Comparaisons de fonctions

Exercice 2324. Limites en $0^+$ : $x^{x^x}-1$ ; $x^{(x^x-1)}$ ; $x^{x^{(x-1)}}$ ;\\ \[ \sqrt{\Frac{1}{x}+\sqrt{\Frac{1}{x}+\sqrt{\Frac{1}{x}+\sqrt{\Frac{1}{x}}}}}-\sqrt{\Frac{1}{x}} \,;\qquad \Frac{\ln\Frac{1+x}{1-x}}{\arctan(1+x)-\arctan(1-x)}. \]
Exercice 2325. Soient $n\geqslant 2$ un entier et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une application de classe $\mathcal{C}^n$.\\ Pour tout entier $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, on note \[ M_k=\sup_{t\in\mathbb{R}}|f^{(k)}(t)|\in\mathbb{R}_+\cup\{+\infty\}. \] On suppose que $M_0$ et $M_n$ ont des valeurs finies.\\
  1. Montrer que pour tout entier $k$, $0 < k < n$, $M_k$ a une valeur finie.\\
  2. Montrer que si \[ \lim_{t\to +\infty}f(t)=\lim_{t\to +\infty}f^{(n)}(t)=0, \] alors \[ \forall k\in\{1,\dots,n-1\},\quad \lim_{t\to +\infty}f^{(k)}(t)=0. \]
  3. Montrer que pour tout entier $m$, $1\leqslant m\leqslant n$, et pour tout entier $k$, $0\leqslant k\leqslant m$, \[ M_k\leqslant 2^{k(m-k)/2}M_0^{1-k/m}M_m^{k/m}. \]
Exercice 2326. Déterminer un équivalent de $\ln\bigl(3-2\cos(u-1)\bigr)$ en $1$
Exercice 2327. Calculer\\
  1. $\lim_{x\to 0}\Frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}$.\\
  2. $\lim_{x\to 0}\Frac{\cos x-1}{\sqrt{1+x^2}-1}$.\\
  3. $\lim_{x\to 0}\Frac{a^x-b^x}{x}$, où $a,b>0$.\\
  4. $\lim_{x\to 1}\Frac{e^x-e}{\cos\Frac{\pi x}{2}}$.\\
  5. $\lim_{x\to 2}\Frac{\ln x-\ln 2}{\sin\Frac{\pi x}{2}}$.\\
  6. $\lim_{x\to 1}(2-x)^{\tan\Frac{\pi x}{2}}$.\\
  7. $\lim_{x\to 0}\Frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-x}$.\\
  8. $\lim_{x\to e}\Frac{\sqrt{x}-\sqrt{e}}{\ln x-1}$.
Exercice 2328. \\
  1. Montrer que $e^x-e^{x^2} \sim_0 x$. \\
  2. Montrer que $e^{x^2+x}-e^x \sim_0 x^2$. \\
  3. Soient $f,g$ telles que $\lim_a f=\lim_a g=0$, montrer que $e^{f(x)}-e^{g(x)} \sim_a f(x)-g(x)$. \\
  4. Déterminer un équivalent simple de $e^{\Frac{1}{x}}-e^{\Frac{1}{x+1}}$ quand $x \to +\infty$.
Exercice 2329. Si $f=o(g)$ et $g \to +\infty$, montrer que $e^f \in o(e^g)$
Exercice 2330. Soit $a > 0$ tel que $a \ne 1$.\\ Montrer que $f \sim g$ n'implique pas $a^f \sim a^g$
Exercice 2331. Montrer que $f_1 \sim_{+\infty} g_1$ et $f_2 \sim_{+\infty} g_2$ n'entraîne pas $f_1+f_2 \sim_{+\infty} g_1+g_2$
Exercice 2332. Soit $a > 0$ tel que $a \ne 1$.\\ Montrer que $f=O(g)$ n'implique pas $a^f \in O(a^g)$ et que $f=o(g)$ n'implique pas $a^f \in o(a^g)$
Exercice 2333. Montrer que $f=O(g)$ n’implique pas $a^f \in O(a^g)$ et que $f=o(g)$ n’implique pas $a^f \in o(a^g)$.\\
Exercice 2334. Si $f=o(g)$ et $g \to +\infty$, montrer que $e^f=o(e^g)$.
Exercice 2335. Montrer que $f \sim g$ n’implique pas $a^f \sim a^g$.
Exercice 2336. Si $f$ et $g$ sont strictement positives et infiniment grandes, montrer que $f \in O(g) \Rightarrow \ln(f) \in O(\ln(g))$.
Exercice 2337. Montrer que $f \sim g$ n’implique pas $\ln(f) \sim \ln(g)$ en général.
Exercice 2338. Déterminer un équivalent de $\arccos$ en $1^-$.
Exercice 2339. On pose $f(x)=\parenthese{2^x+3^x-12}^{\tan\parenthese{\frac{\pi x}{4}}}$.\\
  1. Montrer que $f$ est définie au voisinage de $2$.\\
  2. Déterminer l’éventuelle limite de $f$ en $2$.
Exercice 2340. Calculer $\lim_{x \to 0}(1-\cos x)\mathrm{cotan}x$.
Exercice 2341. Déterminer un équivalent de $f(u)=\ln\parenthese{3-2\cos(u-1)}$ en $1$.
Exercice 2342. \\
  1. Montrer que $e^x-e^{x^2}\sim x$ quand $x \to 0$.\\
  2. Montrer que $e^{x^2+x}-e^x\sim x^2$ quand $x \to 0$.\\
  3. Soit $f,g \in \mathcal{F}$ telles que $\lim_a f=\lim_a g=0$, montrer que $e^{f(x)}-e^{g(x)}\sim f(x)-g(x)$ quand $x \to a$.\\
  4. Déterminer un équivalent simple de $e^{\Frac{1}{x}}-e^{\Frac{1}{x+1}}$ quand $x \to +\infty$.