Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 497. On admet que pour toute suite $\un$, si $\limn u_{2n} = \ell$ et $\limn u_{2n+1} = \ell$, alors la suite $\un$ converge vers $\ell$ avec $\ell \in \R$. \\ On considère trois suites $\an$, $\bn$ et $\cn$ telles que \[ a_0 = 1, \quad b_0 = c_0 = 0 \] et pour tout $n \in \N$, \[ a_n + b_n + c_n = 1 \quad et \quad \begin{cases} a_{n+1} = \Frac{1}{2} b_n \\ \\ b_{n+1} = \Frac{1}{3} a_n \end{cases} \]
  1. Montrer que pour tout $n \in \N$, $a_{n+2} = \Frac{1}{6} a_n$. \\
  2. Montrer que pour tout $p \in \N$, $a_{2p} = \parenthese{\Frac{1}{6}}^{p}$, $a_{2p+1}=0$, $b_{2p} = 0$ et $b_{2p+1} = \Frac{1}{3} \parenthese{\Frac{1}{6}}^p$. \\
  3. Montrer que les suites $\an$, $\cn$ et $\bn$ convergent et donner leur limites.
Exercice 498. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant. \\
  1. Si $\un$ et $\vn$ sont des suites dont tous les termes sont positifs et si $\un$ diverge vers $+\infty$, alors la suite de terme général $u_n + v_n$ diverge vers $+\infty$. \\
  2. Si la suite $\un$ diverge vers $+\infty$, alors elle est croissante à partir d'un certain rang. \\
  3. Soient $\un$, $\vn$ et $\wn$ trois suites. \\ Si les suites $\un$ et $\vn$ convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$ et si pour tout $n \in \N$, $u_n \leqslant w_n \leqslant v_n$, alors $\wn$ converge et sa limite est comprise entre $\ell$ et $\ell'$. \\
  4. Si la suite $\un$ n'est pas majorée, alors elle diverge nécessairement vers $+\infty$.
Exercice 499. On considère le nombre $a : 0,63636363\hdots$ constitué d'une infinité de "63" après la virgule. On pose $a_n = 0,636363\hdots63$ constitué de $n$ fois le nombre 63 après la virgule. Ainsi $a_n$ contient $2n$ chiffres après la virgule. \\
  1. Exprimer $a_n$ en fonction de $n$. \\
  2. Montrer que $a = \Frac{7}{11}$.
Exercice 500. La suite $\un$ est définie sur $\N^*$ par $u_n = \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$. \\
    1. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $\Frac{1}{2\sqrt{n+1}} \leqslant u_n \leqslant \Frac{1}{2\sqrt{n}}$. \\
    2. En déduire $\limn u_n$. \\
  2. La suite $\vn$ est définie par $v_n = \Frac{u_1+u_2+\hdots+u_n}{\sqrt{n}}$. \\ Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis donner la limite de $\vn$.
Exercice 501. Soit $\un$ définie pour tout $n\geqslant 1$ par $u_n = 1 + \Frac{1}{\sqrt{2}}+\Frac{1}{\sqrt{3}} + \hdots + \Frac{1}{\sqrt{n}}$. \\
  1. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$, $u_n \geqslant \sqrt{n}$. \\
  2. En déduire $\limn u_n$.
Exercice 502. En utilisant une limite de suite, montrer que $0,9999\hdots = 1$.
Exercice 503. Calculer $\limn \parenthese{\Frac{1}{3^2}+\Frac{4}{3^4}+\hdots+\Frac{4^{n-1}}{3^{2n}}}$.