Convexité

Exercice 2385. Asymptote d'une fonction convexe.\\ Pour tout l'exercice, on se donne \[ f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}, \] convexe et on note $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère fixé du plan. Attention $f$ n'est pas supposée dérivable. On associe à $f$ la fonction $u$ définie de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ par \[ u(t)=\Frac{f(t)}{t}. \]
  1. Considérons l'application $\varphi$ définie de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ par \[ \varphi(t)=\Frac{f(t)-f(1)}{t-1}. \]
    1. Montrer que $\varphi(t)$ tend vers une limite finie, ou vers $+\infty$, quand $t$ tend vers $+\infty$.\\
    2. En déduire qu'il en est de même pour $u$, c'est-à-dire que $u(t)$ tend vers une limite finie, ou vers $+\infty$, quand $t$ tend vers $+\infty$.
  2. On suppose ici que la limite de $u$ en $+\infty$ est finie. On la note $a$. Notons de plus $g_a$ l'application de $\mathbb{R}_+^*$ dans $\mathbb{R}$ définie par : \[ g_a(t)=f(t)-at. \]
    1. Montrer que $g_a$ est convexe.\\
    2. Supposons qu'il existe $x$ et $y$ tels que $x < y$ et $g_a(x) < g_a(y)$. Notons de plus \[ p_y(t)=\Frac{g_a(t)-g_a(y)}{t-y}. \]
      1. Montrer que $p_y(t)$ admet une limite positive quand $t$ tend vers $+\infty$, ou tend vers $+\infty$.\\
      2. Montrer qu'il existe $k > 0$, tel que, pour $t$ assez grand, \[ \Frac{g_a(t)}{t}\geqslant k. \]
      3. En déduire que l'hypothèse faite est fausse et que $g_a$ est décroissante.
    3. Montrer que si \[ \lim_{t\to+\infty}g_a(t)\neq -\infty, \] alors $C$ admet une asymptote en $+\infty$.\\
    4. Supposons \[ \lim_{t\to+\infty}g_a(t)\neq -\infty, \] que peut-on dire de la position relative de $C$ et de son asymptote ?
Exercice 2386. Soit $(a_1,\dots,a_n)\in(\mathbb{R}_+^*)^n$. Démontrer que : \[ \Frac{n}{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{a_k}}\leqslant \left(\Prod_{k=1}^{n}a_k\right)^{\Frac{1}{n}}\leqslant \Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}a_k. \]
Exercice 2387.
  1. Montrer que : \[ \forall (x_1,\dots,x_n)\in (\mathbb{R}_+^*)^n,\; (x_1x_2\cdots x_n)^{1/n}\leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
  2. Montrer que pour tout $(a,b,c)\in \mathbb{R}_+^3$ : \[ a^3+b^3+c^3\geqslant 3abc \quad \mathrm{et} \quad (a+b+c)^3\geqslant 27abc. \]
  3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ (n!)^{1/n}\leqslant \Frac{n+1}{2}. \]
Exercice 2388. Soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue et $F : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que : \[ \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2,\; F(y)-F(x)\geqslant (y-x)f(x). \]
  1. Montrer que $f$ est croissante, puis que $F$ est une primitive de $f$.\\
  2. Montrer que $F$ est convexe.
Exercice 2389. Soit $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, telle que pour tout $(a,b)\in \mathbb{R}^2$ tel que $a < b$, \[ \integrale{a}{b}{f(t)}{t}\geqslant (b-a)f\parenthese{\Frac{a+b}{2}}. \] On se propose de montrer que $f$ est convexe.\\ Pour cela, on raisonne par contraposée, en supposant $f$ non convexe.\\
    1. Montrer qu'il existe $a,b$ tels que $a < b$ et $x \in ]a,b[$ tels que \[ f(x) > f(a)+\Frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a). \]
    2. Soit $g$ définie sur $[a,b]$ par \[ g(t)=f(t)-f(a)-\Frac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a). \]
      1. Montrer que $g$ admet un maximum $M$ sur $[a,b]$, atteint en un point $y \in ]a,b[$.\\
      2. Soit $\varepsilon > 0$, aussi grand que possible, tel que $[y-\varepsilon,y+\varepsilon]\subset [a,b]$. Montrer que l'on a : \[ \integrale{y-\varepsilon}{y+\varepsilon}{f(t)}{t} < 2\varepsilon f(y). \]
