Sous-espaces vectoriels

Exercice 4642. Soit $E = \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x + 3y + z = 0 \right\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev.

Exercice 4643. Soit $E = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & b \end{pmatrix} \mid (a,b) \in \R^2 \right\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev.

Exercice 4644. Soit $E = \left\{ P \in \R[X] \mid P(0) = P'(0) = 0 \right\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev.

Exercice 4645. On travaille dans $\R^{\R}$. \\ $A = \left\{ f \in \R^{\R} \mid f \; \mathrm{croissante} \; \mathrm{sur} \; \R \right\}$. \\ $B = \left\{ f \in \R^{\R} \mid f \; \mathrm{est} \;\; 1-\mathrm{periodique} \right\}$. \\ $C = \left\{ f \in \R^{\R} \mid \exists n \in \N^*, \forall x \in [-n,n], f(x)=0 \right\}$. \\ $D = \left\{ f \in \R^{\R} \mid \{x \in \R \mid f(x)=0\} \; \mathrm{est}\;\; \mathrm{infini} \right\}$. \\ $A,B,C,D$ sont-ils des sev de $\R^{\R}$ ?

Exercice 4646. $E$ est un $\R$-ev et $F$ est un sev de $E$. \\ Montrer que $(E \setminus F)\cup\{0\}$ est un sev de $E \Longleftrightarrow (F=\{0\}\;\mathrm{ou}\;F=E)$.

Exercice 4647. Soit $E=\left\{(u_n)_{n\in\N}\in\R^{\N}\mid \forall n\in\N,\;u_{n+3}=5u_{n+2}-3u_{n+1}+u_n\right\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev