Matrices des applications linéaires

Exercice 5560. Soient $S$ et $T$ les deux endomorphismes de $\mathbb{R}^2$ définis par \\ \[ S(x,y) = (2x-5y,-3x+4y) \quad \mathrm{et} \quad T(x,y) = (-8y,7x+y). \]
  1. Déterminer les matrices de $S$ et $T$ dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$. \\
  2. Déterminer les applications linéaires $S+T$, $S \circ T$, $T \circ S$ et $S \circ S$ ainsi que leurs matrices dans la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
Exercice 5561. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ de base $B = (e_1,\dots,e_n)$, et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que, pour tout $i \in \llbracket 1,n-1 \rrbracket$, $f(e_i) = e_{i+1}$ et $f(e_n) = e_1$. \\ On pose $M = \mathrm{Mat}_B(f)$. \\
  1. Montrer que $M^n = I_n$. En déduire que $f$ est bijective et donner la matrice de $f^{-1}$. \\
  2. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\varphi \in \mathcal{L}(E)$. On suppose que $\mathrm{Im}(\varphi-\mathrm{id}_E) \subset \ker(\varphi-\mathrm{id}_E)$ et que $\ker(\varphi-\mathrm{id}_E)$ est de dimension $n-1$. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $\varphi$ est \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \alpha & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & 1 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5562. Soient $A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ tels que \[ AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
  1. Démontrer que $BA = I_2$. \\
  2. Soit \[ B = \begin{pmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & A_n \end{pmatrix}. \] Donner le rang de $B$ en fonction des rangs des matrices $A_i$.
Exercice 5563. Soit $E$ un espace vectoriel de base $B = (e_1,\dots,e_n)$. \\ On pose \[ C = (e_1,\ e_1+e_2,\ e_1+e_2+e_3,\ \dots,\ e_1+\cdots+e_n). \]
  1. Donner les matrices de passage de $B$ à $C$. \\
  2. Soient $B$ et $C$ deux bases de $E$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. On pose $M = \mathrm{Mat}_B(f)$ et $N = \mathrm{Mat}_C(f)$. Montrer que si $M$ est inversible, nilpotente ou idempotente, alors $N$ aussi.
Exercice 5564. Soit $(\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $w_1=(1,-2,0)$, $w_2=(-1,2,0)$, $w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par \\ \[ u(\mathcal{E}_1)=w_1,\quad u(\mathcal{E}_2)=w_2,\quad u(\mathcal{E}_3)=w_3. \]
  1. Exprimer $w_1$, $w_2$, $w_3$ en fonction de $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ et $\mathcal{E}_3$. En déduire la matrice de $u$ dans la base canonique. \\
  2. Soit $W=(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$. Calculer $u(W)$. \\
  3. Trouver une base de $\ker(u)$ et une base de $\mathrm{Im}(u)$. \\
  4. Montrer que $\mathbb{R}^3 = \ker(u) \oplus \mathrm{Im}(u)$. \\
  5. Déterminer $\ker(u-\mathrm{Id})$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{Id})$ où $\mathrm{Id}$ désigne l'identité de $\mathbb{R}^3$. En déduire que $u-\mathrm{Id}$ est un automorphisme de $\mathbb{R}^3$.
Exercice 5565. On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est : \\ \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}. \] Donner une base de $\ker(f)$ et de $\mathrm{Im}(f)$.
Exercice 5566. On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice dans la base canonique est : \\ \[ M= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -3 & -3 & 3 \\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix}. \] Donner une base de $\ker(f)$ et de $\mathrm{Im}(f)$. En déduire que $M^n=0$ pour tout $n \geqslant 2$.
Exercice 5567. Soit \[ A= \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] et $f$ l'application de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ définie pour tout $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ par \[ f(M)=AM. \]
  1. Montrer que $f$ est linéaire. \\
  2. Déterminer sa matrice dans la base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.
Exercice 5568. Soit $\varphi$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ défini par \[ \varphi(P)=P(X+1). \]
  1. Écrire la matrice $A$ de $\varphi$ dans la base canonique $B$ de $\mathbb{R}_n[X]$.
