Déterminants

Exercice 4210. Soient $n\geqslant 2$ et $(a_0,\dots,a_n)\in \R^{n+1}$. Calculer le déterminant $D$ de la matrice de $\mathcal{M}_{n+1}(\R)$ dont l’élément ligne $i$, colonne $j$ est \[ |a_{i-1}-a_{j-1}|. \]
Exercice 4211. Soient $n \in \N^*$, $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n \in \R$ tels que \[ \forall i, \quad a_i+b_i \neq 0, \] et les $a_i$ sont deux à deux distincts.\\ On considère \[ A_n=\left(\frac{1}{a_i+b_j}\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}. \] Calculer \[ \Delta_n=\det(A_n). \]
Exercice 4212. Soient $n\in\N^*$, $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ et $T:\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\to \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $M\mapsto M^{\top}$. Calculer le déterminant de cet endomorphisme.
Exercice 4213. Soient $n\in\N^*$, $x\in\C$ et \[ M\in \mathcal{M}_n(\C) \] dont les coefficients diagonaux valent $1+x^2$ et dont les autres coefficients valent $x$. Déterminer le spectre de $M$, puis calculer $\det(M)$.
Exercice 4214. Soient $n\in\N^*$, $(a,b)\in\C^2$ et \[ M\in \mathcal{M}_n(\C) \] dont la diagonale est formée par \[ a+b,\; a+2b,\; \dots,\; a+nb \] et dont tous les autres coefficients valent $a$. Calculer $\det(M)$, puis expliciter $M^{-1}$ lorsque c’est possible.
Exercice 4215. Soit $n\geqslant 2$ un entier naturel. On note \[ P_n(X)=X^n-X+1. \]
  1. Déterminer le nombre de racines complexes de $P_n$, distinctes deux à deux. Idem pour les racines réelles.
  2. On note $z_1,\dots,z_n$ les racines complexes de $P_n$. Calculer le déterminant \[ D_n= \det \begin{pmatrix} 1+z_1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1+z_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1\\ 1 & \cdots & 1 & 1+z_n \end{pmatrix}. \]
Exercice 4216. Soit $x\in\R$. Calculer le déterminant, pour $n\in\N^*$, \[ D_n(x)= \det \begin{pmatrix} x & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \frac{x^2}{2!} & x & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0\\ \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} & \cdots & \frac{x^2}{2!} & x & 1\\ \frac{x^n}{n!} & \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} & \cdots & \frac{x^2}{2!} & x \end{pmatrix}. \]
Exercice 4217. Soit $n \in \N^*$. Soit $M \in M_n(\Z)$. Montrer que \[ M \in GL_n(\Z) \Longleftrightarrow \det(M) \in \{-1,1\}. \]
Exercice 4218. Soit \[ P_n=X^n-X+1. \]
  1. Montrer que $P_n$ admet $n$ racines complexes distinctes $z_1,\ldots,z_n$.\\
  2. Calculer le déterminant de la matrice \[ A=\begin{pmatrix} 1+z_1&1&\cdots&1\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\cdots&1&1+z_n \end{pmatrix}. \]
Exercice 4219. Soit $n \in \N^*$. Calculer le déterminant de la matrice \[ A=(i^j)_{1 \leqslant i,j \leqslant n}. \]
Exercice 4220. Soient $K$ un corps, $n \in \N^*$ et $A \in M_n(K)$.\\
  1. Rappeler la définition de la comatrice de $A$ et la formule de la comatrice.\\
  2. Calculer le rang de la comatrice de $A$ en fonction de $\rg(A)$.\\
  3. Calculer le déterminant de la comatrice de $A$ en fonction de $\det(A)$.
Exercice 4221. Soient $a,b \in \R$ et $n \in \N^*$.\\ On considère \[ A_n=\begin{pmatrix} a&0&\cdots&0&b\\ 0&a&\cdots&b&0\\ \vdots&\vdots&\iddots&\vdots&\vdots\\ 0&b&\cdots&a&0\\ b&0&\cdots&0&a \end{pmatrix}, \] et on note \[ \Delta_n=\det(A_n), \] où, si $n$ est impair, le coefficient central vaut $a+b$.\\
  1. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par $(\Delta_n)$. En déduire $\Delta_n$ pour tout $n \in \N^*$.\\
  2. Écrire la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à $A_n$ dans une autre base bien choisie. Retrouver $\Delta_n$.
