Fractions rationnelles

Exercice 3503. Soit $f : ]0,+\infty[ \to \R$ définie par \[ f(x)=\frac{x^4+x^3+4x^2+2x+2}{x^3+x}. \] En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer \[ \integrale{1}{2}{f(x)}{x}. \]
Exercice 3504. Soit $f : ]1,+\infty[ \to \R$ définie par \[ f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}. \] En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en $2$.
Exercice 3505. Soit $P \in \C[X]$. \\
  1. Décomposer en éléments simples $\Frac{P'}{P}$. \\
  2. Déterminer les polynômes $P \in \C[X]$ tels que $\Frac{P'}{P}$ soit une fraction rationnelle simple.
Exercice 3506. Soit $P \in \R[X]$ un polynôme scindé à racines simples de degré $n \geqslant 2$, que l'on note \[ P=\Prod_{k=1}^n (X-x_k). \]
  1. Si $0$ n'est pas racine de $P$, calculer $\Sum_{k=1}^n \frac{1}{x_kP'(x_k)}$. \\
  2. Calculer $\Sum_{k=1}^n \frac{1}{P'(x_k)}$.
Exercice 3507. En effectuant une décomposition en éléments simples, déterminer pour tout $n \geqslant 1$ la dérivée $n$-ième de la fonction \[ f(x)=\frac{1}{x^2-3x+2}, \] là où elle est bien définie.
Exercice 3508. Décomposer les fractions rationnelles suivantes : \\
  1. $\Frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$ sur $\R$.\\
  2. $\Frac{X^2+3X+1}{(X-1)^2(X-2)}$ sur $\R$.\\
  3. $\Frac{1}{X^4-1}$ sur $\C$.
Exercice 3509. Soient $p$ et $n$ deux entiers avec \[ 0 \leqslant p < n. \] Former la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ de \[ \Frac{X^p}{X^n-1}. \]
Exercice 3510. Soient $n \in \mathbb{N}^{*}$, $z_{1},\ldots,z_{n}\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, $P=\Prod_{i=1}^{n}(X-z_{i})$.\\ \\ Calculer, pour tout $k\in\{0,\ldots,n-1\}$, $A_{k}=\Sum_{i=1}^{n}\Frac{z_{i}^{k}}{P'(z_{i})}$.
Exercice 3511. Soit $F(X)$ une fraction rationnelle non constante dans $\mathbb{C}(X)$.\\
  1. Montrer que l'ensemble image de la fonction rationnelle $z\mapsto F(z)$ est soit $\mathbb{C}$ tout entier, soit $\mathbb{C}$ privé d'un point.\\
  2. On suppose que $F(X)$ n'est pas un polynôme. Soit $G(X)\in\mathbb{C}(X)\setminus\mathbb{C}$ tel que $F\circ G(X)$ soit, après simplifications, un polynôme. Montrer que $F(X)$ n'admet qu'un seul pôle $z_0$ et que $G(\mathbb{C})=\mathbb{C}\setminus\{z_0\}$.
Exercice 3512. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$ de représentant irréductible $\Frac{P}{Q}$.\\ Montrer que $F$ est paire si, et seulement si, les polynômes $P$ et $Q$ sont tous deux pairs.
Exercice 3513. Exprimer la dérivée d'ordre $n$ de \[ \Frac{1}{X(X^2+1)}. \]
Exercice 3514. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ les fractions rationnelles $F$ suivantes :\\
  1. $F=\Frac{X^{3}}{(X-1)(X-2)}$.\\
  2. $F=\Frac{X}{(X-1)^{2}(X+2)}$.\\
  3. $F=\Frac{X^{5}+1}{X^{2}(X-1)^{2}}$.\\
  4. $F=\Frac{X^{4}+X+1}{X(X^{2}+1)^{3}}$.
Exercice 3515. Donner les D.E.S. dans $\mathbb{C}(X)$ de :\\
  • $\Frac{X-2}{(X^2-1)^2(X^2+X+1)}$.\\
  • $\Frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$.\\
  • $\Frac{1}{(X-1)(X^n-1)}$.