  2. Justifier que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Exercice 5569. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $3$ muni d'une base $B=(e_1,e_2,e_3)$.\\ Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans $B$ est \[ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \] On pose $\varepsilon_1=e_1+e_3$, $\varepsilon_2=e_1+e_2$, $\varepsilon_3=e_1+e_2+e_3$.\\
  1. Montrer que $B'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans $B'$.
  2. Calculer $A^n$.
Exercice 5570. Soient $u,v : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]$ définies par \[ u(P)=P(X+1) \quad \mathrm{et} \quad v(P)=P(X-1). \]
  1. Calculer $\rg(u-v)$ en utilisant sa matrice.\\
  2. Retrouver ce résultat d’une autre manière.
Exercice 5571. Soit $a\in\R$.\\ On définit $\Phi_a:\R_n[X]\to\R_n[X]$ par \[ \Phi_a(P)=P(X+a). \]
  1. Démontrer que $\Phi_a$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$.\\
  2. Écrire la matrice $M_a$ de $\Phi_a$ dans la base canonique de $\R_n[X]$.\\
  3. Démontrer que $M_a$ est inversible et calculer $M_a^{-1}$.
Exercice 5572. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2\\ 14 & -10 & 4\\ 16 & -10 & 3 \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que $B=\left((1,2,1),(1,2,2),(0,1,2)\right)$ est une base de $\mathbb{R}^3$.\\
  2. Calculer $\mathrm{Mat}_B(A)$.\\
  3. Calculer la matrice $P$ de passage de la base canonique vers $B$.\\
  4. Calculer $P^{-1}$, puis $P^{-1}AP$. Qu'en déduit-on ?
Exercice 5573. On considère les espaces $E=\mathbb{C}_3[X]$ et $F=\mathbb{C}_2[X]$, puis \[ f:P(X)\longmapsto P'(X+1)+XP''(X+2). \]
  1. Déterminer la matrice $A$ représentant l'application linéaire $f$ selon les bases canoniques de $E$ et $F$.\\
  2. Montrer que les familles $B=(X^2+1,X^2+2,2X^2+3X-1,-X^3+X+1)$ et $B'=(2-X,3-X,1-X^2)$ forment des bases respectives de $E$ et $F$.\\
  3. Déterminer la matrice $B$ représentant l'application linéaire $f$ selon les bases $B$ de $E$ et $B'$ de $F$.\\
  4. Calculer les matrices $P$ de passage de la base canonique de $E$ à $B$, puis $Q$ de passage de la base canonique de $F$ à $B'$.\\
  5. Calculer $P^{-1}$ et $Q^{-1}$.\\
  6. Vérifier que $Q^{-1}AP=B$.
Exercice 5574. Montrer que la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \] est semblable à la matrice \[ D= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5575. Soient $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ et \[ M_{\alpha,\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & \alpha & \beta \\ 2 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}. \]
  1. Déterminer les valeurs de $\alpha,\beta$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_{\alpha,\beta}$ est surjective. \\
  2. Montrer à l'aide du théorème du rang, dans sa version géométrique, que toute matrice carrée non inversible est équivalente à une matrice nilpotente.
Exercice 5576. Soient $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\in M_2(\R)$.\\ \[ E=\{M(x,y)=xI+yJ,\ (x,y)\in\R^2\}. \]
  1. Montrer que $E$ est un $\R$-ev ; en donner une base et la dimension.\\
  2. Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un anneau commutatif.\\
  3. Quels sont les éléments de $E$ inversibles (pour $\cdot$ dans $E$) ?\\
  4. Résoudre les équations, d'inconnue $X\in E$ :\\
    1. $X^2=I$\\
    2. $X^2=0$\\
    3. $X^2=X$
  5. Pour $(x,y)\in\R^2$ et $n\in\N^*$, calculer $(M(x,y))^n$
Exercice 5577. Soient $x_1,\dots,x_n\in\K$. On appelle matrice de Vandermonde de $x_1,\dots,x_n$ la matrice \[ V= \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que si $x_1,\dots,x_n$ sont distincts alors la matrice $V$ est inversible.\\
  2. Que dire de la réciproque ?
Exercice 5578. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
  2. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC=CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
    • $\mathrm{Tr}({}^tAA)=0 \Longrightarrow A=0$ ;\\
    • $AB-BA={}^tCC \Longrightarrow AB=BA$ ;\\
    • $AB-BA=\lambda I_n \Longrightarrow AB=BA$.
