Matrices et dimension finie

Exercice 4184. On donne $a_0,a_1,\ldots,a_{n-1} \in \mathbb{K}$, et on considère la matrice suivante, dite matrice circulante :\\ \[ M=\begin{pmatrix} a_0&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&a_0&\cdots&a_{n-2}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_1&a_2&\cdots&a_0 \end{pmatrix}. \] Chaque ligne de $M$ se déduit de la précédente par la même permutation. Donner l'expression du terme général $(m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ de la matrice $M$
Exercice 4185. Soit $a \in \mathbb{R}$ et \[ A=\begin{pmatrix} -1&5&4\\ -4&a&8\\ -4&2&9 \end{pmatrix}. \] Montrer qu'il existe une unique valeur de $a$ pour laquelle $A$ est semblable à la matrice \[ T=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&5&1\\ 0&0&5 \end{pmatrix} \]
Exercice 4186. Soient $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de vecteurs d'un $K$-espace vectoriel $E$ de dimension $n$ et \[ \Phi : \mathcal{L}(E)\to E^n \] l'application définie par \[ \Phi(u)=(u(e_1),\dots,u(e_n)). \] À quelle condition sur la famille $(e_1,\dots,e_n)$ l'application $\Phi$ est-elle un isomorphisme d'espaces vectoriels ?
Exercice 4187. Soient $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\in M_2(\R)$.\\ \[ E=\{M(x,y)=xI+yJ,\ (x,y)\in\R^2\}. \]
  1. Montrer que $E$ est un $\R$-ev ; en donner une base et la dimension.\\
  2. Montrer que $(E,+,\cdot)$ est un anneau commutatif.\\
  3. Quels sont les éléments de $E$ inversibles (pour $\cdot$ dans $E$) ?\\
  4. Résoudre les équations, d'inconnue $X\in E$ :\\
    1. $X^2=I$\\
    2. $X^2=0$\\
    3. $X^2=X$
  5. Pour $(x,y)\in\R^2$ et $n\in\N^*$, calculer $(M(x,y))^n$
Exercice 4188. Dans $M_{2,2}(\R)$, on considère \[ A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que $(A,B,C,D)$ est une base de $M_{2,2}(\R)$.\\
  2. Déterminer les coordonnées de \[ M=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix} \] dans cette base.\\
  3. Écrire la matrice des coordonnées de $M$ dans cette base puis dans la base canonique de $M_{2,2}(\R)$.
Exercice 4189. Soient $x_1,\dots,x_n\in\K$. On appelle matrice de Vandermonde de $x_1,\dots,x_n$ la matrice \[ V= \begin{pmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \dots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \dots & x_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \dots & x_n^{n-1} \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que si $x_1,\dots,x_n$ sont distincts alors la matrice $V$ est inversible.\\
  2. Que dire de la réciproque ?
Exercice 4190. Soient $(n,p) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Dans les cas suivants, calculer $A^p$.\\
  1. $A=I_n+N$ avec $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $N^2=0$. Exprimer le résultat en fonction de $N$ et $I_n$.\\
  2. $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $(A-I_n)^2=0$. Exprimer le résultat en fonction de $A$ et $I_n$.\\
  3. $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $A^2-3A+2I_n=0$.\\
  4. $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ avec $a_{i,j}=1$ pour tout $(i,j) \in [|1,n|]^2$.\\
  5. $A=\begin{pmatrix} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&0\\ 0&0&\cdots&0&1\\ 0&0&\cdots&0&0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$
Exercice 4191. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. Montrer que $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$.\\
  2. Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $AC=CA$. Déduire de la première question les implications suivantes :\\
    • $\mathrm{Tr}({}^tAA)=0 \Longrightarrow A=0$ ;\\
    • $AB-BA={}^tCC \Longrightarrow AB=BA$ ;\\
    • $AB-BA=\lambda I_n \Longrightarrow AB=BA$.
  3. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables, montrer qu'elles ont la même trace.\\
  4. Montrer que pour toute forme linéaire $\varphi:\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathbb{R}$, il existe $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $\varphi(X)=\mathrm{Tr}(MX)$ pour tout $X \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$
Exercice 4192. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ vérifiant \[ \forall A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\quad \varphi(AB)=\varphi(BA). \] Montrer que $\varphi$ est proportionnelle à la trace. Indication : utiliser la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$
Exercice 4193. Déterminer l'inverse de la matrice $A$, en utilisant des méthodes différentes, dans chacun des cas suivants :\\
  1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&5\end{pmatrix}$.\\
  2. $A=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}$.\\
  3. $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&4\\2&4&7\end{pmatrix}$
Exercice 4194. On considère $(E_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et une matrice $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}$ à coefficients dans $\mathbb{K}$.\\
  1. Comment décrire les matrices $E_{r,s}A$ et $AE_{r,s}$ ?\\
  2. Soit $\lambda \in \mathbb{K}$. Par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour ajouter, à la $i$-ième ligne de $A$, $\lambda$ fois sa $j$-ième ligne, sans modifier les autres ? Cette transformation est notée $L_i \longleftarrow L_i+\lambda L_j$.\\
  3. Si $i \neq j$, par quelle matrice suffit-il de multiplier $A$ pour échanger la ligne $i$ et la ligne $j$ ? Cette transformation est notée $L_i \longleftrightarrow L_j$
Exercice 4195. On considère la matrice \[ A=\begin{pmatrix} -3&2&5\\ -6&4&10\\ 3&-2&-5 \end{pmatrix}. \]
  1. Déterminer le rang de la matrice $A$.\\
  2. Montrer qu'il existe deux vecteurs colonnes $U$ et $V$, dans $\mathbb{R}^3$, tels que $A=U\,{}^tV$.\\
  3. Déduire $A^2$, puis $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$
Exercice 4196. Résoudre le système $(S)$ d'inconnues $(x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4$ :\\ \[ \left\{ \begin{array}{rcl} x-y+z-t&=&1\\ 3x-2y+z&=&5\\ 2x+2y-6z+3t&=&3\\ 3y-6z+2t&=&\lambda \end{array} \right. \] où $\lambda$ est un paramètre réel