Groupe symétrique
Exercice
4206. Soit $n \geqslant 1$. Montrer à chaque fois que $S_n$ est engendré par : \\
- Les transpositions de $S_n$. \\
- Les transpositions de la forme $(1\,i)$ pour $i \in [2,n]$. \\
- Les transpositions de la forme $(i\,i+1)$ pour $i \in [1,n-1]$. \\
- Les permutations $(1\,2)$ et $(1\,2\,\ldots\,n)$.
Exercice
4207. Soit $n \geqslant 1$. On note $A_n$ le groupe alterné.
- Montrer que si $n \geqslant 4$, alors $Z(A_n)=\{\mathrm{id}\}$.
- Montrer que si $n \geqslant 5$, alors $A_n$ est engendré par les $3$-cycles et que les $3$-cycles sont conjugués dans $A_n$.
Exercice
4208. Dans le groupe symétrique $G=(\mathfrak{S}_{n+1},\circ)$, on considère le sous-groupe $H$ des permutations fixant $n+1$. Déterminer une famille finie $\{s_1,\dots,s_k\}$ dans $G$ telle que $G$ soit la réunion disjointe des
\[
Hs_j=\{h\circ s_j,\; h\in H\}.
\]
Exercice
4209. À quelle condition une permutation de $[\![1,n]\!]$ est-elle un carré, c’est-à-dire de la forme $\tau\circ\tau$ pour $\tau\in\mathfrak{S}_n$ ?