Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 44. \\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = \Frac{\alpha u_n}{u_n+\alpha}$ avec $\alpha \in \Rpe$.\\ Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = \Frac{\alpha}{\alpha+n}$.
Exercice 45. \\ Soit $\un$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $\forall n \in \N$, $u_{n+2} = \Frac{n+1}{n+2}u_n$. \\ Montrer que $\forall n \in \N$, $u_{2n} = \Frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}$.
Exercice 46. \\ La dérivée $n$-ième d'une fonction $f$ est la fonction notée $f^{(n)}$ obtenue en dérivant $n$-fois la fonction $f$. \\ Soit $f$ définie sur $\R^*$ par $f(x) = \Frac{1}{x}$.\\ Montrer que $f^{(n)}(x) = \Frac{(-1)^n\cdot n!}{x^{n+1}}$.
Exercice 47. \\ Soit $p \geqslant 0$. Soit $\un$ définie par $u_0=0$ et pour tout entier $n \in \N$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + p^2 }$. \\ Calculer $u_n$ en fonction de $n$.
Exercice 48. \\
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \geqslant 2$, $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{n}$. \\
  2. Montrer sans passer par un raisonnement par récurrence que pour tout $n \geqslant 1$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \Frac{1}{\sqrt{k}} \geqslant \sqrt{n}$.
Exercice 49. \\ Soit $\un$ la suite définie pour tout $n \in \N^*$ par \[ u_n = \sum_{k=0}^{n} \Frac{1}{k!} = \Frac{1}{0!}+\Frac{1}{1!}+\Frac{1}{2!} + \hdots + \Frac{1}{n!} \]
  1. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $2^{k-1} \leqslant k!$. \\
  2. Montrer que $\un$ est majorée par 3.
Exercice 50. \\
  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $\;\displaystyle \sum_{k=1}^{n} k \times k! = (n+1)!-1$.\\
  2. En utilisant le fait que $k = (k+1)-1$, établir le résultat précédent sans passer par une récurrence.
Exercice 51. Soit $\un$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = u_0 + \hdots + u_n$. \\ Montrer que pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant 2^{n}$.
Exercice 52. Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ vérifiant $\forall x \in \R$, $f(2x) = f(x)$.\\ Montrer que $\forall x \in \R$, $\forall n \in \N$, $f\parenthese{\Frac{x}{2^n}} = f(x)$.