Exercice 3516. Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Effectuer les D.E.S. dans $\mathbb{C}(X)$ de :\\
  • $F_1(X)=\Frac{X^{2n}+1}{X^{4n}+1}$.\\
  • $F_2(X)=\Frac{X^{2n}+X^n+3}{X^{2n}+X^n-2}$.
Exercice 3517. Soit $F\in\mathbb{C}(X)$ telle que, pour tout $n\in\mathbb{N}$ non pôle de $F$, on ait $F(n)\in\mathbb{Q}$.\\ Montrer que $F\in\mathbb{Q}(X)$.
Exercice 3518. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $\omega=e^{\frac{2i\pi}{n}}$.\\
  1. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ vérifiant $P(\omega X)=P(X)$.\\ Montrer qu'il existe un polynôme $Q\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=Q(X^n)$.\\
  2. En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle \[ F=\Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{X+\omega^k}{X-\omega^k}. \]
Exercice 3519. Soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ des complexes deux à deux distincts et \[ P=(X-\lambda_1)\dots(X-\lambda_n). \] Exprimer en fonction de $P$ et de ses dérivées les fractions \[ F=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{X-\lambda_k},\quad G=\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{(X-\lambda_k)^2},\quad H=\Sum_{1\leqslant k,\ell\leqslant n \atop k\neq \ell}\Frac{1}{(X-\lambda_k)(X-\lambda_\ell)}. \]
Exercice 3520. Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F$ telle que $F^2=X$.
Exercice 3521. Soit \[ P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_nx^n \] un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles.\\
  1. Montrer \[ \forall x\in\mathbb{R},\quad (P'^2-PP'')(x)\geqslant 0. \]
  2. En déduire \[ \forall k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket,\quad a_{k-1}a_{k+1}\leqslant a_k^2. \]
Exercice 3522. Calculer la fraction rationnelle \[ F(X)=\sum_{k=0}^{n-1}\Frac{1}{X-\omega_k} \qquad\text{où}\qquad \omega_k=\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}}. \]
Exercice 3523. Soit $P\in\mathbb{R}_n[X]$ scindé à racines simples $(x_1,\dots,x_n)$.\\ Montrer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{P''(x_k)}{P'(x_k)}=0. \]
Exercice 3524. Soit $P$ un polynôme de degré $n$ vérifiant \[ \integrale{0}{1}{x^kP(x)}{x}=0 \] pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$.\\ Montrer \[ \integrale{0}{1}{(P(x))^2}{x} = (n+1)^2\left(\integrale{0}{1}{P(x)}{x}\right)^2. \]
Exercice 3525. Soient $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts, tels que \[ \forall i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket,\quad a_i+\alpha_j\neq 0. \] Résoudre le système \[ \left\{ \begin{array}{c} \Frac{x_1}{a_1+\alpha_1}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_1}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_1}=1\\ \Frac{x_1}{a_1+\alpha_2}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_2}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_2}=1\\ \vdots\\ \Frac{x_1}{a_1+\alpha_n}+\Frac{x_2}{a_2+\alpha_n}+\dots+\Frac{x_n}{a_n+\alpha_n}=1 \end{array} \right. \]
Exercice 3526. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1,\dots,x_n$.\\
  1. Former la décomposition en éléments simples de $\Frac{P''}{P}$.\\
  2. En déduire que \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{P''(x_k)}{P'(x_k)}=0. \]
Exercice 3527. Soit $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ admettant au moins deux racines réelles et tel que $P''(X)$ divise $P(X)$. Montrer que le polynôme $P(X)$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
Exercice 3528. Soit $F(X)\in\mathbb{C}(X)$. Montrer que $F'(X)\neq \dfrac{1}{X}$.
Exercice 3529. Soit $n\in\mathbb{N}$.\\
  1. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n(X)\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x\in\mathbb{R}^*,\;P_n\parenthese{x+\Frac{1}{x}}=x^n+\Frac{1}{x^n}$.\\
  2. Effectuer la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^n}{1+X^{2n}}$ dans $\mathbb{C}(X)$.\\
  3. En déduire la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^n}{1+X^{2n}}$ dans $\mathbb{R}(X)$.\\
  4. En déduire la formule de la D.E.S. dans $\mathbb{R}(X)$ : $\dfrac{1}{P_n(X)}=\dfrac{1}{n}\Sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{(-1)^k\sin\parenthese{\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}}}{X-2\cos\parenthese{\dfrac{(2k+1)\pi}{2n}}}$.