  2. Conclure.
Exercice 2390. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ et $A$ l'ensemble des réels $a$ tels que $f$ admette un maximum local en $a$. \\ Montrer que \[ f(A) \] est au plus dénombrable.
Exercice 2391. Soit $f$ une fonction convexe de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.\\
  1. On suppose $f$ de limite nulle en $+\infty$. Démontrer que $f$ est positive.\\
  2. On suppose que $f$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$. Quelle est la position de $f$ par rapport à cette asymptote ?
Exercice 2392. Soit $f : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}$ une application convexe.\\
  1. Montrer que \[ \frac{f(x)}{x} \] admet une limite $\ell$ dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.\\
  2. Montrer que si \[ \ell\leqslant0, \] alors $f$ est décroissante.\\
  3. Montrer que si $\ell$ est finie, alors \[ f(x)-\ell x \] admet une limite dans $\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.\\
Exercice 2393. Soit $f_1,\dots,f_n$ $n$ fonctions convexes et continues sur $[0,1]$ telles que \[ \sup(f_1,\dots,f_n)\geqslant0. \] Montrer qu'il existe $n$ réels positifs \[ \alpha_1,\dots,\alpha_n \] de somme $1$ tels que \[ \alpha_1f_1+\cdots+\alpha_nf_n\geqslant0. \]
Exercice 2394. \\
  1. Soit \[ T:\mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})\to \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R}) \] une application linéaire vérifiant : pour toute \[ f\in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}) \] et tout \[ x_0\in ]0,1[ \] tel que $f$ possède un maximum local en $x_0$, on a \[ T(f)(x_0)=0. \] Montrer qu'il existe \[ \varphi\in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R}) \] telle que pour tout \[ f\in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}), \] \[ T(f)=\varphi f''. \]
  2. On remplace dans la question 1 l'espace \[ \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}) \] par \[ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R}). \] Montrer que \[ T=0. \]
Exercice 2395. Soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction convexe.\\
  1. Montrer que si $f$ admet un minimum local, il s'agit d'un minimum global. Que peut-on dire de l'ensemble des points où ce minimum est atteint ?\\
  2. On suppose que $f$ est dérivable et qu'il existe un réel $a$ tel que \[ f'(a)=0. \] Montrer que $f$ admet en $a$ un minimum global.\\
  3. On suppose maintenant que $f$ est deux fois dérivable et qu'il existe $\alpha\in\mathbb{R}$ tel que \[ f''(x)\geqslant \alpha > 0 \] pour tout $x$. Montrer que $f$ possède un minimum unique.\\
Exercice 2396. Soit $f$ une fonction strictement convexe de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec \[ a < b. \] Montrer qu'il existe un sous-intervalle $J$ non vide de $[a,b]$, non réduit à un point, tel que la restriction de $f$ à $J$ soit strictement monotone.
Exercice 2397. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}_+^*$ et $f : I \to \mathbb{R}$. Montrer que la fonction \[ x\mapsto xf(x) \] est convexe si et seulement si \[ x\mapsto f\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) \] est convexe.
