Exercices divers

Exercice 2447. ESCP

\\ Soit $f$ une fonction $T$-périodique, $T > 0$, dérivable sur $\R$.\\ On suppose que $f$ s’annule en $p$ points distincts $x_1 < x_2 < \cdots < x_p$ de $[0,T[$.\\ Montrer que $f'$ s’annule en au moins $p$ points distincts de $[0,T[$ et distincts de $x_1,\dots,x_p$.

Exercice 2448. HEC

\\ Soit $n \in \N^*$ et $P_n(X)=\Prod_{k=0}^{n}(X-k)$.\\

1. Montrer qu'il existe un unique réel $r_n \in ]0,1[$ tel que $P_n'(r_n)=0$.\\
2. Montrer que pour $x \not\in [0,n]$, $\Frac{P_n'(x)}{P_n(x)}=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{x-k}$.\\ En déduire $\limn r_n$.

Exercice 2449. ESCP

\\ On considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur $[0,1]$ telle que pour tout $x \in [0,1]$, $f''(x)\leqslant 0$.\\ Montrer que $\integrale{0}{1}{f(t)}{t}\leqslant f\parenthese{\Frac12}$. \\ On pourra commencer par le cas où $f'\parenthese{\Frac12}=0$.