Intégrales et fonctions

Exercice 2475. On pose, pour tout $n \in \N$, \[ I_n = \Frac{1}{n!}\integrale{0}{1}{(1-t)^ne^{t}}{t}\]
  1. Calculer $I_0$ et $I_1$. \\
  2. Montrer que $\limn I_n = 0$. \\
  3. Montrer que $\forall n \in \N$, $I_{n+1} = I_n - \Frac{1}{(n+1)!}$. \\
  4. Calculer $\Sum_{k=0}^{+\infty} \Frac{1}{k!}$.
Exercice 2476. Soit $(a,b) \in \R^2$ avec $a < b$. \\ Soit $f : [a,b] \to \R$ et $g : [a,b] \to \R$ deux applications continues. \\ Montrer que $\abs{\integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t}} \leqslant \sqrt{\integrale{a}{b}{f^2(t)}{t}} \sqrt{\integrale{a}{b}{g^2(t)}{t}}$. \\ On introduira la fonction $\varphi(x) = \integrale{a}{b}{(xf(t)+g(t))^2}{t}$.
Exercice 2477. \\
  1. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $\Frac{1}{k+1} \leqslant \integrale{k}{k+1}{\Frac{1}{x}}{x} \leqslant \Frac{1}{k}$. \\
  2. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $u_n = \Sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{k}$ et $v_n = u_n-\ln{n}$. \\ Montrer que $u_n \sim \ln{n}$ et $(v_n)$ converge sans calculer la limite.
Exercice 2478. On pose pour tout $x > 0$, $f(x) = \integrale{x}{2x}{\Frac{1}{\ln(1+t^2)}}{t}$. \\ Donner le tableau de variations complet de $f$ sans calculer l'image d'un extremum.
Exercice 2479. Soit $f : \R^+ \to \R$ une application continue. \\ Calculer si existence $\limzp \Frac{1}{x} \integrale{0}{x}{f(t)}{t}$.
Exercice 2480. Soit $\alpha \in \R \backslash \{-1,1\}$. \\
  1. Montrer que $x \mapsto \ln(\alpha^2-2\alpha\cos(x)+1)$ est continue sur $[0,\pi]$. \\ On admet que \[ \forall x \in \R, \; \forall n \in \N^*\backslash \{1\}, \;\; x^{2n}-1 = (x^2-1)\Prod_{k=1}^{n-1}\parenthese{x^2-2x\cos\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}+1} \] On pose $I(\alpha) = \integrale{0}{\pi}{\ln(\alpha^2-2\alpha\cos(x)+1)}{x}$.\\
  2. On pose $x_n = \Frac{\pi}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}\ln\parenthese{\alpha^2-2\alpha\cos\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}+1}$. \\ Montrer que $\limn x_n = I(\alpha)$. \\
  3. Calculer $\limn x_n$. \\
  4. Déduire $I(\alpha)$.
Exercice 2481. On pose pour tout $x \in ]0,1[$, $f(x) = \integrale{x}{x^2}{\Frac{1}{\ln{t}}}{t}$. \\
  1. Justifier l'existence de $f$. \\
  2. Etudier les variations de $f$. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$, $x^2\ln{2}\leqslant f(x) \leqslant x\ln{2}$. \\
  4. Donner le tableau de variations de $f$.