Convexité

1. Appliquer l’inégalité de convexité pour la fonction carré, à des réels $(x_1,\dots,x_n)$ quelconques, avec $\lambda_1=\cdots=\lambda_n=\frac{1}{n}$.\\
2. Étudier les variations et la convexité de $f(x)=2x^3-9x^2+12x$ sur $\mathbb{R}$. Tracer la courbe.\\
3. Montrer que la fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}_+^*$. En déduire que $\forall x > 0$, $\ln(x)\leqslant x-1$. En déduire aussi \[ \forall (a,b)\in (\mathbb{R}_+^*)^2,\quad \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geqslant \frac{1}{2}\ln(ab) \]

Exercice 2975. Moyenne arithmétique et géométrique

1. Donner le domaine de définition $D_f$ de $f$.\\
2. Étudier la convexité de $f$ sur $D_f$.\\
3. En déduire que pour tout $x$ et $y$ dans $D_f$, $\ln\left(\dfrac{x+y}{2}\right) \geqslant \sqrt{\ln(x)\ln(y)}$.

1. $\forall x \in [1,e], \dfrac{x-1}{e-1}\leqslant \ln(x)$.\\
2. $\forall x \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right[, x\leqslant \tan(x)$.\\
3. $\forall x \in \left]-\dfrac{\pi}{2},0\right], x\geqslant \tan(x)$.\\
4. $\forall x \in \left[0,\dfrac{\pi}{4}\right], \tan(x)\leqslant \dfrac{4}{\pi}x$.

1. Montrer que pour tout $x,y > 0$, \[ \frac{f(x+y)}{x+y} \leqslant \frac{f(x)}{x} \]
2. En déduire que $f$ est sous-additive, c’est-à-dire que pour tout $x,y \geqslant 0$, \[ f(x+y)\leqslant f(x)+f(y) \]
3. En déduire que $(x+y)^a \leqslant x^a+y^a$ pour tout $x,y \geqslant 0$ et $a \in [0,1]$

1. Montrer que : \[ \forall (x_1,\dots,x_n)\in (\mathbb{R}_+^*)^n,\; (x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}\leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
2. Montrer que pour tout $(a,b,c)\in \mathbb{R}_+^3$ : \[ a^3+b^3+c^3\geqslant 3abc \quad \mathrm{et} \quad (a+b+c)^3\geqslant 27abc. \]
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ (n!)^{1/n}\leqslant \Frac{n+1}{2}. \]

1. Montrer que $f$ est croissante, puis que $F$ est une primitive de $f$.\\
2. Montrer que $F$ est convexe.

1. On suppose $f$ de limite nulle en $+\infty$. Démontrer que $f$ est positive.\\
2. On suppose que $f$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$. Quelle est la position de $f$ par rapport à cette asymptote ?

1. Montrer que $\dfrac{f(x)}{x}$ admet une limite $\ell$ dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.\\
2. Montrer que si $\ell\leqslant0$, alors $f$ est décroissante.\\
3. Montrer que si $\ell$ est finie, alors $f(x)-\ell x$ admet une limite dans $\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.

1. Montrer que si $f$ admet un minimum local, il s'agit d'un minimum global. Que peut-on dire de l'ensemble des points où ce minimum est atteint ?\\
2. On suppose que $f$ est dérivable et qu'il existe un réel $a$ tel que \[ f'(a)=0. \] Montrer que $f$ admet en $a$ un minimum global.\\
3. On suppose maintenant que $f$ est deux fois dérivable et qu'il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que \[ f''(x)\geqslant \alpha > 0 \] pour tout $x$. Montrer que $f$ possède un minimum unique.\\

1. On suppose $f$ de limite nulle en $+\infty$. Démontrer que $f$ est positive.\\
2. On suppose que $f$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$. Quelle est la position de $f$ par rapport à cette asymptote ?

1. Montrer qu’il existe $\eta \in ]0,1[$ tel que $f_{|]0,\eta]}$ soit monotone.\\
2. Montrer que $f(0^+)$ existe et est finie.

1. $\forall x,y \in \R\quad f\Big(\Frac{x+y}{2}\Big) \leqslant \Frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big)$.\\
2. $\forall x,y \in \R\quad \exists \alpha \in ]0,1[\quad f(\alpha x+(1-\alpha)y) \leqslant \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$.