Exercice 3530. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ deux à deux distincts.\\ On pose \[ Q=\Prod_{k=1}^{n}(X-z_k). \]
  1. Pour $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, exprimer la décomposition en éléments simples de $\Frac{X^p}{Q}$ à l'aide des $Q'(z_k)$.\\
  2. En déduire, pour $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, la valeur de \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{z_k^p}{Q'(z_k)}. \]
Exercice 3531. Soit $P\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme scindé à racines simples $x_1,\dots,x_n$.\\
  1. Former la décomposition en éléments simples de la fraction $\Frac{1}{P}$.\\
  2. On suppose $P(0)\neq 0$. Observer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{x_kP'(x_k)}=-\Frac{1}{P(0)}. \]
Exercice 3532. Soit \[ F=\Frac{1}{(X-1)^3(X+1)^3}. \]
  1. Quelle relation existe entre la partie polaire de $F$ en $1$ et celle en $-1$ ?\\
  2. Former la décomposition en éléments simples de la fraction $F$.\\
  3. En déduire un couple $(U,V)\in\mathbb{R}[X]^2$ tel que \[ (X+1)^3U+(X-1)^3V=1. \]
Exercice 3533. On pose $\omega_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ avec $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$ et $n\geqslant 2$.\\ Réduire au même dénominateur \[ F=\Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{1}{X-\omega_k}. \]
Exercice 3534. Soit \[ F=\Frac{1}{X^2+1}\in\mathbb{C}(X). \]
  1. En réalisant la décomposition en éléments simples de $F$, exprimer $F^{(n)}$.\\
  2. Montrer qu'il existe $P_n\in\mathbb{R}_n[X]$ tel que \[ F^{(n)}=\Frac{P_n}{(X^2+1)^{n+1}}. \]
  3. Déterminer les zéros de $P_n$.
Exercice 3535. Soient $n\in\mathbb{N}$ tel que $n\geqslant 2$ et $p\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$.\\ On pose pour $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$, \[ \omega_k=\exp\left(\Frac{2ik\pi}{n}\right). \] Mettre sous forme irréductible la fraction \[ \Sum_{k=0}^{n-1}\Frac{\omega_k^p}{X-\omega_k}. \]
Exercice 3536. Soit la fraction \[ F=\Frac{1}{X(X+1)}. \]
  1. Réaliser la décomposition en éléments simples de $F$.\\
  2. En déduire une simplification, pour $n\geqslant 1$, de \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}. \]
  3. Procéder de même pour calculer \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)(k+2)}. \]
Exercice 3537. Montrer qu'il n'existe pas de $F\in\mathbb{C}(X)$ telle que \[ F'=\Frac{1}{X}. \]
Exercice 3538. Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ la fraction rationnelle \[ \Frac{X^{n-1}}{X^n-1}. \]
Exercice 3539. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$.\\
  1. Soit $a$ un zéro d'ordre $\alpha\geqslant 1$ de $F$. Montrer que $a$ est zéro d'ordre $\alpha-1$ de $F'$.\\
  2. Comparer les pôles de $F$ et de $F'$, ainsi que leur ordre de multiplicité.
Exercice 3540. Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.\\ Déterminer les racines et les pôles de \[ F=\Frac{X^p-1}{X^q-1} \] en précisant les multiplicités respectives.
Exercice 3541. Déterminer un supplémentaire de $\mathbb{K}[X]$ dans $\mathbb{K}(X)$.
Exercice 3542. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.\\
  1. Soit $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(\omega X)=P(X)$. Montrer qu'il existe $Q(X)\in\mathbb{C}[X]$ tel que $P(X)=Q(X^n)$.\\
  2. Soit $F(X)\in\mathbb{C}(X)$ tel que $F(\omega X)=F(X)$. Existe-t-il une fraction rationnelle $G(X)\in\mathbb{C}(X)$ telle que $F(X)=G(X^n)$ ?\\
  3. Mettre la fraction $H(X)=\Sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{X+\omega^k}{X-\omega^k}$ sous forme de fraction irréductible.
