Exercices divers

Exercice 3228.
  1. Simplifier au maximum les expressions suivantes en restant le plus précis possible. Les $O$ et $o$ sont en $x \to +\infty$.\\
    1. $o(x+1)$\\
    2. $o(5x^2)-o(2x^3)$\\
    3. $O(x)-O(x^2)$\\
    4. $\ln(x)(o(x)+o(x^2))$\\
    5. $O(2+x-3x^4)$\\
    6. $o\parenthese{\dfrac{1}{x}}+o(1)$\\
    7. $o\parenthese{x^2-2-\dfrac{1}{x^3}}$\\
    8. $o\parenthese{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}$\\
    9. $1+2x-x^2+o(x)$\\
    10. $5x^5-3x^2+o(x^3)$\\
    11. $-2+x^2-x^3+o(x+1)$\\
    12. $1+\dfrac{1}{x}-x^2+o(x-x^2)$
  2. Reprendre le même travail avec cette fois-ci les $o$ et $O$ en $x \to 0$.
Exercice 3229. Déterminer un équivalent simple lorsque $x \to +\infty$ puis lorsque $x \to 0$ de :\\
  1. $2+3x$\\
  2. $2x^2-5x+7$\\
  3. $x^4-2+\dfrac{4}{x}$\\
  4. $\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{x^2}$\\
  5. $5\ln(x)+2$\\
  6. $5\ln(x)+2x$\\
  7. $5\ln(x)+\dfrac{2}{x}$\\
  8. $\dfrac{1}{2x+3}$\\
  9. $3e^x+x-1$\\
  10. $\dfrac{x-3x^3}{2x^2+x^4}$\\
  11. $\dfrac{3x^2}{x^2+x^3}$\\
  12. $\dfrac{2e^x+x^2+3}{e^{2x}+x^3}$\\
  13. $\dfrac{1}{3x-2}$
Déterminer un équivalent simple lorsque $x \to 0$ de $\sin(x)$, $\cos(x)$, $e^x$ et $e^x-1$.
Exercice 3230. Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires de classe $C^3$ au voisinage de $0$ avec $g^{(3)}(0)\neq 0$.\\ Calculer \[ \lim_{x\to 0}\Frac{f(x)-2f(2x)+f(3x)}{g(x)-2g(2x)+g(3x)}. \]
Exercice 3231. Soit $f : x \mapsto \ln(1+e^x)$.\\
  1. Justifier que $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$.\\
  2. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $(a_1,\dots,a_n) \in (]0,+\infty[)^n$ : \[ 1+\left(\Prod_{i=1}^n a_i\right)^{1/n} \leqslant \left(\Prod_{i=1}^n (1+a_i)\right)^{1/n} \]
  3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tout $(a_1,\dots,a_n) \in (]0,+\infty[)^n$ et $(b_1,\dots,b_n) \in (]0,+\infty[)^n$ : \[ \left(\Prod_{i=1}^n a_i\right)^{1/n}+\left(\Prod_{i=1}^n b_i\right)^{1/n} \leqslant \left(\Prod_{i=1}^n (a_i+b_i)\right)^{1/n} \]
Exercice 3232.
  1. Calculer \[ \limn \left[\cos\left(\frac{n\pi}{3n+1}\right)+\sin\left(\frac{n\pi}{6n+1}\right)\right]^n. \]
  2. Calculer \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}+c^{1/x}}{3}\right)^x. \]
  3. Calculer $f^{(n)}(0)$ dans les deux cas suivants :\\ \[ f(x)=\arctan x \qquad \text{et} \qquad f(x)=\frac{x^4}{1+x^6}. \]
Exercice 3233. Soit $P(X)\in \R[X]$.\\ On suppose qu'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifie \[ f'(x)=P(f(x)). \]
  1. Montrer que $f$ est $C^{\infty}$.
  2. On suppose $f(0)=0$. Calculer le $DL_3(0)$ de $f$.
Exercice 3234. Donner un équivalent simple quand $n \to +\infty$ de \[ \integrale{0}{1}{t^n\dfrac{\sqrt{1+t}}{e^t}}{t}. \]
Exercice 3235.
