Séries alternées

Exercice 2501. Soit $(\alpha_n)$ une suiute décroissante de limite nulle et pour tout $n \in \N$, on pose $u_n = (-1)^n\alpha_n$. \\

1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge. \\ On travaillera sur les sommes partielles $S_n = \Sum_{k=0}^{n} {u_n}$ et $(S_{2n})$ et $(S_{2n+1})$. \\
2. Application : soit $\alpha \in \R$ et $u_n = \Frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}$. \\ Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$?

Exercice 2502. ESCP

\\ Soit $(b_p)_{p \in \N}$ une suite réelle décroissante et de limite nulle. Pour tout $n \in \N$, on pose $S_n=\Sum_{p=0}^{n}(-1)^pb_p$.\\

1. Montrer que les suites $(S_{2n})_{n \in \N}$ et $(S_{2n+1})_{n \in \N}$ sont monotones.\\
2. En déduire que la suite $(S_n)_{n \in \N}$ converge vers une limite $\ell$ et que\\ \[ \forall k \in \N,\quad \abs{\ell-S_k}\leqslant b_{k+1}. \]
3. Montrer que, pour tout $n \in \N$, le réel $\Sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^pb_p$ est bien défini.\\

\\ Soit $f:\R_+ \to \R$ une fonction positive, dérivable, décroissante, convexe et telle que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.\\ Pour tout $p \in \N$, on pose $a_p=f(p)-f(p+1)$.\\

1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, le nombre $u_n=\Sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^pf(p)$ est bien défini.\\
2. Pour tout $n \in \N$, montrer que\\ \[ \Sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^pa_p=2u_n-(-1)^{n+1}f(n+1). \]
3. Montrer que la suite $(a_p)_{p \in \N}$ est décroissante.\\

\\

1. Montrer que, pour tout $n \in \N$,\\ \[ \abs{\Sum_{p=n+1}^{+\infty}(-1)^pa_p}\leqslant f(n+1)-f(n+2). \]
2. En déduire que la série de terme général $u_n$ converge.