Approfondissement / Vers la prépa

Exercice 835. \\ Résoudre l'inéquation $\ln(\abs{x}) < 1$.
Exercice 836. \\
  1. Montrer que, pour tout $n \geqslant 1$, l'équation $e^x-x=n$ admet une unique solution notée $x_n \in \Rpe$. \\
  2. Montrer que pour tout $n\geqslant 1$, $x_n \geqslant \ln{n}$. \\ En déduire $\limn x_n$. \\
  3. Montrer que pour tout $x \in \R$, $e^x \geqslant 2x$ puis en déduire que $x_n \leqslant n$.
Exercice 837. On considère la fonction $f$ : $x \mapsto \Frac{(x+1)\ln(x+1)}{x}$.\\
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$, noté $\mathscr{D}_f$.\\
  2. On admet que $f$ est dérivable sur $\mathscr{D}_f$.\\
    1. Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.\\
    2. Etudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x \in \mathscr{D}_f$.\\ On pourra étudier une fonction auxiliaire $g$ : $x \mapsto x-\ln(x+1)$. \\
    3. En déduire le tableau de variations de $f$. \\
Exercice 838. \\ Soit $f$ définie par $f(x) = \ln(x+\sqrt{x^2+9})$. \\
  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$. \\
  2. Déterminer les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de $f$.
Exercice 839. \\ Montrer que la fonction $f$ : $x \mapsto \ln(\sqrt{x^2+1}+x)$ est une fonction impaire. \\ On justifiera avant que l'ensemble de définition de $f$ est $\R$.
Exercice 840. \\ On cherche à déterminer $\limn \parenthese{1+\frac{1}{n}}^n$. \\
  1. Démontrer que pour tout entier naturel $n > 0$, $\parenthese{1+\Frac{1}{n}}^n = \exp\parenthese{n \ln \parenthese{1+ \Frac{1}{n}}}$ où $\exp$ est la fonction exponentielle. \\
  2. Démontrer que $\limz \Frac{\ln(1+x)}{x} = 1$. \\
  3. En déduire $\limn n \ln\parenthese{1+\Frac{1}{n}}$. \\
  4. Conclure.
Exercice 841. \\ Soient $a$ et $b$ des réels $> 0$. Montrer que \[ \lim_{x\to 0} \Frac{a^x-b^x}{x} = \ln{a}-\ln{b} \] On pourra utiliser le fait que pour tout réel strictement positif $u$, $u^{x} = e^{x\ln{u}}$ et la limite en $0$ de $\Frac{e^x-1}{x}$.
Exercice 842. \\
  1. Montrer que $\limn \Frac{\ln(n+2^{-n})}{2n} = 0$. \\
  2. En déduire que $\limn \Frac{\ln(1+n2^n)}{2n} = \Frac{\ln{2}}{2}$.
Exercice 843. \\ Soit $f$ la fonction définie sur $\Rpe$ par $f(x) = \Frac{\ln{x}}{x}$. \\
  1. Calculer la dérivée première et seconde de $f$. \\
  2. On considère deux suites $\un$ et $\vn$ définies sur $\N^*$ par $u_1 = 1$, $v_1 = -1$ et pour tout $n \in \N^*$, \[u_{n+1} = v_n-(n+1)u_n, \;\; v_{n+1} = -(n+1)v_n \]
    1. Montrer que quel que soit le réel $x > 0$, quelque soit $n \in \N^*$, $f^{(n)}(x) = \Frac{u_n+v_n\ln{x}}{x^{n+1}}$. \\
    2. Déterminer $v_n$ en fonction de $n$. \\
    3. Montrer que pour tout $n \in \N^*$, $u_n = (-1)^{n+1} \times n! \parenthese{1+\Frac{1}{2} + \hdots + \Frac{1}{n}}$.
Exercice 844. Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_k$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par : \[ f_k(x) = \ln \left(e^x + kx\right) - x. \] On note $\mathcal{C}_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans le plan muni d’un repère orthonormé $(O ; \vect{i}, \vect{j})$. \\
  1. En étudiant le sens de variation d’une fonction convenablement choisie, démontrer que, pour tout réel positif $x$, \[ \ln(1 + x) \leqslant x. \]
  2. Calculer $f_k'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_k$. \\
  3. Montrer que, pour tout réel positif $x$, \[ f_k(x) = \ln \left( 1 + k \Frac{x}{e^x} \right). \] En déduire la limite de $f_k$ en $+\infty$. \\
    1. Dresser le tableau de variations de $f_k$. \\
    2. Montrer que, pour tout réel positif $x$, \[ f_k(x) \leqslant \Frac{k}{e}. \]
  5. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}_k$ à la courbe $\mathcal{C}_k$ au point $O$.
Exercice 845. \\ Pour tout réel $m > 0$, on définit la fonction $f_m$ sur $\R$ par $f_m(x) = \ln(e^x+me^{-x})$. \\ On note $\mathcal{C}_m$ sa courbe représentative. \\
  1. Etudier les variations de $f_m$ sur $\R$. \\
  2. Montrer que $\mathcal{C}_m$ admet deux asymptotes dont l'une et indépendante de $m$. \\
  3. Discuter et résoudre dans $\R$ l'équation $f_m(x)=0$.
Exercice 846. Soit $f_n$ la fonction définie sur $\Rp$ par $f_n(x) = \ln(1+x^n)+x-1$. \\
  1. Montrer que $f_n$ est strictement croissante sur $\Rp$. \\
  2. En déduire qu'il existe un unique $c_n \in [0,1]$ tel que $f_n(c_n)=0$.