  3. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu'elles ont la même trace.\\
  4. Montrer que pour toute forme linéaire $\varphi:\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$, il existe $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(X)=\mathrm{Tr}(MX)$ pour tout $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$
Exercice 5579. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ vérifiant \[ \forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\quad \varphi(AB)=\varphi(BA). \] Montrer que $\varphi$ est proportionnelle à la trace. Indication : utiliser la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
Exercice 5580. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
  1. Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
  2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne, sans modifier les autres ? Cette transformation est notée $L_i \longleftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
  3. Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \longleftrightarrow L_j$
Exercice 5581. Soit $A$ la matrice de $\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ définie par \[ a_{i,j}= \begin{cases} \binom{j-1}{i-1} & \mathrm{si}\ i \leqslant j \\ 0 & \mathrm{sinon} \end{cases}. \]
  1. Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. \\
  2. En déduire que $A$ est inversible, et calculer son inverse.
Exercice 5582. Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $\phi \in \mathcal{L}(E)$. On dit que $\phi$ est une transvection si
  • $\mathrm{Im}(\phi-\mathrm{Id}_E) \subset \ker(\phi-\mathrm{Id}_E)$, \\
  • $\ker(\phi-\mathrm{Id}_E)$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$.
Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $\phi$ peut s'écrire \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \alpha & 1 & 0 & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \] où $\alpha \in \mathbb{R}^*$.
Exercice 5583. Soit $A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ tels que \[ AB= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] Démontrer que \[ BA=I_2. \]
Exercice 5584. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice à diagonale dominante, c'est-à-dire que pour tout $i \in \{1,\dots,n\}$, on a \[ |a_{i,i}| > \Sum_{j \neq i}|a_{i,j}|. \] Montrer que la matrice $A$ est inversible.
Exercice 5585. Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f \neq 0$ et $f^2=0$.
  1. Démontrer que $\dim(\ker(f))=2$. \\
  2. En déduire qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5586. Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}^2$ dont la matrice dans leurs bases canoniques respectives est \[ A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \end{pmatrix}. \] On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\mathbb{R}^2$. On pose \[ e_1'=e_2+e_3,\quad e_2'=e_3+e_1,\quad e_3'=e_1+e_2 \] et \[ f_1'=\Frac{1}{2}(f_1+f_2),\quad f_2'=\Frac{1}{2}(f_1-f_2). \]
  1. Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb{R}^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\mathbb{R}^2$. \\
  2. Quelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases ?
Exercice 5587. Soit $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n+1} \in M_{n+1}(\mathbb{R})$ la matrice dont le coefficient général est donné par \[ a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1}. \] Soit $\varphi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}_n[X])$ l'endomorphisme représenté par la matrice $A$ dans la base canonique $(1,X,\dots,X^n)$.\\
  1. Exprimer simplement $\varphi(P)$ pour tout $P \in \mathbb{R}_n[X]$.
  2. Calculer $A^m$ pour tout $m \in \mathbb{N}$.
  3. Calculer $A^{-1}$.
Exercice 5588. Soient $a \in \mathbb{C}^*$ et $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ définie par \[ f(z)=z+a\overline{z}. \]
  1. Former la matrice de l'endomorphisme $f$ du $\mathbb{R}$-espace vectoriel $\mathbb{C}$ dans la base $(1,i)$.
  2. Déterminer l'image et le noyau de $f$.
Exercice 5589. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 \neq 0$ et $f^3=0$.\\ Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5590. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $3$ muni d'une base $B=(e_1,e_2,e_3)$.\\ Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ dont la matrice dans $B$ est \[ A=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 1\\ -1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \] On pose $\varepsilon_1=e_1+e_3$, $\varepsilon_2=e_1+e_2$, $\varepsilon_3=e_1+e_2+e_3$.\\
  1. Montrer que $B'$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans $B'$.
  2. Calculer $A^n$.
Exercice 5591. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel muni d'une base $B=(e_1,e_2,e_3)$.\\ Soit $f$ dont la matrice dans $B$ est \[ A=\begin{pmatrix} 3 & -2 & 2\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que $f$ est diagonalisable.
