Sommes de Riemann

Exercice 2684. Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{C})$. On considère une suite $(a_k^n)_{0 \leq k \leq N(n)}$ telle que, pour tout $n$, $(a_k^n)_{0 \leq k \leq N(n)}$ est une subdivision de $[a,b]$ et \[ \max_{0 \leq k \leq N(n)-1} (a_{k+1}^n - a_k^n) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] On définit \[ S_n = \sum_{k=0}^{N(n)-1} (a_{k+1}^n - a_k^n) f(a_k^n). \] Montrer que $S_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \integrale{a}{b}{f(t)}{t}$.
Exercice 2685. Soient $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a < b$ et $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}_+^*)$.\\ On note \[ I=\integrale{a}{b}{f}{x}. \]
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$, montrer qu'il existe une subdivision \[ a=x_{n,0} < \cdots < x_{n,n}=b \] telle que, pour tout $i \in \llbracket 0;n-1 \rrbracket$ : \[ \integrale{x_{n,i}}{x_{n,i+1}}{f}{x}=\Frac{I}{n}. \]
  2. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ u_n=\Frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} x_{n,i}. \] Déterminer la limite de $(u_n)$.
Exercice 2686. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $r \in \mathbb{R}$.\\
  1. Calculer \[ P_n(r)=\Prod_{k=1}^{n}\parenthese{1-2r\cos\parenthese{\Frac{k\pi}{n}}+r^2}. \]
  2. Calculer \[ I(r)=\integrale{0}{\pi}{\ln\parenthese{1-2r\cos t+r^2}}{t}, \] pour $r \neq \pm 1$.
Exercice 2687. \\
  1. Écrire la factorisation de $X^n-1$ dans $\C$.\\
  2. Justifier que l'intégrale \[ \int_0^{2\pi}\ln|x-e^{it}|\,dt \] est définie pour $x\in\R\setminus\{-1,1\}$. Calculer sa valeur à l'aide d'une somme de Riemann.
Exercice 2688. En utilisant les sommes de Riemann, montrer que $\integrale{0}{\Frac{\pi}{2}}{\cos x}{x}=1$.
Exercice 2689. Trouver les limites lorsque $n \to +\infty$ des expressions suivantes : \[ A=\Frac{1}{n}\left(\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{4}+\cdots+\sqrt[n]{2^n}\right) \quad \mathrm{et} \quad B=\Sum_{p=0}^{n}\Frac{p^2}{n^2(n+p)} \]
Exercice 2690. Calculer les limites suivantes en utilisant les sommes de Riemann :\\ Indication pour $(f)$ : montrer d'abord que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $\sin(x)=x+\varphi(x)$ avec $|\varphi(x)| \leqslant \Frac{x^3}{6}$.\\
  1. $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{n^2+2kn}}$\\
  2. $n\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k^2+n^2}$\\
  3. $\Prod_{k=1}^{n}\left(1+\Frac{k^2}{n^2}\right)^{\Frac{1}{n}}$\\
  4. $\left(\Frac{(2n)!}{n!n^n}\right)^{\Frac{1}{n}}$\\
  5. $(2^2.3^3\cdots n^n)^{\Frac{1}{n^2\ln n}}$\\
  6. $\Sum_{k=1}^{n}\sin\Frac{k}{n}\sin\Frac{k}{n^2}$
Exercice 2691. Soit \[ u_n=-n+\Sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}. \] Etablir que \[ u_n \sim n(\mathrm{e}-2). \] Il y a deux méthodes possibles.
Exercice 2692. Soit $a > 1$. On pose \[ I=\integrale{0}{\pi}{\ln(1-2a\cos(x)+a^2)}{x}. \] Ecrire les sommes de Riemann pour $I$ associées à une subdivision régulière de $[0,\pi]$.\\ En déduire que la valeur de $I$ est $2\pi\ln(a)$.
Exercice 2693. Soit $f : [a,b] \to \mathbb{C}$ de classe $\mathcal{C}^2$. On pose \[ u_n=\Frac{b-a}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}f'\left(a+k\Frac{b-a}{n}\right) \] pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.\\ Montrer que \[ u_n \to f(b)-f(a) \] et \[ n\bigl[f(b)-f(a)-u_n\bigr] \to \Frac{b-a}{2}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr). \]
Exercice 2694. Soit $f$ définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,1]$ et à valeurs réelles.\\
  1. Vers quoi tend \[ \dfrac{1}{n}\Sum_{k=1}^n f\left(\dfrac{k}{n}\right) \] lorsque $n\to+\infty$ ? Le démontrer.\\
  2. Soit \[ R_m(n)=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}\dfrac{n\sin^2\left(k\frac{m}{n}\right)}{k^2m}. \] Démontrer que \[ \lim_{m\to+\infty}\left(\sup_{n\in\mathbb{N}^*}|R_m(n)|\right)=0. \]
Exercice 2695. Calculer : \[ \limn \Frac{1}{n}\sqrt[n]{\Prod_{k=n+1}^{2n}k}. \]
Exercice 2696.
  1. Soit $f$ définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$ et à valeurs réelles. Vers quoi tend \[ \Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{n}f\left(\Frac{k}{n}\right) \] lorsque $n\to+\infty$ ? Le démontrer.
  2. Soit \[ R_m(n)=\Sum_{k=n+1}^{+\infty}\Frac{n\sin^2\left(\Frac{km}{n}\right)}{k^2m} \] Démontrer que \[ \lim_{m\to+\infty}\left(\sup_{n\in\N^*}R_m(n)\right)=0 \]
Exercice 2697. Calculer $\limn \Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{n+k}$.