1. On définit $g : \R_+^\star \to \R_+$ par $g(x)=\Frac{f(x)}{x}$. Si $g$ est décroissante, montrer que $f$ est sous-additive.\\
2. Si $f(0)=0$ et si $f$ est concave, montrer que $f$ est sous-additive.

1. Montrer que $f$ est dérivable à gauche et à droite en tout point. Montrer que\\ \[ \forall x \in I,\; f'_g(x)\leqslant f'_d(x). \]
2. Déduire de la question précédente que $f$ est continue sur $I$.\\
3. Si l'intervalle $I$ n'était pas supposé ouvert, la continuité de $f$ aux extrémités de $I$ serait-elle encore assurée ?\\
4. Donner un exemple de fonction de $\R$ dans $\R$ convexe et non dérivable.

1. On suppose $f\xrightarrow[x\to +\infty]{}0$.\\ Montrer que $f$ est positive.\\
2. On suppose que $f$ présente une asymptote en $+\infty$.\\ Etudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Exercice 3016. Inégalité de Jensen

1. Justifier l'existence de $M$.\\
2. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave.\\
3. En déduire : $\forall x \in [a,b],\;\; \abs{f(x)}\leqslant Mc(x)$.

1. Étudier les variations de $f$ et donner les limites de $f$ en $+\infty$ et $-\infty$.\\
2. Justifier que la suite $(u_n)$ est bien définie.\\
3. Montrer qu’il existe un unique réel $\alpha$ tel que $f(\alpha)=0$. De plus, $\alpha\in[-2,-1]$.\\
4. Prouver que $f$ est convexe sur $\R$. En déduire que pour tous réels $x$ et $t$, $f(x)+(t-x)f'(x)\leqslant f(t)$.\\
5. En déduire que $\forall n\in\N$, $\alpha\leqslant u_{n+1}$ puis pour tout entier naturel $n$, $\alpha\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant -1$. En déduire que la suite converge et préciser sa limite.

1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $(x_1,\dots,x_{2^n}) \in I^{2^n}$, on a \[ f\left(\frac{1}{2^n}\Sum_{k=1}^{2^n} x_k\right)\leqslant \frac{1}{2^n}\Sum_{k=1}^{2^n} f(x_k) \]
2. Montrer que pour tout $(x,y) \in I^2$, et pour tout $(p,n) \in (\mathbb{N}^*)^2$ avec $p < 2^n$, \[ f\left(\frac{px+(2^n-p)y}{2^n}\right)\leqslant \frac{p}{2^n}f(x)+\frac{2^n-p}{2^n}f(y) \]
3. Montrer que l’ensemble $E$ défini par \[ E=\left\{\frac{p}{2^n}\; \mathrm{tq}\; (p,n)\in (\mathbb{N}^*)^2,\ p < 2^n\right\} \] est dense dans $]0,1[$.\\
4. En déduire que $f$ est convexe sur $I$.

1. Déterminer les valeurs de $x\in ]-1,1[$ pour lesquelles $\psi_{\beta,h}''(x)\leqslant 0$.
2. Montrer que si $h > 0$, la fonction $\psi_{\beta,h}$ atteint son maximum en un unique point $x^*(\beta,h)\in ]0,1[$.
3. Étudier le cas $h=0$ selon que $0 < \beta\leqslant \frac{1}{2}$ ou $\beta > \frac{1}{2}$.

1. Montrer que $\ell=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ existe.\\
2. On suppose que $\ell\in\mathbb{R}$. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}f(x)-\ell x$ existe

1. 1. Montrer qu'il existe $a,b$ tels que $a < b$ et $x \in ]a,b[$ tels que \[ f(x) > f(a)+\Frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). \]
   2. Soit $g$ définie sur $[a,b]$ par \[ g(t)=f(t)-f(a)-\Frac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a). \]
      1. Montrer que $g$ admet un maximum $M$ sur $[a,b]$, atteint en un point $y \in ]a,b[$.\\
      2. Soit $\varepsilon > 0$, aussi grand que possible, tel que $[y-\varepsilon,y+\varepsilon]\subset [a,b]$. Montrer que l'on a : \[ \integrale{y-\varepsilon}{y+\varepsilon}{f(t)}{t} < 2\varepsilon f(y). \]
2. Conclure.