  2. Déterminer la matrice de passage $P$ et $P^{-1}$.
  3. Relation entre $A,D,P$.
  4. Calculer $A^n$.
Exercice 5592. Soit $\omega$ une racine primitive $n$-ième de $1$.\\ On pose \[ F_\omega(P)=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{k=0}^{n-1}P(\omega^k)X^k \] pour tout $P \in \mathbb{C}_{n-1}[X]$.\\ Montrer que $F_\omega$ est un automorphisme de $\mathbb{C}_{n-1}[X]$ et exprimer son inverse.
Exercice 5593. Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n \geqslant 2$.\\
  1. Indiquer des endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de $E$.\\
  2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. Montrer que pour tout $i \in \{2,\dots,n\}$, la famille $(e_1+e_i,e_2,\dots,e_n)$ est une base de $E$.\\
  3. Déterminer tous les endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est diagonale dans toutes les bases de $E$.\\
  4. Quels sont les endomorphismes de $E$ dont la représentation matricielle est la même dans toutes les bases de $E$ ?
Exercice 5594. Quels sont les $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ tels que \[ f(\mathbb{Z}^n)=\mathbb{Z}^n \;? \]
Exercice 5595. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ une matrice fixée. On considère l’endomorphisme \[ f_A : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \longmapsto AM \]
  1. Exprimer la matrice de $f_A$ dans la base canonique raisonnablement ordonnée puis calculer le déterminant de $f_A$.\\
  2. Calculer le déterminant de l’endomorphisme \[ M \longmapsto M^{\top} \]
  3. Calculer le déterminant de l’endomorphisme \[ M \longmapsto P^{-1}MP \] pour $P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$.
Exercice 5596. Soit $D$ l’endomorphisme de $\mathbb{R}[X]$ défini par $D(P)=P'$.\\
  1. Pour $n \in \mathbb{N}$, montrer que $\mathbb{R}_n[X]$ est stable par $D$ et donner la matrice de l’endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ induit par $D$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
  2. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[X]$ de dimension finie non nulle stable par $D$.\\
    1. Montrer qu’il existe un entier $n \in \mathbb{N}$ et un polynôme $R$ de degré $n$ tels que $F \subset \mathbb{R}_n[X]$ et $R \in F$.\\
    2. Montrer que la famille $\mathcal{E}=(D^i(R))_{0 \leqslant i \leqslant n}$ est une famille libre de $F$.\\
    3. Montrer que $F=\mathbb{R}_n[X]$.\\
    4. Trouver tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}[X]$ de dimension finie stables par $D$.\\
Exercice 5597. On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\in \mathcal{L}(\R^3)$ dont la matrice dans la base canonique est \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 2&1&2\\ 3&2&1 \end{pmatrix} \]
  1. Trouver les droites vectorielles stables par $A^{\top}$.
  2. Montrer que si $P$ est un plan vectoriel de $\R^3$ de vecteur normal $n$ et stable par $f$, alors $n$ est vecteur propre de $A^{\top}$.
  3. Déterminer tous les sous-espaces stables par $A$.
Exercice 5598.
  1. Dans cette question, $f$ est l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ défini par sa matrice $M$ dans la base canonique : \[ M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
    1. Montrer que $f^3 = 0$.
    2. Déterminer une base de $\mathrm{Im}(f)$ et une base de $\mathrm{Ker}(f)$.
    3. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^3$, il existe $y \in \mathrm{Ker}(f)$ et $z \in \mathrm{Im}(f)$ tels que $x = y + z$.
  2. Dans cette question, $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ vérifiant $f \circ (f - \mathrm{Id})^2 = 0$.
    1. Déterminer $(f - \mathrm{Id})^2 + f \circ (2\,\mathrm{Id} - f)$.
    2. En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $x = (f-\mathrm{Id})^2(x) + (f \circ (2\,\mathrm{Id}-f))(x)$.
    3. Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $(f-\mathrm{Id})^2(x) \in \mathrm{Ker}(f)$.
    4. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, il existe $y \in \mathrm{Ker}(f)$ et $z \in \mathrm{Im}(f)$ tels que $x = y + z$.
