Sommes de sev
Exercice
4648. $E$ est un $\R$-ev. \\
$A,B,C$ sont trois sev de $E$ tels que $A\cap C \subset B,\; C \subset A+B,\; B\subset C$. \\
Montrer que $B=C$.
Exercice
4649. $E$ est un $\R$-ev et $U,V,W$ sont trois sev de $E$ avec $U\subset V$. \\
Montrer que $U+(V\cap W)=(U+V)\cap(U+W)$.
Exercice
4650. Soit $E$ un $\R$-ev et $F,G$ deux sev de $E$. \\
- Montrer que $F \cap G = F + G \Longleftrightarrow F = G$. \\
- Montrer que $F \cup G$ est un sev de $E \Longleftrightarrow F \subset G$ ou $G \subset F$.
Exercice
4651. $E=\R^{\R}$. \\
$F=\{f\in E\mid f \; \mathrm{1-périodique}\}$. \\
$G=\{f\in E\mid \limplus f(x)=0\}$. \\
- Montrer que $F$ et $G$ sont des sev de $E$. \\
- Montrer que $F$ et $G$ sont en somme directe. \\
- Montrer que $F$ et $G$ ne sont pas supplémentaires dans $E$.
Exercice
4652. $E=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$
\[
F=\{\,f\in E \mid f(0)=f(1)=0\,\}
\]
\[
G=\{\,f\in E \mid f \mathrm{ affine}\,\}
\]
Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$ et que
\[
F \oplus G = E .
\]
Exercice
4653. $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.
$F,G,H$ sont trois sous-espaces de $E$.
Montrer que $F,G,H$ sont en somme directe si et seulement si
\[
F\cap G=\{0\}
\]
et
\[
(F+G)\cap H=\{0\}.
\]
Exercice
4654. $E=\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$
\[
F=\{(u_n)_{n\in\mathbb{N}}\in E \mid \forall n\in\mathbb{N},\ u_{2n}=0\}
\]
Montrer que $F$ est un sous-espace de $E$ et déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Exercice
4655. $E=\mathbb{R}[X]$
Soit $A\in\mathbb{R}[X]$ avec
\[
\deg(A)=q\in\mathbb{N}.
\]
\[
F=\{P\in E \mid A \mid P\}
\]
Montrer que $F$ est un sous-espace de $E$ et déterminer un supplémentaire de $F$ dans $E$.