Exercices divers

1. Montrer que \[ I(f) \] est un entier.\\
2. Soit \[ P \] un polynôme complexe. On pose \[ f_P(t)=P(e^{it}). \] On admet le théorème d'Alembert dans la question $2$ mais pas dans la question $3$.\\ Caractériser \[ I(f_P) \] à l'aide des zéros de \[ P. \]
3. En utilisant \[ I(P(re^{it})) \] pour \[ r \] variable, donner une preuve du théorème d'Alembert-Gauss.\\

1. Convergence de la série de terme général \[ a_n=\sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right). \]
2. En déduire la convergence de la série de terme général \[ b_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right). \] Indication : utiliser le binôme de Newton et l’imparité du sinus.

1. Ces deux sommes existent-elles ?\\
2. Déterminer un équivalent en $+\infty$ de ces deux sommes.

1. \[ \sum (-1)^n\left(\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right). \]
2. \[ \sum \sin\sqrt{1+n^2\pi^2}. \]
3. \[ \sum \sin(n!\pi \mathrm{e}). \]

1. Établir, pour tout réel $x$ tel que $|x| < 1$, les identités \[ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^{2n-1}}{1-x^{2n-1}}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n}{1-x^{2n}} \] et \[ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^{2^n}}{1-x^{2^{n+1}}}=\frac{x}{1-x}. \]
2. Soit $a$ et $b$ des réels strictement positifs. \\ Montrer que la famille \[ \left(\frac{1}{a^m+b^n}\right)_{m,n \geqslant 0} \] est sommable si, et seulement si, \[ a > 1 \quad \mathrm{et} \quad b > 1. \]

1. Établir la convergence et calculer \[ \sum_{n=1}^{+\infty}\sum_{m=1}^{+\infty}\frac{1}{m^2n+n^2m+2mn}. \]
2. Soit $(a_n)_{n \in \N}$ une suite de réels positifs ou nuls. \\
   1. On suppose que la série $\sum a_n$ converge. \\ Montrer que \[ \sum \frac{a_n}{n(n+1)} \] converge, puis que \[ \sum_{k=0}^{+\infty}k\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{a_n}{n(n+1)} \] existe et vaut \[ \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{+\infty}a_n. \]
   2. On suppose que la série \[ \sum \sqrt{na_n} \] converge et on pose, pour $n \geqslant 0$, \[ w_n=\sum_{p=n}^{+\infty}a_p^2. \] Montrer que \[ \sum \sqrt{\frac{w_n}{n}} \] converge. \]

1. Montrer que l'équation \[ x^3-x-1=0 \] admet une racine réelle $\alpha$ et deux racines complexes conjuguées $\beta$ et $\gamma$. \\ Montrer que, pour tout $n \geqslant 0$, \[ S_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n \] est entier. \\
2. Étudier les séries \[ \sum \frac{\sin\left(\alpha^n\frac{\pi}{2}\right)}{n} \quad \text{et} \quad \sum \frac{\cos\left(\alpha^n\frac{\pi}{2}\right)}{n}. \]

1. Montrer que, pour $n\to+\infty$, \[ \sum_{k=1}^{n}ka_k=o(n). \]
2. On suppose de plus qu'il existe $c > 0$ tel que, pour tout $n \geqslant 1$, \[ na_n > -c. \] Montrer que, pour $n\to+\infty$, \[ \sum_{k=1}^{n}k|a_k|\leqslant 2cn+o(n). \]
3. On pose, pour $n \geqslant 1$, \[ t_n=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{|a_k|}{k}. \] Justifier l'existence de $t_n$ et montrer que, pour $n\to+\infty$, \[ t_n=o\left(\frac{1}{n}\right). \]

1. $\alpha > 1$. \\
2. $\dfrac{1}{2} < \alpha \leqslant 1$. \\
3. $\alpha=\dfrac{1}{2}$. \\
4. $\alpha < \dfrac{1}{2}$. \\

1. 1. Donner un exemple de série divergente qui enveloppe un réel $A \in \R_+^*$ donné.\\
   2. Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.\\
   3. Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel.
2. Montrer que si la série de terme général $a_n$ enveloppe strictement $A$, alors elle est alternée à partir du rang $1$. Montrer que $A$ est compris entre deux sommes partielles successives.\\
3. Montrer que si la série de terme général $a_n\neq 0$ est alternée et que, pour tout $n \in \N$, \[ A-(a_0+\cdots+a_n) \] est non nul et du signe de $a_{n+1}$, alors elle enveloppe strictement $A$.\\
4. Montrer que si la série de terme général $a_n$ enveloppe $A$ et si la suite $(|a_n|)_{n \geqslant 1}$ est strictement décroissante, alors elle enveloppe strictement $A$.

1. Montrer que si ces trois hypothèses sont vérifiées, alors $T$ est régulière.\\
2. On suppose à partir de maintenant que $T$ est régulière. Montrer que $(H_2)$ et $(H_3)$ sont vérifiées.\\
3. Soit $u$ une suite telle que \[ \Sum |u_n| \] diverge. Montrer qu'il existe une suite $v$ de limite nulle telle que \[ \Sum u_nv_n \] diverge.\\
4. En déduire, par l'absurde, la première partie de $(H_1)$.

Exercice 2982. ENS

1. Montrer que, pour tout $x \geqslant 1$, \[ f(x)=\sum_{n=1}^{E(x)}\mu(n)\widehat{f}\left(\frac{x}{n}\right), \] où $\mu$ désigne la fonction de Möbius. \\
2. On suppose que, lorsque $x\to +\infty$, \[ \widehat{f}(x)=Ax(\ln x)^2+Bx\ln x+Cx+O(x^\beta) \] avec $\beta \in ]0,1[$ et $A,B,C\in\R$. \\ Montrer que \[ f(x)=2Ax\ln x+O(x). \]

1. Trouver un équivalent simple de $F(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \\
2. Démontrer que lorsque $x$ tend vers $+\infty$, \[ F(x)=x\ln x+(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x}). \]

1. Soit $n\in\N$. Montrer que l’équation $\ln(x)=\arctan(x)+n\pi$ admet une unique solution dans $]0,+\infty[$, notée $x_n$. Quelle est la limite de $(x_n)$ ?\\
2. Montrer que la série de terme général $\Frac{1}{x_n}$ est convergente.

Exercice 2990. ENS Ulm

1. Montrer que \[ b_{2n}\sim \sqrt{\Frac{n}{2}}. \] En déduire un équivalent de $b_n$ lorsque $n\to+\infty$.\\
2. On pose \[ \lambda_n=b_n+b_{n+1}. \] Montrer que $(\lambda_n)_{n \in \N^*}$ converge vers une limite strictement négative.\\
3. Quelle est la nature de la série de terme général \[ \Frac{1}{b_n}\; ? \]

1. Montrer que \[ \Sum_{n \geqslant 1}\Frac{a_n}{n!} \] converge.\\
2. On suppose qu'à partir d'un certain rang, \[ a_n=n-1. \] Montrer que la somme \[ \Sum_{n \geqslant 1}\Frac{a_n}{n!} \] est rationnelle.\\
3. Soit $t \in [-1,1]$, non nul. Montrer qu'il existe $\alpha$ irrationnel, dont on précisera la valeur, tel que \[ \lim_{n\to+\infty}\sin(2\pi n!\alpha)=t. \]

1. Montrer que la série de terme général \[ a_n=\integrale{n}{n+1}{f(t)}{t} \] diverge, et que \[ a_n\sim \Frac{e^p-1}{p}f(n). \]
2. En déduire que \[ \Sum_{k=1}^{n}f(k)\sim \Frac{p}{e^p-1}\integrale{1}{n+1}{f(t)}{t}. \]
3. Donner un équivalent de \[ S_n=\Sum_{k=1}^{n}2^k\ln(k) \] lorsque $n\to+\infty$.

1. Prouver que $f$ est une bijection.\\
2. Soit $u_0 \in \R$ et \[ \forall n \in \N,\;\; u_{n+1}=f^{-1}(u_n). \] Étudier la nature de la série $\Sum u_n$.

1. Montrer que $\Sum f(n)$ converge.\\
2. On note \[ R_n=\Sum_{k=n}^{+\infty} f(k). \] Donner un équivalent de $(R_n)_n$.

1. Soit $A \in T$. Déterminer les puissances de $A$.\\
2. Soit $n \in \N$, on note \[ B_n=\Sum_{k=0}^{n}\frac{A^k}{k!}. \] Montrer que la suite de matrices $(B_n)_n$ converge dans $\mathcal{M}_2(\R)$, on note $\exp(A)$ la limite de cette suite.\\
3. L'application $\exp:T \to T^+$ est-elle injective ? Surjective ?

