Groupe symétrique

Exercice 5662. Dans $\mathfrak{S}_n$, avec $n \geqslant 2$, on considère une permutation $\sigma$ et un $p$-cycle \[ c=(a_1\;a_2\;\cdots\;a_p). \] Observer que la permutation $\sigma \circ c \circ \sigma^{-1}$ est un $p$-cycle que l'on précisera.
Exercice 5663. Déterminer la signature de \[ \sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 3&5&4&8&7&6&2&1 \end{pmatrix} \] puis de \[ \sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 1&3&2&7&4&8&5&6 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5664. Soit $n \geqslant 1$. Montrer à chaque fois que $S_n$ est engendré par : \\
  1. Les transpositions de $S_n$. \\
  2. Les transpositions de la forme $(1\,i)$ pour $i \in [2,n]$. \\
  3. Les transpositions de la forme $(i\,i+1)$ pour $i \in [1,n-1]$. \\
  4. Les permutations $(1\,2)$ et $(1\,2\,\ldots\,n)$.
Exercice 5665. Dans le groupe symétrique $G=(\mathfrak{S}_{n+1},\circ)$, on considère le sous-groupe $H$ des permutations fixant $n+1$. Déterminer une famille finie $\{s_1,\dots,s_k\}$ dans $G$ telle que $G$ soit la réunion disjointe des \[ Hs_j=\{h\circ s_j,\; h\in H\}. \]
Exercice 5666. Soit $n \geqslant 2$ et $c$ la permutation circulaire $c = (1\;2\;\cdots\;n)$.\\ Déterminer toutes les permutations $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ qui commutent avec $c$.
Exercice 5667. Soient $n$ un entier supérieur à $2$, $(i,j) \in \{1,\ldots,n\}^2$ avec $i \neq j$, et $\sigma \in \mathfrak{S}_n$.\\ Montrer que $\sigma$ et $\tau=(i\;j)$ commutent si, et seulement si, $\{i,j\}$ est stable par $\sigma$.
Exercice 5668. Soit $H$ l'ensemble des $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ vérifiant \[ \sigma(k)+\sigma(n+1-k)=n+1 \] pour tout $k \in \{1,\ldots,n\}$.\\ Montrer que $H$ est un sous-groupe de $(\mathfrak{S}_n,\circ)$.
Exercice 5669. Soit $n \in \mathbb{N}^*$.\\ Déterminer la signature des permutations suivantes : \[ \sigma= \begin{pmatrix} 1&2&\cdots&n-1&n\\ n&n-1&\cdots&2&1 \end{pmatrix} \] et \[ \sigma= \begin{pmatrix} 1&2&3&\cdots&n&n+1&n+2&\cdots&2n-1&2n\\ 1&3&5&\cdots&2n-1&2&4&\cdots&2n-2&2n \end{pmatrix}. \]
Exercice 5670. Soit $n \geqslant 2$ et $\tau$ une transposition de $\mathfrak{S}_n$.\\
  1. Montrer que l'application $\sigma \mapsto \tau \circ \sigma$ est une bijection de $\mathfrak{S}_n$ vers $\mathfrak{S}_n$.
  2. En déduire le cardinal de l'ensemble $\mathfrak{A}_n$ formé des permutations de signature $1$ de $\mathfrak{S}_n$.
Exercice 5671. Soit $n \geqslant 1$. On note $A_n$ le groupe alterné.
  1. Montrer que si $n \geqslant 4$, alors $Z(A_n)=\{\mathrm{id}\}$.
  2. Montrer que si $n \geqslant 5$, alors $A_n$ est engendré par les $3$-cycles et que les $3$-cycles sont conjugués dans $A_n$.
Exercice 5672. À quelle condition une permutation de $[\![1,n]\!]$ est-elle un carré, c’est-à-dire de la forme $\tau\circ\tau$ pour $\tau\in\mathfrak{S}_n$ ?
Exercice 5673. Soit $n \geqslant 5$.\\ Montrer que si $(a\;b\;c)$ et $(a'\;b'\;c')$ sont deux cycles d'ordre $3$ de $\mathfrak{S}_n$, alors il existe une permutation $\sigma$, paire, telle que \[ \sigma \circ (a\;b\;c)\circ \sigma^{-1}=(a'\;b'\;c'). \]