    5. Calculer la dimension de $\mathrm{Ker}(f) \cap \mathrm{Im}(f)$.
Exercice 5599. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\ -1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}). \]
  1. Déterminer $\ker A$ et $\mathrm{Im} A$ et montrer qu'ils sont supplémentaires dans $\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$.\\
  2. Trouver une base $B_1$ de $\ker A$ et une base $B_2$ de $\mathrm{Im} A$. On pose $B=B_1 \cup B_2$, puis $P$ la matrice de passage de la base canonique de $\mathbb{R}^3$ à la base $B$.\\
  3. Calculer $P$ et $P^{-1}$.\\
  4. Calculer $P^{-1}AP$ de deux manières différentes.\\
  5. Proposer un calcul pour $A^n$, lorsque $n$ décrit $\mathbb{N}$.
Exercice 5600. Soit $A=(a_{i,j})\in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$ telle que : \[ \forall (i,j)\in \llbracket 1,n+1\rrbracket^2,\quad a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1}. \]
  1. Expliciter un endomorphisme $f$ sur un espace de polynômes dont $A$ est une matrice représentant $f$ selon une base.\\
  2. Montrer que la matrice $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
Exercice 5601.
  1. Montrer que $f:P(X)\longmapsto (X^2-1)P''(X)+2XP'(X)$ est dans $\mathcal{L}(\mathbb{R}_3[X])$.\\
  2. Déterminer la matrice de $f$ selon la base canonique de $\mathbb{R}_3[X]$.\\
  3. En déduire $\ker f$ et $\mathrm{Im} f$.\\
  4. Peut-on déterminer une base de $\mathbb{R}_3[X]$ selon laquelle l'endomorphisme $f$ est représenté selon une matrice diagonale ?
Exercice 5602.
  1. On travaille dans la base canonique $(1,X,\dots,X^n)$.\\ Pour tout $j\in \llbracket 0,n\rrbracket$, on a : \[ f(X^j)=(X+a)^j=\Sum_{i=0}^{j}\binom{j}{i}a^{j-i}X^i. \] Donc, pour tous $i,j\in \llbracket 1,n+1\rrbracket$ : \[ A_{i,j}= \binom{j-1}{i-1}a^{j-i}, \] avec la convention $\binom{j-1}{i-1}=0$ si $i>j$.\\ La matrice $A$ est donc triangulaire supérieure.
  2. L'application $f$ est inversible, d'application réciproque : \[ f^{-1}:P(X)\longmapsto P(X-a). \] Donc $A$ est inversible.\\ La matrice $A^{-1}$ est la matrice de $f^{-1}$ dans la base canonique.\\ Pour tout $j\in \llbracket 0,n\rrbracket$ : \[ f^{-1}(X^j)=(X-a)^j=\Sum_{i=0}^{j}\binom{j}{i}(-a)^{j-i}X^i. \] Donc : \[ (A^{-1})_{i,j} = \binom{j-1}{i-1}(-a)^{j-i}. \]
  3. Pour tout $k\in \mathbb{Z}$, l'application $f^k$ est : \[ f^k:P(X)\longmapsto P(X+ka). \] Ainsi $A^k$ est la matrice de $f^k$ dans la base canonique.\\ On obtient donc : \[ (A^k)_{i,j} = \binom{j-1}{i-1}(ka)^{j-i} \] pour tous $i,j\in \llbracket 1,n+1\rrbracket$, avec la convention habituelle lorsque $i>j$.
Exercice 5603. Montrer que la matrice \[ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -3 & -3 & 3\\ -2 & -2 & 2 \end{pmatrix} \] est semblable dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ à la matrice $E_{2,1}$.
Exercice 5604. Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{C})$ non nulles telles que $A^2=B^2=0$.\\
  1. Calculer $\mathrm{rg}(A)$.\\
  2. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
Exercice 5605. Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$. \\
  1. Que dire d'une matrice semblable à $I_n$ ? Que dire d'une matrice semblable à $0$ ? Que dire d'une matrice semblable à une matrice nilpotente ? \\
  2. Soit $M \in \mathcal{M}_n(K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice n'ayant que des $0$ sur la diagonale.
