Dimension finie

Exercice 4668. $N\in\N^* \backslash \{1\}$ et $\Omega=\{1,\dots,N\}$. \\ On travaille dans l’espace probabilisé $\parenthese{\Omega,\mathcal{P}(\Omega),p}$. \\ $V$ est l'ensemble des variables aléatoires sur $\Omega$. \\ $V=\{X:\Omega\to\R\mid \forall x \in \R, \;\; X^{-1}(]-\infty,x]) \in \mathcal{P}(\Omega) \}$. \\ Montrer que $V$ est un $\R$-ev et donner sa dimension.
Exercice 4669. $E=\mathcal{C}^0([-1,1],\R)$. \\ $A=\{f\in E\mid f \; \mathrm{affine}\; \mathrm{sur} \; [-1,0] \; \mathrm{et} \;\; \mathrm{affine} \;\; \mathrm{sur} \; [0,1]\}$. \\ Montrer que $A$ est un $\R$-ev et donner sa dimension.
Exercice 4670. $m\in\N^*\setminus\{1\}$. \\ $E$ est un $\R$-ev de dimension $m$. \\ $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans de $E$ distincts. \\ Calculer $\dim(H_1\cap H_2)$.
Exercice 4671. $E$ est un $\R$-ev de dimension $n$ avec $n\geqslant 2$. \\
  1. $H_1$ et $H_2$ sont deux hyperplans de $E$. \\ Montrer que $H_1$ et $H_2$ admettent un supplémentaire commun dans $E$. \\
  2. Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $\dim F=\dim G$. Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun.
Exercice 4672. $m\in\N^*$ et $E=M_m(\R)$. \\
  1. Montrer que $S_m(\R)$ et $A_m(\R)$ sont des sev de $E$. \\
  2. Montrer que $S_m(\R)\oplus A_m(\R)=E$.
Exercice 4673. $E=\mathcal{C}^0([0,1],\R)$. \\ $H=\left\{f\in E\mid \integrale{0}{1}{f(t)}{t}=0\right\}$. \\
  1. Montrer que $H$ est un sev de $E$. \\ $T=\left\{f\in E\mid \integrale{0}{1}{f(t)}{t}\neq 0\right\}$. \\
  2. $T$ est-il un sev de $E$ et a-t-on $T\oplus H=E$ ? \\
  3. Déterminer un sev $W$ de $E$ tel que $H\oplus W=E$.
Exercice 4674. $E=\R^{\R}$. \\ $F=\{Q\in E\mid Q(0)=Q(1)=0\}$ et $G=\{Q\in E\mid Q \; \mathrm{affine}\}$. \\ Montrer que $F$ et $G$ sont des sev de $E$ et que $F\oplus G=E$.
Exercice 4675. On travaille dans $\R^{\R}$. \\ $\beta_1:\R\to\R,\;x\mapsto e^{x^2}$,\quad $\beta_2:\R\to\R,\;x\mapsto e^{-x}$,\quad $\beta_3:\R\to\R,\;x\mapsto \arctan x$. \\ Montrer que $(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$ est libre dans $\R^{\R}$.
Exercice 4676. $n\in\mathbb{N}^*$. On travaille dans $\mathbb{R}_n[X]$. Pour $i\in\llbracket 0,n\rrbracket$ on pose \[ P_i=X^{\,n-i}(1+X)^i . \] Montrer que $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
Exercice 4677. Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel et $H$ un hyperplan de $E$.\\ Montrer qu'il existe un vecteur $u\in E$ tel que \[ E=H\oplus \mathrm{Vect}(u). \]