1. Déterminer en fonction de $\alpha$ la nature de la série $\Sum u_n$.\\
2. Déterminer en fonction de $\alpha$ la nature de la série $\Sum (-1)^n u_n$

1. Montrer que la suite $(\abs{z_n})$ est convergente.\\
2. Montrer que la suite $z$ diverge.

Exercice 3002. X

1. Montrer que si $\Sum u_n$ converge alors $f(1)=0$.\\
2. On suppose de plus que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que $\Sum u_n$ converge si et seulement si $f(1)=0$. Exprimer dans ce cas la somme à l'aide d'une intégrale.\\
3. On suppose ici que $f(0)=0$ et \[ \forall x \in ]0,1],\;\; f(x)=x\ln(x). \] Montrer que $f$ est continue sur $[0,1]$, déterminer la nature de $\Sum u_n$ et calculer sa somme.

Exercice 3005. ENS Cachan MP

1. Montrer que $F(x)$ est défini pour tout $x > -2$.\\
2. Montrer qu'alors \[ F(x)=\Sum_{k=1}^{+\infty}\frac{2H_k}{(k+1)(k+1+x)}. \]
3. Calculer $F(1)$.

1. Montrer que :\\ \[ \forall p \in \N^*,\;\; \Sum_{n=1}^{p} u_n v_n=\left(\Sum_{n=1}^{p-1}(u_n-u_{n+1})V_n\right)+u_pV_p. \]
2. On suppose que :\\ \[ u_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0, \] \[ \Sum |u_n-u_{n+1}| \;\; \mathrm{converge}, \] \[ (V_n)_n \;\; \mathrm{born\acute{e}e}. \] Montrer que $\Sum (u_n-u_{n+1})V_n$ converge, en d\'eduire que $\Sum (u_n v_n)$ converge.\\
3. Application. \'Etudier la nature des s\'eries :\\ \[ \Sum \frac{\cos(n)}{n},\qquad \Sum \frac{\cos^2(n)}{n},\qquad \Sum \frac{|\cos(n)|}{n},\qquad \Sum_{n \geqslant 1}\frac{f(n)}{n^2} \] o\`u $f:\N^* \to \N^*$ est une injection.

1. Prouver que : \[ w_n=-1+\left(n+\frac12\right)\ln\left(1+\frac{1}{n}\right). \]
2. \'Etablir la convergence absolue de la s\'erie $\Sum w_n$, en d\'eduire la convergence de la suite de terme g\'en\'eral $\ln(u_n)$ puis de la suite de terme g\'en\'eral $(u_n)$.\\
3. Posons $a=\lim u_n$. Montrer que \[ n! \sim \frac{1}{a}n^{n+\frac12}e^{-n}. \]
4. D\'eterminer la constante $a$ \`a l'aide des int\'egrales de Wallis \[ W_n=\integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\cos^n(t)}{t}, \] dont on rappelle que \[ W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}} \] et d'autre part \[ W_{2n}=\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^2}\frac{\pi}{2}. \]

1. Prouver qu'il existe $\gamma \in \R$ tel que : \[ \Sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\ln(N)+\gamma+\frac{1}{2N}+o\left(\frac{1}{N}\right). \]
2. Soit $\theta \in \R_+^*$ et \[ \forall k \geqslant 1,\;\; u_k=\frac{k!}{\Prod_{i=1}^{k}(\theta+i)}. \] \'Etudier la nature de la s\'erie de terme g\'en\'eral $u_k$.

1. Montrer que $(a_n)$ est une suite décroissante positive convergeant vers $0$.\\
2. Montrer que $\Sum a_n$ diverge.

1. \[ u_n=\frac{1}{n^\alpha}\Sum_{k=1}^{n}\sqrt[3]{\ln(k)} \qquad \mathrm{pour}\;\; n \geqslant 1. \]
2. \[ u_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}} \qquad \mathrm{pour}\;\; n \geqslant 2 \;\; \mathrm{et}\;\; \alpha > 0. \]
3. \[ u_n=\frac{(-1)^n n^{-\alpha}}{\sqrt{n}+(-1)^n} \qquad \mathrm{pour}\;\; n \geqslant 2. \] Déterminer la nature de la série $\Sum u_n$.

1. Soit $n \in \N^*$.\\
   1. Calculer $s_n=\Sum_{\substack{d=1\\ d\mid n}}^{n}\mu(d)$.\\
   2. En déduire : $\Sum_{k=1}^{+\infty}\Frac{\mu(k)}{k^2}=\Frac{6}{\pi^2}$.\\
2. Pour tout $n \in \N^*$, on pose\\ \[ q_n=\mathrm{Card}\Big\{(u,v)\in\{1,\ldots,n\}^2\mid u\wedge v=1\Big\}. \] Montrer la formule :\\ \[ q_n=\Sum_{k=1}^{+\infty}\mu(k)\left\lfloor\Frac{n}{k}\right\rfloor^{2}. \]
3. En déduire que : $\limn \Frac{q_n}{n^2}=\Frac{6}{\pi^2}$.