Exercice 5606. Soit $a \in \mathbb{R}$ et \[ A=\begin{pmatrix} -1&5&4\\ -4&a&8\\ -4&2&9 \end{pmatrix}. \] Montrer qu'il existe une unique valeur de $a$ pour laquelle $A$ est semblable à la matrice \[ T=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&5&1\\ 0&0&5 \end{pmatrix} \]

Exercice 5607. Centrale PSI 2019

\\ Notations :\\ $n$ désigne un entier naturel non nul et $E$ un $\mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension $n$. \\ Si $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on note $M^{\mathrm T}$ la transposée de la matrice $M$. \\ Si $M$ est une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on définit la suite des puissances de $M$ par $M^0 = I_n$ et, pour tout entier naturel $k$, $M^{k+1} = MM^k$. \\ De même, si $u$ est un endomorphisme de $E$, on définit la suite des puissances de $u$ par $u^0 = \mathrm{Id}_E$ et, pour tout entier naturel $k$, $u^{k+1} = u \circ u^k$. \\ Une matrice $M$ est dite nilpotente s’il existe un entier naturel $k \geqslant 1$ tel que $M^k = 0$. Dans ce cas, le plus petit entier naturel $k \geqslant 1$ tel que $M^k = 0$ s’appelle l’indice de nilpotence de $M$. \\ Soit $\mathcal{B}$ une base de $E$, un endomorphisme de $E$ est nilpotent d’indice $p$ si sa matrice dans $\mathcal{B}$ est nilpotente d’indice $p$. \\ On pose $J_1 = (0)$ et, pour $\alpha \geqslant 2$, $J_\alpha$ désigne la matrice de $\mathcal{M}_\alpha(\mathbb{C})$ ayant des $1$ sur la sous-diagonale et des $0$ ailleurs. \\ Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $B \in \mathcal{M}_m(\mathbb{C})$, on note $\mathrm{diag}(A,B)$ la matrice diagonale par blocs $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{n+m}(\mathbb{C})$. \\ Plus généralement, si $A_1 \in \mathcal{M}_{n_1}(\mathbb{C}), \ldots, A_k \in \mathcal{M}_{n_k}(\mathbb{C})$, on note $\mathrm{diag}(A_1,\ldots,A_k)$ la matrice diagonale par blocs associée. \\ I Premiers résultats \\
  1. Que peut-on dire d’un endomorphisme nilpotent d’indice $1$ ? \\ On suppose que $n=2$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ nilpotent d’indice $p \geqslant 2$. \\
  2. Montrer qu’il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que $u^{p-1}(x) \neq 0$. \\
  3. Vérifier que la famille $(u^k(x))_{0 \leqslant k \leqslant p-1}$ est libre. En déduire que $p=2$. \\
  4. Montrer que $\Ker u = \mathrm{Im}\,u$. \\
  5. Construire une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est égale à $J_2$. \\ On suppose que $n \geqslant 3$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ nilpotent d’indice $2$ et de rang $r$. \\
  6. Montrer que $\mathrm{Im}\,u \subset \Ker u$ et que $2r \leqslant n$. \\
  7. On suppose que $\mathrm{Im}\,u = \Ker u$. Montrer qu’il existe des vecteurs $e_1,e_2,\ldots,e_r$ de $E$ tels que $(e_1,u(e_1),e_2,u(e_2),\ldots,e_r,u(e_r))$ soit une base de $E$. \\
  8. Donner la matrice de $u$ dans cette base. \\
  9. On suppose que $\mathrm{Im}\,u \neq \Ker u$. Montrer qu’il existe des vecteurs $e_1,e_2,\ldots,e_r$ et des vecteurs $v_1,v_2,\ldots,v_{n-2r}$ appartenant à $\Ker u$ tels que $(e_1,u(e_1),e_2,u(e_2),\ldots,e_r,u(e_r),v_1,\ldots,v_{n-2r})$ soit une base de $E$. \\
  10. Quelle est la matrice de $u$ dans cette base ?

Exercice 5608. Centrale PSI 2019

\\ Réduction des matrices nilpotentes \\ On suppose $n \geqslant 2$. Soit $u$ un endomorphisme de $E$ nilpotent d’indice $p \geqslant 2$. \\
  1. Montrer que $\mathrm{Im}\,u$ est stable par $u$ et que l’endomorphisme induit par $u$ sur $\mathrm{Im}\,u$ est nilpotent. Préciser son indice de nilpotence. \\
  2. Pour tout vecteur $x$ non nul de $E$, on note $C_u(x)$ l’espace vectoriel engendré par les $(u^k(x))_{k \in \mathbb{N}}$ ; démontrer que $C_u(x)$ est stable par $u$ et qu’il existe un plus petit entier $s(x) \geqslant 1$ tel que $u^{s(x)}(x)=0$. \\
  3. Démontrer que $(x,u(x),\ldots,u^{s(x)-1}(x))$ est une base de $C_u(x)$ et donner la matrice, dans cette base, de l’endomorphisme induit par $u$ sur $C_u(x)$. \\
  4. Démontrer par récurrence sur $p$ qu’il existe des vecteurs $x_1,\ldots,x_t$ de $E$ tels que $E=\bigoplus_{i=1}^t C_u(x_i)$. \\ On pourra appliquer l’hypothèse de récurrence à l’endomorphisme induit par $u$ sur $\mathrm{Im}(u)$. \\