Exercice 2398. Soit $a,b\geqslant0$ tels que \[ a+b=1. \] Montrer que pour tous réels positifs $x$ et $y$, on a \[ 1+x^ay^b\leqslant (1+x)^a(1+y)^b. \]
Exercice 2399. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice bistochastique, c'est-à-dire telle que \[ a_{ij}\geqslant0 \] pour tout $(i,j)\in[1,n]^2$, et que la somme des coefficients de chaque ligne et de chaque colonne de $A$ soit égale à $1$.\\ Soit \[ X=(x_1,\dots,x_n) \] un vecteur de $\mathbb{R}^n$ à coordonnées positives. On pose \[ Y=AX. \] Montrer que \[ \Prod_{i=1}^n y_i \geqslant \Prod_{i=1}^n x_i. \]
Exercice 2400. Soit $f : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction continue telle que, pour tous réels $x,y$, \[ f\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr)\leqslant \frac{f(x)+f(y)}{2}. \] Montrer que $f$ est convexe.
Exercice 2401. Soit $f:\R\to \R$ convexe.\\
  1. Soit $a \in \R$. Prouver que $f$ est dérivable à droite en $a$, en notant $f'(a^+)$ cette dérivée, et que : \[ \forall x \in \R,\quad f(x)\geqslant f(a)+f'(a^+)(x-a) \]
  2. Prouver que $f$ est lipschitzienne sur tout segment de $\R$. Et sur $\R$ ?
  3. Prouver l’inégalité de Jensen intégrale : pour toute $g$ continue sur $[0,1]$ : \[ f\left(\integrale{0}{1}{g(x)}{x}\right)\leqslant \integrale{0}{1}{f(g(x))}{x} \]
  4. Prouver qu’il existe une famille $(a_j)_{j\in\N}$ dénombrable de fonctions affines telle que : \[ \forall x \in \R,\quad f(x)=\sup_{j\in\N}a_j(x) \]
Exercice 2402. Montrer que $f : x \in \mathbb{R}_+^* \mapsto x\ln x$ est convexe.\\ En déduire que pour tout $x \in ]0,1[$, \[ x^x(1-x)^{1-x} \geqslant \frac{1}{2}. \]
Exercice 2403. Soit $f$ une fonction convexe de $\R$ dans $\R$.\\
  1. On suppose $f$ de limite nulle en $+\infty$. Démontrer que $f$ est positive.\\
  2. On suppose que $f$ admet une asymptote au voisinage de $+\infty$. Quelle est la position de $f$ par rapport à cette asymptote ?
Exercice 2404. Soit $(a_1,\dots,a_n)\in (\R_+^*)^n$. Démontrer que : \[ \Frac{n}{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{a_k}}\leqslant \left(\Prod_{k=1}^{n}a_k\right)^{\Frac{1}{n}}\leqslant \Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}a_k \]
Exercice 2405. Soit $f:[0,1]\to \R$ une fonction convexe.\\
  1. Montrer qu’il existe $\eta \in ]0,1[$ tel que $f_{|]0,\eta]}$ soit monotone.\\
  2. Montrer que $f(0^+)$ existe et est finie.
Exercice 2406. Soit $f : \R \to \R$ de classe $C^2$, bornée et non constante. Montrer qu'il existe $x_1,x_2 \in \R$ tels que $f''(x_1)f''(x_2) < 0$.
Exercice 2407. Si $f$ est convexe et continue sur $[a,b]$, montrer que \[ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{1}{b-a}\integrale{a}{b}{f(x)}{x} \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2} \]
Exercice 2408. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe et soit $a < c < d < b$ des réels tels que $a+b=c+d$.\\ Montrer que $f(a)+f(b) \geqslant f(c)+f(d)$.
Exercice 2409. Soit $f : I \to J$ une bijection convexe entre deux intervalles.\\ Montrer que si $f$ est strictement croissante, alors $f^{-1}$ est concave.\\ Qu'en est-il si $f$ est strictement décroissante ?
Exercice 2410. On dit que $f$ est logarithmiquement convexe si $\ln f$ est convexe.\\ Montrer que si $f$ est logarithmiquement convexe, alors $f$ est convexe. Montrer que la réciproque est fausse.