  1. Montrer que la fonction $f:x \mapsto x+\ln(x)$ est une bijection de $\R_+^*$ vers $\R$.\\
  2. Déterminer $\lim_{y \to +\infty}f^{-1}(y)$.\\
  3. En déduire que $f^{-1}(y)\sim y$ quand $y \to +\infty$.\\
  4. Montrer que $f^{-1}(y)-y\sim -\ln(y)$.
Exercice 3236. Prouver la liberté de la famille de fonctions \[ \parenthese{x\mapsto 1,\;x\mapsto \exp(x)\th(x),\;x\mapsto \exp(x)\th^2(x),\dots,\;x\mapsto \exp(x)\th^n(x)}. \]
Exercice 3237. Soit $n\in\N^*$.\\ Déterminer tous les polynômes $P(X)$ tels que $X^n$ divise \[ 1+X-P^2(X). \]
Exercice 3238. On considère la suite de polynômes $(P_n)_{n\geqslant 2}$ définie par \[ \forall n \geqslant 2,\; P_n=X^n-nX+1. \]
  1. Montrer que $\forall n \geqslant 2$, $\exists !x_n\in [0;1]$ tel que $x_n$ est racine de $P_n$.\\
  2. Donner un équivalent de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis un développement asymptotique à deux termes.
Exercice 3239. On définit, pour tout $x\in\R$, \[ f(x)=e^{-x^2}\integrale{0}{x}{e^{t^2}}{t}. \] Soit $n\in\N$.\\
  1. Justifier proprement que $f$ est $C^{\infty}(\R)$.\\
  2. Justifier que $f'$ admet un développement limité en $0$ à l’ordre $2n$. On notera alors \[ f'(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{2n}x^{2n}+o(x^{2n}). \]
  3. Donner alors le $DL_{2n+1}(0)$ de $f(x)$ en fonction des $a_k$.\\
  4. Montrer que $f$ est l’unique solution au problème de Cauchy \[ \left\{ \begin{array}{l} y'=-2xy+1\\ y(0)=0 \end{array} \right. \]
  5. En déduire une relation de récurrence sur les coefficients $a_k$.\\
  6. En déduire l’expression des coefficients $a_k$.\\
  7. Donner alors le $DL_{2n+1}(0)$ de $f(x)$.
Exercice 3240. On pose \[ f(x)=\Frac{\sh(x)-x\ch(x)}{\ln(\cos(x))}. \]
  1. Écrire proprement avec une union l’ensemble de définition de $f$.\\
  2. Montrer proprement que \[ f(x)=\Frac{2}{3}x-\Frac{2}{45}x^3+o(x^3). \]
    1. Montrer que $f$ admet un prolongement par continuité en $0$ que l’on notera encore $f$.\\
    2. Préciser l’équation de la tangente en $0$, puis la position courbe-tangente au voisinage de $0$.
  4. On pose maintenant \[ g(x)=(x-1)^2\arctan\parenthese{\Frac{1}{x}} \] pour tout $x\in\R$.\\
    1. Donner un développement asymptotique en $+\infty$ de $g$ sous la forme \[ g(x)=ax+b+\Frac{c}{x}+o\parenthese{\Frac{1}{x}}. \]
    2. En déduire une asymptote oblique en $+\infty$ à la courbe de $g$.
Exercice 3241. Les questions suivantes sont indépendantes.\\
  1. Soit $n\geqslant 2$. On considère le polynôme \[ P_n=X^n-nX+1. \]
    1. Montrer que $P_n$ admet exactement une racine réelle entre $0$ et $1$ notée $x_n$.\\
    2. Justifier que $(x_n)$ est décroissante, puis qu’elle converge.\\
    3. Déterminer la limite de $x_n$ lorsque $n\to +\infty$.\\
    4. Justifier que $x_n^n=o(nx_n)$.\\
    5. Donner un équivalent de $(x_n)$.
  2. Soit $n\in\N^*$, on pose \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{\sqrt{k}}. \] Donner un équivalent de $u_n$ par comparaison série-intégrale.