Exercice 3543. Étudier les suites :\\
  • $\parenthese{\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{k(k+1)}}_{n\in\mathbb{N}^*}$.\\
  • $\parenthese{\Sum_{k=3}^{n}\Frac{1}{k^2+k-6}}_{n\geqslant 3}$.
Exercice 3544. Soit $F\in\mathbb{K}(X)$.\\ Montrer que \[ \deg(F') < \deg(F)-1 \Longrightarrow \deg(F)=0. \]
Exercice 3545. Effectuer la décomposition en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ des fractions rationnelles suivantes :\\
  1. $\Frac{X^2+2X+5}{X^2-3X+2}$.\\
  2. $\Frac{X^2+1}{(X-1)(X-2)(X-3)}$.\\
  3. $\Frac{1}{X(X-1)^2}$.\\
  4. $\Frac{2X}{X^2+1}$.\\
  5. $\Frac{1}{X^2+X+1}$.\\
  6. $\Frac{4}{(X^2+1)^2}$.\\
  7. $\Frac{3X-1}{X^2(X+1)^2}$.\\
  8. $\Frac{1}{X^4+X^2+1}$.\\
  9. $\Frac{3}{(X^3-1)^2}$.
Exercice 3546. Soient $n\in\mathbb{N}^*$ et $P(X)\in\mathbb{C}[X]$ un polynôme à racines simples $z_1,\dots,z_n$.\\
  1. Calculer $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{P'(z_k)}$.\\
  2. Lorsque les $z_k$ sont non nuls, calculer $\Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{z_kP'(z_k)}$.
Exercice 3547. Soit $n\in\mathbb{N}^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$.\\
  1. Mettre la fraction rationnelle $F(X)=\Sum_{\omega\in U_n}\Frac{\omega^k}{X-\omega}$ sous forme irréductible.\\
  2. Mettre la fraction rationnelle $G(X)=\Sum_{\omega\in U_n}\Frac{\omega^k}{X^2-\omega}$ sous forme irréductible.
Exercice 3548. \\
  1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb{N}$, il existe un seul polynôme $P_n(X)$ tel que : $\forall \theta\in\mathbb{R},\;P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$.\\
  2. Effectuer la D.E.S. dans $\mathbb{R}(X)$ de $\Frac{1}{P_n(X)}$.
Exercice 3549. Soit $P(X)$ un polynôme scindé dans $\mathbb{C}[X]$.\\
  1. Déterminer en fonction des racines et de leurs multiplicités dans $P(X)$ la D.E.S. de $\Frac{P'(X)}{P(X)}$.\\
  2. En déduire qu'il n'existe aucun polynôme $P(X)\in\mathbb{R}[X]$ tel que $\Frac{P'(X)}{P(X)}=\Frac{X^2+1}{X^3-1}$.\\
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}[X]$ : $\Frac{P'(X)}{P(X)}=\Frac{2}{X-1}+\Frac{3}{X}$.
Exercice 3550. Soit $P \in \C[X]$ un polynôme de degré $n \geqslant 2$ qui possède $n$ racines distinctes $a_1,a_2,\dots,a_n$. Montrer que :\\ \[ \Sum_{k=1}^{n}\Frac{1}{P'(a_k)}=0. \]
Exercice 3551. Soit $n \in \N^*$. On note $V_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de $-1$ dans $\C$.\\
  1. Décomposer en éléments simples sur $\C$ la fraction $F(X)=\Frac{1}{X^n+1}$.\\
  2. Calculer \[ \Sum_{z \in V_n}\Frac{z}{1-z}. \]
  3. Montrer : \[ \forall P \in \C_n[X],\; XP'(X)=\Frac{n}{2}P(X)+\Frac{2}{n}\Sum_{z \in V_n}\Frac{zP(z)X}{(z-1)^2}. \]