Exercice 2411. Soit $f:\R \to \R$ continue, montrer que sous l’une des deux conditions suivantes, $f$ est convexe.\\
  1. $\forall x,y \in \R\quad f\Big(\Frac{x+y}{2}\Big) \leqslant \Frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big)$.\\
  2. $\forall x,y \in \R\quad \exists \alpha \in ]0,1[\quad f(\alpha x+(1-\alpha)y) \leqslant \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y)$.
Exercice 2412. Montrer que si $f : \R \to \R$ est convexe et non constante, elle n'est pas majorée sur $\R$.\\ Montrer que si $f : \R \to \R$ est paire et convexe, la restriction de $f$ à $\R_+$ est croissante.
Exercice 2413. Que dire d'une fonction convexe admettant un maximum local ?\\ Trouver deux fonctions strictement convexes et croissantes sur $\R_+$ telles que l'ensemble des points en lesquels elles coïncident constitue une suite qui tend vers $+\infty$.
Exercice 2414. Soit $f : \R_+ \to \R_+$. On dit que $f$ est sous-additive si $\forall x,y \in \R_+,\; f(x+y)\leqslant f(x)+f(y)$.\\
  1. On définit $g : \R_+^\star \to \R_+$ par $g(x)=\Frac{f(x)}{x}$. Si $g$ est décroissante, montrer que $f$ est sous-additive.\\
  2. Si $f(0)=0$ et si $f$ est concave, montrer que $f$ est sous-additive.
Exercice 2415. Soit $f$ une fonction convexe sur un intervalle $I$ ouvert.\\
  1. Montrer que $f$ est dérivable à gauche et à droite en tout point. Montrer que\\ \[ \forall x \in I,\; f'_g(x)\leqslant f'_d(x). \]
  2. Déduire de la question précédente que $f$ est continue sur $I$.\\
  3. Si l'intervalle $I$ n'était pas supposé ouvert, la continuité de $f$ aux extrémités de $I$ serait-elle encore assurée ?\\
  4. Donner un exemple de fonction de $\R$ dans $\R$ convexe et non dérivable.
Exercice 2416. Montrer que $\forall x \in ]-\Frac{\pi}{2},\Frac{\pi}{2}[$,\\ \[ \cos x \leqslant e^{-\frac{2x^2}{\pi^2}}. \]
Exercice 2417. Soit $f$ une application de classe $C^2$ sur un segment $[a,b]$ vérifiant $f(a)=f(b)=0$.\\ Montrer que $|f''|$ est bornée par un réel $M \geqslant 0$ sur $[a,b]$.\\ Justifier la convexité des fonctions $g:x\mapsto M\Frac{(x-a)(x-b)}{2}+f(x)$ et $h:x\mapsto M\Frac{(x-a)(x-b)}{2}-f(x)$ sur $[a,b]$.\\ En déduire que $\forall x \in [a,b],\; |f(x)|\leqslant M\Frac{(x-a)(b-x)}{2}$.
Exercice 2418. Soit $f,g:I\to\R$ deux fonctions convexes.\\ Montrer que $f+g$ est convexe, ainsi que $\sup(f,g)$.
Exercice 2419. Soit $f:\R\to\R$ une application convexe.\\ Montrer que $I=f^{-1}(\R_-)$ est un intervalle de $\R$.

Exercice 2420. Moyenne arithmétique et géométrique

\\ Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et tout $(x_1,\ldots,x_n) \in (\R_+^*)^n$ :\\ \[ \sqrt[n]{x_1\cdots x_n} \leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