Exercice 2698. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie par \[ u_n=\left(\frac{(2n)!}{n^n n!}\right)^{\frac{1}{n}}. \]
Exercice 2699. Calculer \[ \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}\Sum_{k=1}^{n}E(\sqrt{k}) \] où $E$ désigne la fonction partie entière
Exercice 2700. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$. Quelle est la limite de \[ u_n=\frac{1}{n+1}\Sum_{k=0}^{n}f\left(\frac{k}{n+1}\right)f'\left(\frac{k+1}{n+1}\right) ? \]
Exercice 2701. Soit $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^1$. On pose, pour $n \in \mathbb{N}^*$, \[ u_n=\frac{b-a}{n}\Sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right). \]
  1. Étudier la limite de \[ v_n=n\left(u_n-\integrale{a}{b}{f(t)}{t}\right). \]
  2. On suppose maintenant $f$ de classe $C^2$. Trouver un développement asymptotique de $u_n$ quand $n \to +\infty$ à la précision \[ o\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Exercice 2702. Soit $f$ une fonction continue et strictement positive sur $[a,b]$ et $n \in \mathbb{N}^*$.
  1. Montrer qu’il existe une unique subdivision $(x_0,\ldots,x_n)$ de $[a,b]$ telle que, pour tout $k \in \llbracket 1,n \rrbracket$, \[ \integrale{x_{k-1}}{x_k}{f(t)}{t}=\frac{1}{n}\integrale{a}{b}{f(t)}{t}. \]
  2. Trouver la limite, quand $n$ tend vers $+\infty$, de \[ \frac{1}{n}\Sum_{k=0}^{n}f(x_k). \]
Exercice 2703. Soit une fonction $f:[a,b]\to \C$. On suppose que $f$ est $C$-lipschitzienne.\\
  1. Montrer que $f$ est intégrable sur $[a,b]$.\\
  2. Posons $t_k=a+k\Frac{b-a}{n}$ pour $0 \leqslant k \leqslant n$.\\ Soit \[ s_n=\Frac{b-a}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}f(t_k). \] Montrer que \[ \left(\integrale{a}{b}{f}{t}\right)-s_n=\Sum_{k=0}^{n-1}\integrale{t_k}{t_{k+1}}{(f(t)-f(t_k))}{t}. \]
  3. En déduire une majoration de $\left|\integrale{a}{b}{f}{t}-s_n\right|$ et montrer que $s_n \to \integrale{a}{b}{f}{t}$.\\
  4. Question indépendante : on suppose que $f$ est à valeurs réelles. Montrer que $f$ peut s’écrire comme la différence de deux fonctions continues et croissantes. En déduire une autre démonstration du fait que $s_n \to \integrale{a}{b}{f}{t}$.
Exercice 2704. Montrer que si $f:[a,b]\to \K$ est continue, alors :\\ \[ \forall \varepsilon > 0\quad \exists \eta > 0\quad \forall (t,\xi)\; \; subdivision\; pointée\; de\; [a,b]\quad \widehat{\omega}(t)\leqslant \eta \Longrightarrow \left|S(f,t,\xi)-\integrale{a}{b}{f}{x}\right|\leqslant \varepsilon. \]
Exercice 2705. En utilisant les sommes de Riemann, montrer que\\ \[ \integrale{0}{\frac{\pi}{2}}{\cos x}{x}=1. \]
Exercice 2706. Calculer\\ \[ \limn \Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{n+k}. \]
Exercice 2707. Calculer les limites lorsque $n$ tend vers $+\infty$ pour : \\
  • $u_n=\Sum_{k=1}^{3n}\Frac{n}{n^2+k^2}$. \\
  • $u_n=\Sum_{k=1}^{4n}\Frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$. \\
  • $u_n=\Frac{1}{n}\Sum_{k=1}^{2n}\Frac{2k}{n}\,e^{1+3k/n}$. \\
  • $u_n=\left(\Frac{n!}{n^n}\right)^{1/n}$.
Exercice 2708. Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction de classe $C^2$. \\ On pose $I=\integrale{0}{1}{f(t)}{t}$. \\ Calculer $\limn \left(nI-\Sum_{k=0}^{n-1}f\!\left(\Frac{k}{n}\right)\right)$.
Exercice 2709. Soit $f:[0,\pi]\to\R$ une fonction continue telle que : \[ \integrale{0}{\pi}{f(t)\sin t}{t}=\integrale{0}{\pi}{f(t)\cos t}{t}=0. \]
  1. Montrer que la fonction $f$ s'annule au moins deux fois sur l'intervalle $]0,\pi[$. \\
  2. Donner un exemple de fonction $f$ non nulle et vérifiant les hypothèses.
Exercice 2710. Soit $f:[0,1]\to]0,+\infty[$ une fonction continue. \\ On pose \[ I=\integrale{0}{1}{f(t)}{t}. \]
  1. Montrer que $I>0$. \\
  2. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe une unique subdivision \[ \sigma_n=\big(a_{n,0}=0 < a_{n,1} < \cdots < a_{n,n}=1\big) \] telle que pour tout $k\in[[0,n-1]]$, \[ \integrale{a_{n,k}}{a_{n,k+1}}{f(t)}{t}=\Frac{I}{n}. \]
  3. Calculer la limite \[ \limn \Frac{1}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}f(a_{n,k}). \]