de $f$. \\ On pourra utiliser la factorisation $X^2+2X-3 = (-1+X)(3+X)$. \\
  2. Résoudre l'équation $f(x)=0$.

Exercice 263. Etude de fonction n°2

\\
  1. On considère la fonction $g$ définie sur $\Rpe$ par $g(x) = \ln{x}-\Frac{2}{x}$. \\ Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution notée $\alpha$ telle que $2,3 < \alpha < 2,4$. \\
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{5\ln{x}}{x}$. \\ Montrer que $f(\alpha) = \Frac{10}{\alpha^2}$.

Exercice 264. Etude de fonction n°3

\\ Soit $f$ définie sur $\Rpe$par $f(x) = \Frac{5\ln{x}}{\sqrt{x}}$. \\
  1. Etudier les variations de $f$ sur $\Rpe$ et dresser le tableau de variations complet de $f$. \\
  2. Montrer que l'équation $f(x)=-5$ admet une unique solution $\alpha$, et que $\alpha$ est également la solution de l'équation $e^{-\sqrt{x}}=x$. \\ On ne cherchera pas à calculer la valeur de $\alpha$.

Exercice 265. Etude de fonction n°4

\\ Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x-\ln(x^2+1)$. \\ Dresser le tableau complet de variations de $f$ sur $\R$.

Exercice 266. Etude de fonction n°5

\\ On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \Frac{ 1 }{x \ln(x)}$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Déterminer les variations de $f$. \\
  3. Déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au point d'abscisse $e$.

Exercice 267. Etude de fonction n°6

\\ Soit $f$ définie sur $\Rpe$ par $f(x) = e^x-\ln{x}$. \\
  1. Etudier les variations de $\varphi(x) = xe^x-1$ définie sur $\R$. \\
  2. En déduire qu'il existe un unique $\alpha$ tel que $\alpha e^{\alpha}=1$. \\
  3. Etudier le signe de $\varphi(x)$. \\
  4. Montrer que $f$ admet un minimum $m$ égal à $\alpha+\alpha^{-1}$.

Exercice 268. Etude de fonction n°7

\\ Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \ln(e^x-e^{-x})$. \\
  1. Déterminer le domaine de définition $\mathscr{D}_f$ de $f$.\\
  2. Démontrer que l'équation $f(x) =0$ admet une unique solution sur $\mathscr{D}_f$, que l'on notera $\alpha$. \\
  3. Montrer que $f'(\alpha) = \sqrt{5}$.