Exercice 2421. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe.\\
  1. On suppose $f\xrightarrow[x\to +\infty]{}0$.\\ Montrer que $f$ est positive.\\
  2. On suppose que $f$ présente une asymptote en $+\infty$.\\ Etudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.
Exercice 2422. Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f : I \to \R$ une application convexe.\\ Soit $a \in I$.\\ Montrer qu'il existe $m \in \R$ tel que, pour tout $x \in I$,\\ \[ f(x) \geqslant m(x-a)+f(a). \]

Exercice 2423. Inégalité de Jensen

\\ Soit $f : I \to \R$ une fonction convexe, $a_1,a_2,\ldots,a_n \in I$, $p_1,p_2,\ldots,p_n \in \R^*$ où $n \geqslant 2$.\\ Montrer que\\ \[ f\parenthese{\Frac{\Sum_{i=1}^{n} p_i a_i}{\Sum_{i=1}^{n} p_i}} \leqslant \Frac{\Sum_{i=1}^{n} p_i f(a_i)}{\Sum_{i=1}^{n} p_i}. \] Si $f$ est strictement convexe, montrer que l'égalité a lieu si et seulement si $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$.
Exercice 2424. Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ convexe.\\ Montrer que, s'il existe $(a,b) \in ]0,+\infty[^2$ tel que $a < b$ et $f(a) < f(b)$, alors : $f(x) \xrightarrow[x\to +\infty]{} +\infty$.
Exercice 2425. Soit $f : \R \to \R_+^*$.\\ Montrer que si $\ln\circ f$ est convexe, alors pour tout $\alpha > 0$, $f^\alpha$ est convexe.
Exercice 2426. Soit $f \in \mathcal{C}(\R,\R)$ que l'on suppose convexe.\\ Montrer que la fonction $g$ définie sur $\R$ par\\ \[ \forall x \in \R,\qquad g(x)=\integrale{x-1}{x+1}{f(t)}{t} \] est elle aussi convexe.
Exercice 2427. Soit $f \in \mathcal{C}^1([a,b],\R)$ supposée convexe.\\ Montrer que\\ \[ f\parenthese{\Frac{a+b}{2}} \leqslant \Frac{1}{b-a}\integrale{a}{b}{f(x)}{x} \leqslant \Frac{f(a)+f(b)}{2}. \]
Exercice 2428. Montrer que pour tout $n \in \N$, $n! \leqslant \parenthese{\Frac{n+1}{2}}^{n}$.
Exercice 2429. Soit $f : I \to \R$ une application continue strictement décroissante et convexe.\\ Etudier la convexité de la fonction $f^{-1} : f(I) \to I$.
Exercice 2430. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe et bornée.\\ Montrer que $f$ est constante.
Exercice 2431. Soit $f : \R \to \R$ une application convexe et majorée.\\ Montrer que $f$ est constante.\\ La conclusion subsiste-t-elle pour $f : [0,+\infty[ \to \R$ ?
Exercice 2432. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe.\\ Montrer que $f$ est continue.
Exercice 2433. Soit $f : \R^+ \to \R$ dérivable, concave et vérifiant $f(0)\geqslant 0$.\\ Montrer que $f$ est sous-additive, c'est-à-dire\\ \[ \forall x,y\in\R^+,\qquad f(x+y)\leqslant f(x)+f(y). \]
Exercice 2434. Montrer que, pour tout $x_1,\ldots,x_n > 0$,\\ \[ \Frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots+\frac{1}{x_n}} \leqslant \Frac{x_1+\cdots+x_n}{n}. \]
Exercice 2435. Soient $n \in \N^*$ et $x_1,\ldots,x_n \in \R^{+*}$.\\ Montrer :\\ \[ \Frac{x_1}{x_2}+\Frac{x_2}{x_3}+\cdots+\Frac{x_{n-1}}{x_n}+\Frac{x_n}{x_1}\geqslant n. \]
Exercice 2436. Déterminer les fonctions $f : \R \to \R$ convexes et impaires.

