Exercices divers

Exercice 2568. Soit \[ f_n : x\in[0,n]\mapsto \Prod_{i=0}^n(x-i)\in\mathbb{R}. \] Trouver un équivalent simple de \[ \|f_n\|_\infty \] lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice 2569. Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et croissante. On pose \[ F(x)=\integrale{0}{x}{f(t)}{t}. \]
  1. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $F(x)\sim \Frac{x^\alpha}{\alpha}$ en $+\infty$. Montrer que \[ f(x)\sim x^{\alpha-1}. \]
  2. On suppose, toujours en $+\infty$, que $F(x)=\Frac{x^2}{2}+o(x)$. Montrer que \[ f(x)=x+o(\sqrt{x}). \]
Exercice 2570.
  1. Calculer \[ \limn \left[\cos\left(\frac{n\pi}{3n+1}\right)+\sin\left(\frac{n\pi}{6n+1}\right)\right]^n. \]
  2. Calculer \[ \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{a^{1/x}+b^{1/x}+c^{1/x}}{3}\right)^x. \]
  3. Calculer $f^{(n)}(0)$ dans les deux cas suivants :\\ \[ f(x)=\arctan x \qquad \text{et} \qquad f(x)=\frac{x^4}{1+x^6}. \]
Exercice 2571. Soient $f$ et $g$ deux fonctions impaires de classe $C^3$ au voisinage de $0$ avec $g^{(3)}(0)\neq 0$.\\ Calculer \[ \lim_{x\to 0}\Frac{f(x)-2f(2x)+f(3x)}{g(x)-2g(2x)+g(3x)}. \]
Exercice 2572. Prouver la liberté de la famille de fonctions \[ \parenthese{x\mapsto 1,\;x\mapsto \exp(x)\th(x),\;x\mapsto \exp(x)\th^2(x),\dots,\;x\mapsto \exp(x)\th^n(x)}. \]
Exercice 2573. Soit $n\in\N^*$.\\ Déterminer tous les polynômes $P(X)$ tels que $X^n$ divise \[ 1+X-P^2(X). \]
Exercice 2574. Soit $P(X)\in \R[X]$.\\ On suppose qu'une fonction $f$ dérivable sur $\R$ vérifie \[ f'(x)=P(f(x)). \]
  1. Montrer que $f$ est $C^{\infty}$.
  2. On suppose $f(0)=0$. Calculer le $DL_3(0)$ de $f$.
Exercice 2575. On considère la suite de polynômes $(P_n)_{n\geqslant 2}$ définie par \[ \forall n \geqslant 2,\; P_n=X^n-nX+1. \]
  1. Montrer que $\forall n \geqslant 2$, $\exists !x_n\in [0;1]$ tel que $x_n$ est racine de $P_n$.\\
  2. Donner un équivalent de $x_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ puis un développement asymptotique à deux termes.