  5. Donner la matrice de $u$ dans une base adaptée à la décomposition $E=\bigoplus_{i=1}^t C_u(x_i)$.

Exercice 5609. Centrale PSI 2023

\\ Endomorphismes de rang donné \\ On suppose que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$. Son noyau est noté $\ker(f)$. \\ III.A - On suppose dans cette sous-partie que $f$ est un isomorphisme. On se donne une base $\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_n)$ de $\mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{B}'$ la base $(f(e_1),\ldots,f(e_n))$. \\ III.B - On suppose dans cette sous-partie que $f$ n’est pas l’endomorphisme nul et que $\ker(f) \neq \{0_{\mathbb{R}^n}\}$. \\ Soit $\mathcal{B}_2$ une base de $\ker(f)$, que l’on complète à gauche en une base $\mathcal{B}=(e_1,\ldots,e_k,\mathcal{B}_2)$ de $\mathbb{R}^n$. \\ On complète la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_k))$ en une base $\mathcal{B}'=(f(e_1),\ldots,f(e_k),f_{k+1},\ldots,f_n)$ de $\mathbb{R}^n$. \\ III.C - Dans toute la suite du problème, pour tout entier naturel $r \in [0,n]$, on note \\ \[ J_{n,r}=\mathrm{diag}(I_r,0_{n-r}) \] en convenant que $J_{n,n}=I_n$ et $J_{0,n}=0_n$. \\ Soit $M$ un élément de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de rang $r$. \\ III.D - On suppose dans cette sous-partie que $n=2$ et que $A$ et $B$ sont deux éléments de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de rang $1$. \\ On suppose $\mathrm{Im}\,A$ et $\mathrm{Im}\,B$ distinctes. \\
  1. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$. \\
  2. Montrer que la famille $(f(e_1),\ldots,f(e_k))$ est libre. \\
  3. Justifier que $k < n$. \\
  4. Déterminer $M_{\mathcal{B},\mathcal{B}'}(f)$. \\
  5. Montrer qu’il existe deux matrices $P$ et $Q$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que \\ \[ M=\Phi_{P,Q}(J_{n,r}). \]
  6. Montrer qu’il existe deux matrices $P_2$ et $Q_2$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que \\ \[ A=P_2\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}Q_2 \quad \mathrm{et} \quad B=P_2\begin{pmatrix}0&0\\ \alpha & \beta \end{pmatrix}Q_2 \] où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels, non tous deux nuls.
Exercice 5610. Soient \[ u : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \quad \mathrm{et} \quad v : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \] définies par \[ u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y) \] et \[ v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z). \]
  1. Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u$, $v$, $u \circ v$ et $v \circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u \circ v(x,y,z)$ et $v \circ u(x,y)$. \\
  2. Soient $B_2=\{ \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2 \}$ et $B_3=\{ f_1,f_2,f_3 \}$ les bases canoniques de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$. Montrer que \[ B_2'=\{ \mathcal{E}_1',\mathcal{E}_2' \} \quad \mathrm{et} \quad B_3'=\{ f_1',f_2',f_3' \} \] sont des bases de $\mathbb{R}^2$ et $\mathbb{R}^3$ respectivement, où \[ \mathcal{E}_1'=\mathcal{E}_1,\quad \mathcal{E}_2'=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2 \] et \[ f_1'=f_1,\quad f_2'=f_1+f_2,\quad f_3'=f_1+f_2+f_3. \]
  3. Donner la matrice de passage de la base $B_2$ à la base $B_2'$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $B_3$ à la base $B_3'$. \\
  4. Écrire la matrice de $u$ dans les bases $B_2'$ et $B_3$ puis dans les bases $B_2'$ et $B_3'$ et enfin celle de $v$ dans les bases $B_3'$ et $B_2'$.
