Familles libres, génératrices, bases

Exercice 4656. Soient $f=\ln$, $g: ]0,+\infty[ \to \R,\;x\mapsto \Frac{1}{x}$ et $h: ]0,+\infty[ \to \R,\;x\mapsto x^2$. \\ Montrer que $(f,g,h)$ est libre dans $\R^{]0,+\infty[}$.

Exercice 4657. Soit $\vec{u}=(1,2)$ et $\vec{v}=(2,3)$. \\ $(\vec{u},\vec{v})$ est-elle une famille génératrice de $\R^2$ ?

Exercice 4658. Montrer que $\big((n3^n)_{n\in\N},\;(n2^n)_{n\in\N},\;(\cos n)_{n\in\N}\big)$ est libre dans $\R^{\N}$.

Exercice 4659. Soit $m\in\N^*\setminus\{1\}$ et $(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\in\R^m$ tels que $\forall i\in\{1,\dots,m-1\},\;\alpha_i<\alpha_{i+1}$. \\ Pour tout $i\in\{1,\dots,m\}$, $f_i:\R\to\R,\;x\mapsto e^{\alpha_i x}$. \\ Montrer que $(f_1,\dots,f_m)$ est libre dans $\R^{\R}$.

Exercice 4660. Soit $m\in\N^*$. \\ Pour tout $i\in\{0,\dots,m\}$, on définit $f_i:\R\to\R,\;x\mapsto \cos^i(x)$ et $g_i:\R\to\R,\;x\mapsto \cos(ix)$. \\ Montrer que $(f_0,\dots,f_m)$ et $(g_0,\dots,g_m)$ sont libres dans $\R^{\R}$.

Exercice 4661. Soit $m\in\N^*$ et $(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\in\R^m$ avec $\forall (i,j)\in\{1,\dots,m\}^2,\; i\neq j \Rightarrow \alpha_i\neq \alpha_j$. \\ Pour tout $i\in\{1,\dots,m\}$, $f_i:\R\to\R,\;x\mapsto |x-\alpha_i|$. \\ Montrer que $(f_1,\dots,f_m)$ est libre dans $\R^{\R}$.

Exercice 4662. On travaille dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$. \[ f_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto e^{x^2} \] \[ f_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto e^{-x} \] \[ f_3:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto \arctan(x) \] Montrer que $(f_1,f_2,f_3)$ est une famille libre dans $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$.

Exercice 4663. Soit $P_1:\R\to\R,\;x\mapsto 2,\quad P_2:\R\to\R,\;x\mapsto x+8,\quad P_3:\R\to\R,\;x\mapsto x^2+1,\quad Q:\R\to\R,\;x\mapsto 2x^2-x+7$. \\ Montrer que $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de $\R_2[X]$. \\ Donner la matrice colonne des coordonnées de $Q$ dans cette base.

Exercice 4664. Soient $\vec{u}=(1,-1,-1),\quad \vec{v}=(-1,1,-1),\quad \vec{w}=(-1,-1,1),\quad \vec{z}=(1,2,-1)$. \\ Montrer que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est une base de $\R^3$. \\ Donner la matrice colonne des coordonnées de $\vec{z}$ dans cette base.

Exercice 4665. Soit $E=\{f\in\mathcal{D}(\R,\R)\mid \forall x\in\R,\; f'(x)=f(-x)\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev et en donner une base.

Exercice 4666. Soit $E=\{P\in\R_3[X]\mid P(0)=P(1)=0\}$. \\ Montrer que $E$ est un $\R$-ev et en donner une base.

Exercice 4667. $m\in\N^*\setminus\{1\}$ et $(\alpha_1,\dots,\alpha_m)\in\R^m$ deux à deux distincts. \\ Pour tout $k\in\{1,\dots,m\}$, \[ L_k=\Frac{1}{\Prod_{i=1,\;i\neq k}^{m}(\alpha_k-\alpha_i)}\Prod_{i=1,\;i\neq k}^{m}(X-\alpha_i). \] Montrer que $(L_1,\dots,L_m)$ est une base de $\R_{m-1}[X]$.