1. Soient $x,y>0$.\\ Montrer que $xy \leqslant \Frac{x^p}{p}+\Frac{y^q}{q}$.\\
2. Soient $a_1,\ldots,a_n>0$ et $b_1,\ldots,b_n>0$.\\ Montrer : $\Sum_{k=1}^{n} a_k b_k \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^q}^{\Frac{1}{q}}$.\\
3. On suppose que $p>1$.\\ Montrer : $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p}^{\Frac{1}{p}}\leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}+\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^p}^{\Frac{1}{p}}$.

1. On rappelle que $\ln$ est concave : que cela signifie-t-il ?\\
2. Montrer que si $f$ est log-convexe, alors $f$ est convexe.\\
3. Pour tout réel $c > 0$, on note $\varphi_c : I \to \mathbb{R}_+^*$, $x \mapsto f(x)c^x$.\\
   1. Montrer que si $f$ est log-convexe, alors pour tout réel $c > 0$, $\varphi_c$ est convexe.\\
   2. Soit $c > 0$. On suppose que $\varphi_c$ est convexe. Montrer que pour tout $a,b \in I$ et tout $\lambda \in [0,1]$, il existe un réel $\alpha$ tel que \[ f(\lambda a+(1-\lambda)b)\leqslant \lambda f(a)\alpha^{1-\lambda}+(1-\lambda)f(b)\alpha^{-\lambda} \]
   3. Montrer que si $\varphi_c$ est convexe pour tout $c > 0$, alors $f$ est log-convexe.
4. Soient $f,g : I \to \mathbb{R}_+^*$. Montrer que si $f$ et $g$ sont log-convexes, alors $f+g$ est log-convexe.

1. Montrer que $f^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$.\\
2. Soient $x,y \in Z$ tels que $x < y$. Montrer que pour tout $z \in [x,y]$, $f^2(z)=0$. En déduire que $Z$ est un intervalle.\\
3. 1. On suppose que $Z=\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est affine.\\
   2. On suppose que $Z=\varnothing$. Montrer que $f$ est affine.\\
   3. On suppose qu’il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $Z=\{x_0\}$.\\
      • Montrer que $f$ est affine sur $]-\infty,x_0[$ et sur $]x_0,+\infty[$.\\
      • En utilisant la continuité de $f$ et de $f'$, montrer que $f$ est affine sur $\mathbb{R}$.\\
4. On suppose maintenant que $Z \neq \mathbb{R}$ et que $Z$ contient au moins deux valeurs distinctes. Montrer que $Z$ est soit majoré, soit minoré.\\
5. En supposant $Z$ majoré, montrer que $Z$ admet une borne supérieure $s$.\\
6. 1. Montrer que $s \in Z$.\\
   2. Montrer que $f$ est affine sur $]s,+\infty[$.\\
   3. Montrer qu’il existe $t$ tel que $f$ est nulle sur $[t,s]$.\\
   4. Montrer que $f$ est nulle sur $]s,+\infty[$.\\
   5. Conclure.

1. On considère l’application $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par \[ \varphi(t)=\frac{f(t)-f(1)}{t-1} \]
   1. Montrer que $\varphi(t)$ tend vers une limite finie ou vers $+\infty$ quand $t\to +\infty$.\\
   2. En déduire qu’il en est de même pour $u$.
2. On suppose que la limite de $u$ en $+\infty$ est finie, notée $a$.\\ On note alors $g_a$ l’application définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par \[ g_a(t)=f(t)-at \]
   1. Montrer que $g_a$ est convexe.\\
   2. Supposons qu’il existe $x < y$ tels que $g_a(x) < g_a(y)$.\\ Notons \[ p_y(t)=\frac{g_a(t)-g_a(y)}{t-y} \] Montrer que cela conduit à une contradiction, puis en déduire que $g_a$ est décroissante.\\
   3. Montrer que si $\lim_{t\to +\infty} g_a(t) \neq -\infty$, alors $C$ admet une asymptote oblique en $+\infty$.\\
   4. Sous la même hypothèse, préciser la position relative de $C$ et de son asymptote.