Exercice 2437. X MP

\\ Soient $I$ un intervalle ouvert de $\R$ et $f \in \mathcal{C}^0(I,\R)$.\\
  1. On suppose que, pour tout $(x,y)\in I^2$,\\ \[ f\parenthese{\Frac{x+y}{2}}\leqslant \Frac{f(x)+f(y)}{2}. \] Montrer que $f$ est convexe.\\
  2. On suppose qu'il existe un réel $M$ tel que\\ \[ \forall (x,y)\in \R^2,\qquad \abs{f(x+y)+f(x-y)-2f(x)}\leqslant My^2. \] Montrer que $f$ est dérivable.\\ On pourra considérer $x\mapsto f(x)\pm \Frac{M}{2}x^2$.
Exercice 2438. Soit $f:[a,b]\to\R$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(a)=f(b)=0$.\\ On note $M=\sup_{[a,b]}\abs{f''}$ et $c(x)=\Frac{(x-a)(b-x)}{2}$.\\ On pose, pour tout $x\in[a,b]$, $g(x)=f(x)-Mc(x)$ et $h(x)=f(x)+Mc(x)$.\\
  1. Justifier l'existence de $M$.\\
  2. Montrer que $g$ est convexe et que $h$ est concave.\\
  3. En déduire : $\forall x \in [a,b],\;\; \abs{f(x)}\leqslant Mc(x)$.
Exercice 2439. Soient $p,q \geqslant 1$ tels que $\Frac{1}{p}+\Frac{1}{q}=1$.\\
  1. Soient $x,y>0$.\\ Montrer que $xy \leqslant \Frac{x^p}{p}+\Frac{y^q}{q}$.\\
  2. Soient $a_1,\ldots,a_n>0$ et $b_1,\ldots,b_n>0$.\\ Montrer : $\Sum_{k=1}^{n} a_k b_k \leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^q}^{\Frac{1}{q}}$.\\
  3. On suppose que $p>1$.\\ Montrer : $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)^p}^{\Frac{1}{p}}\leqslant \parenthese{\Sum_{k=1}^{n} a_k^p}^{\Frac{1}{p}}+\parenthese{\Sum_{k=1}^{n} b_k^p}^{\Frac{1}{p}}$.
Exercice 2440. \\ Soient $x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n$ des réels positifs.\\ Montrer\\ \[ (x_1\cdots x_n)^{1/n}+(y_1\cdots y_n)^{1/n} \leqslant \Big((x_1+y_1)\cdots(x_n+y_n)\Big)^{1/n}. \]
Exercice 2441. Soit $f : [0,+\infty[ \to \R$ dérivable et convexe.\\ Montrer que l'application $g : [0,+\infty[ \to \R$, $x \mapsto g(x)=f(x)-xf'(x)$ est décroissante.
Exercice 2442. Soient $n \in \N^*$, $a_1,\ldots,a_n \in ]0,+\infty[$ tels que $\Sum_{i=1}^{n} a_i = 1$.\\ Montrer :\\ \[ \Sum_{i=1}^{n}\parenthese{a_i+\Frac{1}{a_i}}^2 \geqslant \Frac{(n^2+1)^2}{n}. \]
Exercice 2443. Soit $f : \R \to \R$ continue, convexe et bijective.\\ Que dire de la convexité de $f^{-1}$ ?
Exercice 2444. Soient $f$ et $g : \R \to \R$ deux applications telles que $f$ soit convexe et $g$ soit à la fois convexe et croissante.\\ Montrer que $g \circ f$ est convexe.
Exercice 2445. Soit $f : I \to \R$ convexe.\\ Montrer que si $a \in I$ est un minimum local de $f$ alors $a$ est un minimum global.
Exercice 2446. Montrer : $\forall x \in ]0,+\infty[$, $2^x + 2^{x^3} \geqslant 2^{x^2+1}$.
Exercice 2447. Soit $f : \R \to \R$ une fonction convexe strictement croissante.\\ Montrer que $f$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
Exercice 2448. Montrer que pour tout $n \in \N^*$ et $x,y>0$, $\parenthese{x+y}^n \leqslant 2^{n-1}\parenthese{x^n+y^n}$.