Exercice 5611. Soient, dans $\mathbb{R}^3$, $P$ le plan d'équation \[ z=x-y \] et $D$ la droite d'équation \[ x=-y=z. \] Trouver la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^3$ de la projection $p$ de $\mathbb{R}^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
Exercice 5612. Soit $f$ un endomorphisme d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ vérifiant \[ f^n=0 \quad \mathrm{et} \quad f^{n-1} \neq 0. \]
  1. Justifier qu'il existe un vecteur $x \in E$ tel que la famille \[ B=(x,f(x),f^2(x),\dots,f^{n-1}(x)) \] forme une base de $E$.
  2. Déterminer les matrices de $f,f^2,\dots,f^{n-1}$ dans cette base.
  3. En déduire que \[ \{g \in \mathcal{L}(E) \mid g \circ f=f \circ g\} = \mathrm{Vect}(\mathrm{id},f,f^2,\dots,f^{n-1}). \]
Exercice 5613. Soit $f$ un élément non nul de $\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ vérifiant \[ f^3+f=0. \] Montrer que \[ \mathbb{R}^3=\ker(f)\oplus\mathrm{Im}(f) \] et que l’on peut trouver une base dans laquelle $f$ a pour matrice \[ A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5614. Soient $E$ un $\K$-ev de dimension $3$, $f\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f^3=0$ et $f^2\neq 0$.\\
  1. Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que la matrice de $f$ dans $\mathcal{B}$ soit\\ \[ N= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{pmatrix}. \]
  2. Déterminer le commutant $C_N$ de $N$ dans $M_3(\R)$, c'est-à-dire l'ensemble\\ \[ C_N=\{A\in M_3(\R)\,;\, AN=NA\}. \]
  3. En déduire, en notant $e=\mathrm{id}_E$ :\\ \[ \{g\in\mathcal{L}(E)\,;\, g\circ f=f\circ g\}=\mathrm{Vect}(e,f,f^2). \]
Exercice 5615. Soit $A\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A\neq 0$ et $A^2=0$.\\ On pose : \[ F=\{M\in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\mid AM+MA=0\}. \]
  1. Montrer que $F$ est un espace vectoriel.\\
  2. Établir l'existence d'une matrice $P\in \mathrm{GL}_3(\mathbb{C})$ telle que : \[ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =A'. \]
  3. En déduire $\dim F$.
Exercice 5616. Soit $n\in \mathbb{N}^*$.\\ On pose \[ f: \begin{array}{rcl} \mathbb{C}_n[X] & \longrightarrow & \mathbb{C}_n[X]\\ P & \longmapsto & (nX+1)P(X)-(X^2+1)P'(X). \end{array} \]
  1. Montrer que l'application $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{C}_n[X]$.\\
  2. Soit $\lambda\in \mathbb{C}$. On pose \[ E_\lambda=\{P\in \mathbb{C}_n[X]\mid f(P)=\lambda P\}. \]
    1. Montrer que $E_\lambda$ est un sous-espace de $\mathbb{C}_n[X]$.\\ On suppose trouvé $\lambda=\zeta+i\xi$, où $(\zeta,\xi)\in \mathbb{R}^2$, tel que $E_\lambda$ n'est pas réduit à $\{0\}$. Soit $P\in E_\lambda\setminus\{0\}$.\\
    2. Effectuer les décompositions en éléments simples dans $\mathbb{C}(X)$ des fractions rationnelles $\dfrac{P'}{P}$ et $\dfrac{nX+1-\lambda}{X^2+1}$.\\
    3. En déduire que $\zeta=1$ et $\xi=n-2k$, pour un certain entier $k\in \{0,\dots,n\}$.\\
    4. Montrer que pour tout $k\in \{0,\dots,n\}$, en posant $\lambda_k=1+i(n-2k)$, alors : \[ E_{\lambda_k}=\mathrm{Vect}\left((X-i)^k(X+i)^{n-k}\right). \]
  3. Montrer que la famille \[ \left((X-i)^k(X+i)^{n-k}\right)_{0\leqslant k\leqslant n} \] forme une base de $\mathbb{C}_n[X]$.\\
  4. Déterminer la matrice $A$ représentant canoniquement l'endomorphisme $f$.\\
  5. Diagonaliser la matrice $A$.