Exercices divers

Exercice 2402. HEC 2023

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  1. Définition de la divergence d'une suite vers $+\infty$.\\
  2. On considère l'ensemble des suites $(u_n)_{n \in \N}$ données par leurs deux premiers termes $u_0 = a$ et $u_1 = b$ dans $\R$ puis par la relation de récurrence :\\ \[ \forall n \in \N,\;\; u_{n+2}=u_{n+1}+\Frac{2}{n+2}u_n \] On suppose dans un premier temps que $a > 0$ et $b > 0$.\\ Montrer que pour tout $n \geqslant 1$,\\ \[ u_n < u_{n+1} \] et pour tout $n \geqslant 2$,\\ \[ \Frac{u_{n+1}}{(n+1)^2} < \Frac{u_n}{n^2} \] En déduire que la suite $(u_n)$ admet une limite finie ou égale à $+\infty$ et que la suite $\Big(\Frac{u_n}{n^2}\Big)$ admet une limite finie.\\
  3. Montrer que pour tout $n \geqslant 1$,\\ \[ u_{n+2}=u_1+2\Sum_{k=0}^{n}\Frac{u_k}{k+2} \] puis que\\ \[ u_{n+2}\geqslant u_0+u_1+2u_1\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k+2} \] En déduire que $\limn u_n=+\infty$.\\
  4. On suppose à présent que $a$ et $b$ ne sont plus forcément positifs mais sont quelconques dans $\R$.\\ On note $u_n^{a,b}$ la suite vérifiant la relation de récurrence précédente telle que $u_0=a$ et $u_1=b$.\\
    1. Montrer qu'il existe des réels $\lambda$ et $\mu$ tels que\\ \[ (a,b)=\lambda(1,1)+\mu(1,2) \]
    2. En déduire une relation entre $u_n^{a,b}$, $u_n^{1,1}$ et $u_n^{1,2}$.\\
    3. Montrer que la suite $u_n^{a,b}$ admet une limite (éventuellement infinie) et que la suite $\Big(\Frac{u_n^{a,b}}{n^2}\Big)$ admet une limite finie.
Exercice 2403. On définit deux suites $(x_k)_{k \geqslant 0}$ et $(y_k)_{k \geqslant 0}$ par\\ \[ \left\lbrace \begin{aligned} x_0&=1\\ y_0&=0 \end{aligned} \right. \qquad \mathrm{et}\qquad \forall k \in \N,\;\; \left\lbrace \begin{aligned} x_{k+1}&=3x_k+4y_k\\ y_{k+1}&=2x_k+3y_k \end{aligned} \right. \]
  1. Question de cours : somme des $n$ premiers entiers.\\
    1. Prouver que, pour tout $k \in \N$ : $x_k > y_k \geqslant k$.\\
    2. En déduire les limites des suites $(x_k)_{k \geqslant 0}$ et $(y_k)_{k \geqslant 0}$.\\
  3. Montrer que, pour tout $k \in \N$, $x_k^2-2y_k^2=1$.\\
  4. Pour $k \geqslant 1$, on pose $r_k=\Frac{x_k}{y_k}$.\\ Justifier que la suite $(r_k)_{k \geqslant 1}$ est bien définie et que c'est une suite convergente de limite $\sqrt{2}$.\\
    1. Prouver que, pour tout $k \in \N^*$ :\\ \[ \left|r_k-\sqrt{2}\right|<\Frac{1}{2y_k^2} \]
    2. Ecrire le code d'une fonction Python $\mathrm{approx2}(n)$ qui prend en entrée un entier $n$ et renvoie un terme de la suite $(r_k)_{k \geqslant 1}$ qui soit une approximation de $\sqrt{2}$ à $10^{-n}$ près.\\
  6. Montrer qu'il existe une infinité d'entiers $n$ tels que $1+2+\cdots+n$ soit un carré parfait, c'est-à-dire tels que $1+2+\cdots+n=p^2$ avec $p \in \N$.