1. Soit $f:E\to\mathbb{R}$ une fonction positivement homogène de degré $1$.\\
   1. Montrer que $f$ est convexe sur $E$ si et seulement si \[ \forall (x,y)\in E^2,\quad f(x+y)\leqslant f(x)+f(y). \]
   2. Si $f$ est à valeurs positives, montrer que $f$ est convexe sur $E$ si et seulement si l'ensemble \[ C=\{x\in E\mid f(x)\leqslant 1\} \] est convexe.\\
   3. Si $f$ est convexe, à valeurs positives et si elle est paire, montrer que $f$ est une semi-norme.\\
   4. On suppose ici que $E$ est de dimension finie. Soit $\Omega$ un ouvert borné non vide de $E$.\\ Montrer qu'il existe une norme $N$ sur $E$ telle que $\Omega=B_N(0,1)=\{x\in E\mid N(x)<1\}$ si et seulement si $\Omega$ est convexe et admet $0$ comme centre de symétrie.
2. Soit $\alpha\geqslant 1$. Montrer, sans utiliser l'inégalité de Minkowski, que l'application \[ N_\alpha:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^+,\quad (x_1,\dots,x_n)\mapsto (|x_1|^\alpha+\cdots+|x_n|^\alpha)^{1/\alpha} \] définit une norme sur $\mathbb{R}^n$

1. Soient $I,J,K$ trois intervalles de $\mathbb{R}$ et $f:I\to J$, $g:I\to K$ deux homéomorphismes.\\ On dit que la moyenne selon $f$ est inférieure à la moyenne selon $g$ si, pour toute famille finie de couples $(x_i,\alpha_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ de $I\times\mathbb{R}_+^*$, la moyenne selon $f$ de cette famille est inférieure à la moyenne selon $g$ de cette famille.\\ Si $f$ est croissante, montrer que la moyenne selon $f$ est inférieure à la moyenne selon $g$ si et seulement si $h=f\circ g^{-1}$ est concave.\\ Que dire si $f$ est décroissante ?\\
2. Pour $\alpha\geqslant 1$, on rappelle que l'application \[ N_\alpha:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\quad (x_1,\dots,x_n)\mapsto \left(|x_1|^\alpha+\cdots+|x_n|^\alpha\right)^{1/\alpha} \] définit une norme sur $\mathbb{R}^n$.\\ Soient $\alpha,\beta\geqslant 1$ tels que $\alpha\leqslant \beta$.\\ Montrer que \[ \forall x\in\mathbb{R}^n,\quad N_\beta(x)\leqslant N_\alpha(x)\leqslant n^{1/\alpha-1/\beta}N_\beta(x). \]

1. Considérons l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ par \[ \varphi(t)=\Frac{f(t)-f(1)}{t-1}. \]
   1. Montrer que $\varphi(t)$ tend vers une limite finie, ou vers $+\infty$, quand $t$ tend vers $+\infty$.\\
   2. En déduire qu'il en est de même pour $u$, c'est-à-dire que $u(t)$ tend vers une limite finie, ou vers $+\infty$, quand $t$ tend vers $+\infty$.
2. On suppose ici que la limite de $u$ en $+\infty$ est finie. On la note $a$. Notons de plus $g_a$ l'application de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ définie par : \[ g_a(t)=f(t)-at. \]
   1. Montrer que $g_a$ est convexe.\\
   2. Supposons qu'il existe $x$ et $y$ tels que $x < y$ et $g_a(x) < g_a(y)$. Notons de plus \[ p_y(t)=\Frac{g_a(t)-g_a(y)}{t-y}. \]
      1. Montrer que $p_y(t)$ admet une limite positive quand $t$ tend vers $+\infty$, ou tend vers $+\infty$.\\
      2. Montrer qu'il existe $k > 0$, tel que, pour $t$ assez grand, \[ \Frac{g_a(t)}{t}\geqslant k. \]
      3. En déduire que l'hypothèse faite est fausse et que $g_a$ est décroissante.
   3. Montrer que si \[ \lim_{t\to+\infty}g_a(t)\neq -\infty, \] alors $C$ admet une asymptote en $+\infty$.\\
   4. Supposons \[ \lim_{t\to+\infty}g_a(t)\neq -\infty, \] que peut-on dire de la position relative de $C$ et de son asymptote ?

1. Soit $T:\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})\to \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ une application linéaire vérifiant : pour toute $f\in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})$ et tout $x_0\in ]0,1[$ tel que $f$ possède un maximum local en $x_0$, on a $T(f)(x_0)=0$.\\ Montrer qu'il existe $\varphi\in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ telle que pour tout $f\in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})$, $T(f)=\varphi f''$.\\
2. On remplace dans la question 1 l'espace $\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})$ par $\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$.\\ Montrer que $T=0$.