1. Montrer qu’il existe une constante universelle $C$ telle que, pour toute série convergente à termes positifs $\Sum a_n$, on ait\\ \[ \Sum_{n=1}^{+\infty}\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}\leqslant C\Sum_{n=1}^{+\infty}a_n. \]
2. Quelle est la plus petite valeur possible de $C$ ?

1. On suppose que $m=f'(\ell)$ vaut $1$ et $f''(\ell)\neq 0$.\\
   1. Calculer $\limn\Big(\Frac{1}{\theta_{n+1}}-\Frac{1}{\theta_n}\Big)$.\\
   2. Déterminer un équivalent de $\theta_n$.\\
2. On suppose que $0 < m=f'(\ell) < 1$.\\
   1. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0}\theta_n$ est convergente.\\
   2. Montrer que la série $\Sum_{n \geqslant 0}\ln\!\Big(\Frac{1}{m}\,\Frac{\theta_{n+1}}{\theta_n}\Big)$ est convergente.\\
   3. En déduire qu’il existe $c \neq 0$ tel que $\theta_n \sim c\,m^n$.\\

1. Montrer que pour tout $x\in\R$, il existe une bijection $\sigma:\N\to\N$ telle que $$ x=\Sum_{n=0}^{+\infty} u_{\sigma(n)}. $$
2. Montrer qu'il existe une bijection $\sigma:\N\to\N$ telle que la série de terme général $u_{\sigma(n)}$ diverge.

1. Soit $u_0 \in [0,\pi]$, puis $u_{n+1}=1-\cos(u_n)$. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0}u_n$.\\
2. Étudier la suite $v$, avec $v_0>0$ et $v_{n+1}=\sqrt{1+v_n}$.\\
3. Montrer que la suite $v$ converge. On note $\ell$ la limite.\\
4. Déterminer la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 0}(v_n-\ell)$.\\
5. On pose $w_0=\Frac{\pi}{2}$ et $w_{n+1}=\sin(w_n)$.\\
   1. Déterminer un équivalent de $w_n$.\\
   2. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0} w_n^{a}$, avec $a>0$.\\
6. On prend $a_0>0$, puis $a_{n+1}=1-e^{-a_n}$.\\
   1. Étudier la suite $a$.\\
   2. Déterminer la nature de $\Sum_{n \geqslant 0} a_n^{\alpha}$, avec $\alpha>0$.

1. On suppose $u$ à termes positifs. Montrer que $E(u)$ est soit vide, soit de la forme $[p_0,+\infty[ \cap \N$.\\
2. Donner un exemple de suite $u$ telle que $E(u)$ soit vide et, pour tout entier $p_0 \geqslant 1$, donner un exemple de suite $u$ telle que $E(u)= [p_0,+\infty[ \cap \N$.\\
3. Déterminer $E(u)$ dans les cas suivants :\\
   1. $\forall n \in \N^*,\;\; u_n=\Frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$.\\
   2. $\forall n \in \N^*,\;\; u_n=\ln\left(1+\Frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/3}}\right)$.\\

1. Montrer que si $\Sum x_n$ converge, alors $\Sum y_n$ converge également. Montrer que la réciproque est fausse.\\
2. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $\Sum x_k$ est à termes positifs.\\
3. Montrer que la réciproque est vraie lorsque $(x_n)$ tend vers $0$ et que la suite $(\varphi(n)-\varphi(n-1))$ est majorée.\\
4. Montrer que la réciproque est vraie lorsqu'à l'intérieur de chaque paquet (pour $k\in[\varphi(n-1)+1,\varphi(n)]$), tous les $x_k$ sont réels et de même signe.\\

1. Soient $(x_0,\dots,x_n)$ et $(y_0,\dots,y_n)$ dans $\C^{n+1}$.\\ Simplifier l’expression $\Sum_{k=1}^{n}x_k(y_k-y_{k-1})-\Sum_{k=0}^{n-1}(x_k-x_{k+1})y_k$.\\
2. On pose $S_0=0$, puis $S_n=\Sum_{k=1}^{n}\cos k$.\\ Montrer que la suite $(S_n)_{n\in\N}$ est bornée.\\
3. En déduire la nature de la série $\Sum_{n=1}^{+\infty}\Frac{\cos n}{n^\alpha}$

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \geqslant 1}$ converge. On note $\ell$ la limite.\\
2. Donner la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}(u_n-\ell)$.\\
3. Étudier la nature de la série $\Sum_{n \geqslant 1}(-1)^n\abs{u_n-\ell}$