Exercice 3242. Pour tout $n \in \N^*$, on définit \[ P_n=\Sum_{k=0}^{n}\Frac{1}{k+1}\binom{2k}{k}X^k. \]
  1. Soit $n \in \N^*$.
    1. Montrer que $\sqrt{1-4x}=1-2xP_n(x)+o\left(x^{n+1}\right)$.
    2. En déduire l’existence de $Q_n \in \R[X]$ tel que $1-4X=\left(1-2XP_n(X)\right)^2+X^{n+2}Q_n(X)$.
  2. Racines carrées des matrices unipotentes. Soit $N \in M_n(\R)$ telle que $N^n=0$. Utiliser ce qui précède pour montrer l’existence de $R \in M_n(\R)$ telle que $R^2=I_n+N$. Pour tout $n \in \N$, on définit le $n$-ième nombre de Catalan $C_n=\Frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.
  3. Relation de récurrence. Soit $n \in \N^*$.
    1. Montrer que $XP_n(X)^2=P_n(X)-1-\Frac{1}{4}X^{n+1}Q_n(X)$.
    2. En déduire la formule $C_n=\Sum_{k=0}^{n-1}C_kC_{n-1-k}$.
Exercice 3243. Soit $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ telle que \[ f(0)=f'(0)=0 \quad\text{et}\quad f''(0) > 0. \] Montrer qu'il existe un réel $\alpha > 0$ ainsi qu'une fonction $h$ de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ de $[-\alpha,\alpha]$ dans $\mathbb{R}$ telle que \[ f(x)=h(x)^2 \] pour tout $x \in [-\alpha,\alpha]$.
Exercice 3244. Soit \[ f_n : x\in[0,n]\mapsto \Prod_{i=0}^n(x-i)\in\mathbb{R}. \] Trouver un équivalent simple de \[ \|f_n\|_\infty \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 3245. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et croissante. On pose \[ F(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \]
  1. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $F(x)\sim \Frac{x^\alpha}{\alpha}$ en $+\infty$. Montrer que \[ f(x)\sim x^{\alpha-1}. \]
  2. On suppose, toujours en $+\infty$, que $F(x)=\Frac{x^2}{2}+o(x)$. Montrer que \[ f(x)=x+o(\sqrt{x}). \]
Exercice 3246. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $]-1,1[\setminus\{0\}$, et $\beta_1,\ldots,\beta_n$ des nombres réels.\\ Montrer qu'il existe une suite bornée $(c_k)_{k\in\mathbb{N}}$ d'entiers relatifs telle que la fonction \[ f:t \in ]-1,1[\mapsto \Sum_{k=0}^{+\infty}c_kt^k \] vérifie \[ \forall i \in \{1,\ldots,n\},\quad f(\alpha_i)=\beta_i. \]
Exercice 3247. Soient \[ D=\{z \in \mathbb{C}\mid |z|\leqslant 1\}. \] Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues de $D$ dans $\mathbb{C}$ dont la restriction à \[ D^\circ=\{z \in \mathbb{C}\mid |z| < 1\} \] est développable en série entière.\\
  1. Soit $f \in E$. On écrit, pour tout $z \in D^\circ$, \[ f(z)=\Sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n. \] Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, \[ a_n=\frac{1}{2\pi}\integrale{0}{2\pi}{f(e^{i\theta})e^{-in\theta}}{\theta}. \]
  2. Montrer que, si $f \in E$, \[ \max_{z \in D}|f(z)|=\max_{|z|=1}|f(z)|. \]
  3. Montrer qu'il existe $K > 0$ tel que, pour toute $f \in E$ écrite comme dans la question $1$ et tout $N \geqslant 2$, \[ \left|\Sum_{n=0}^N a_n\right|\leqslant K\|f\|_\infty \ln N. \]
Exercice 3248. Soient $a \in \mathbb{R}_+^*$ et $f$ une fonction continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telle que \[ \integrale{-\infty}{+\infty}{f(t)^2}{t} \] converge.\\ Montrer que l'équation différentielle \[ y'-ay=f \] admet une unique solution de carré intégrable sur $\mathbb{R}$.