1. Soit $a \in \R$. Prouver que $f$ est dérivable à droite en $a$, en notant $f'(a^+)$ cette dérivée, et que : \[ \forall x \in \R,\quad f(x)\geqslant f(a)+f'(a^+)(x-a) \]
2. Prouver que $f$ est lipschitzienne sur tout segment de $\R$. Et sur $\R$ ?
3. Prouver l’inégalité de Jensen intégrale : pour toute $g$ continue sur $[0,1]$ : \[ f\left(\integrale{0}{1}{g(x)}{x}\right)\leqslant \integrale{0}{1}{f(g(x))}{x} \]
4. Prouver qu’il existe une famille $(a_j)_{j\in\N}$ dénombrable de fonctions affines telle que : \[ \forall x \in \R,\quad f(x)=\sup_{j\in\N}a_j(x) \]

Exercice 3054. X MP

1. On suppose que, pour tout $(x,y)\in I^2$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}\leqslant \Frac{f(x)+f(y)}{2}. \] Montrer que $f$ est convexe.\\
2. On suppose qu'il existe un réel $M$ tel que\\ \[ \forall (x,y)\in \R^2,\qquad \abs{f(x+y)+f(x-y)-2f(x)}\leqslant My^2. \] Montrer que $f$ est dérivable.\\ On pourra considérer $x\mapsto f(x)\pm \Frac{M}{2}x^2$.

1. Justifier l’existence du réel \[ M_a=\max\{ |f''(t)| \; \mathrm{tq} \; t \in [0,a]\} \]
2. Pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, on considère la fonction \[ g_\lambda(x)=f(x)-\big(f(0)+f'(0)x\big)-\lambda x^2 \] Montrer qu’il existe un unique réel $\lambda$ tel que \[ g_\lambda(0)=g'_\lambda(0)=g_\lambda(a)=0 \]
3. On pose pour la suite $\lambda$ comme à la question précédente. Montrer qu’il existe $c \in [0,a]$ tel que \[ g''_\lambda(c)=0 \]
4. En déduire une expression de $f(a)$ en fonction notamment de $f''(c)$.\\
5. Montrer que pour tout $t \in [0,a]$, \[ |f(t)-(f(0)+f'(0)t)|\leqslant \frac{M_a}{2}t^2 \]

1. Montrer, notamment par comparaison série-intégrale, que la suite $\left(\Sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est convergente.\\
2. On pose pour tout $n \geqslant 1$, \[ u_n=\Sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \quad \mathrm{et} \quad v_n=\Sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n+1) \]
   1. Montrer que \[ \frac{1}{n+1}\leqslant \ln\left(\frac{n+1}{n}\right)\leqslant \frac{1}{n} \] pour tout $n \geqslant 1$.\\
   2. Justifier que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.\\
   3. La suite $(u_n)$ est-elle convergente ?

1. Minorer la fonction $-\ln$ par une fonction affine s’annulant en $1$. Faire de même avec $\exp$ avec une fonction affine qui s’annule en $-1$.\\
2. Soit $x > 0$.\\
   1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que \[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^x \geqslant 1+\frac{x}{n+1} \]
   2. Montrer que la suite $(\Pi_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ est croissante.
3. Soit $x > 0$.\\
   1. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, exprimer $\ln(\Pi_n(x))$ en fonction notamment de $\Sum_{k=1}^n \ln\left(1+\frac{x}{k}\right)$.\\
   2. On admet qu’il existe $A \in \mathbb{R}_+$ tel que \[ \ln(1+t)\geqslant t-A\frac{t^2}{2} \] pour tout $t \geqslant 0$. En déduire que la suite $(\Pi_n(x))_{n \in \mathbb{N}^*}$ est majorée, puis qu’elle converge.
4. On pose, pour tout $x > 0$, \[ \Gamma(x)=\lim_{n\to +\infty} \Pi_n(x) \] Justifier que $\Gamma(x) > 0$ pour tout $x > 0$.\\
5. 1. Montrer que $\Gamma(1)=1$.\\
   2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, \[ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) \]
   3. En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, \[ \Gamma(n)=(n-1)! \]
6. 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $\ln \circ \Pi_n$ est convexe.\\
   2. En déduire que $\ln \circ \Gamma$ est convexe.