Exercice 4222. Soient $n \in \N^*$, $a_0,\ldots,a_{n-1} \in \C$ et \[ A=\begin{pmatrix} 0&\cdots&\cdots&0&a_0\\ 1&\ddots&&\vdots&a_1\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&a_{n-2}\\ 0&\cdots&0&1&a_{n-1} \end{pmatrix}. \] Calculer \[ P(X)=\det(XI_n-A). \]
Exercice 4223. Soient $n \in \N^*$ pair, $A \in M_n(\R)$ antisymétrique et $J \in M_n(\R)$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Montrer que \[ \forall t \in \R, \quad \det(A+tJ)=\det(A). \]
Exercice 4224. Soient $n \in \N^*$, $a_1,\ldots,a_n \in \R$ et $b,c \in \R$ avec $b \neq c$.\\ On considère \[ A=\begin{pmatrix} a_1&b&\cdots&b\\ b&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ b&\cdots&b&a_n \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B=\begin{pmatrix} a_1&b&\cdots&b\\ c&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ c&\cdots&c&a_n \end{pmatrix}. \]
  1. Calculer $\det(A)$ en considérant les colonnes \[ C_i={}^t(0,\ldots,0,a_i-b,0,\ldots,0) \] et \[ D={}^t(b,\ldots,b). \]
  2. Soit \[ P(X)=\det(XJ+B), \] où $J$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Déterminer le degré de $P$ puis calculer $\det(B)$.
Exercice 4225. Soient $n \in \N^*$ et \[ A_n=\begin{pmatrix} 2&4&0&\cdots&0\\ 1&2&4&\ddots&\vdots\\ 0&1&2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&4\\ 0&\cdots&0&1&2 \end{pmatrix}. \] On pose \[ \Delta_n=\det(A_n). \] Calculer $\Delta_n$.
Exercice 4226. Soit $n \in \N^*$.\\
  1. Soit $A \in M_n(\C)$ telle que, pour tout $i$, $a_{i,i} \in \{-1,1\}$ et, pour tout $i \neq j$, $a_{i,j} \in 2\Z$. Montrer que $A$ est inversible.\\
  2. Un paysan a $2n+1$ vaches. On suppose que, quelle que soit la vache choisie, le paysan peut former deux tas de $n$ vaches chacun, de même masse totale. Que peut-on dire des masses des vaches ?
Exercice 4227. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ telles que $AB=BA$, et $(p,q) \in \mathbb{R}^2$ tels que $p^2-4q \leqslant 0$. Montrer : \[ \det(A^2+pAB+qB^2)\geqslant 0 \]
Exercice 4228. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $(x_1,\ldots,x_n)\in K^n$. On appelle déterminant de Vandermonde, et on note ici $V(x_1,\ldots,x_n)$, l’élément de $K$ défini par : \[ V(x_1,\ldots,x_n)= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}_{[n]} \] Montrer : \[ V(x_1,\ldots,x_n)=\prod_{n \geqslant j > i \geqslant 1}(x_j-x_i) \]
  1. Calculer, pour $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ et $x_1,\ldots,x_n \in K$ le déterminant : \[ D= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_2\cdots x_n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_1x_3\cdots x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_1\cdots x_{n-1} \end{vmatrix}_{[n]} \]
Exercice 4229. Soient $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ et \[ A= \begin{pmatrix} 1+n & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1+n & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1+n \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{R}) \]
  1. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ à l’aide de $A$.
  2. Calculer $\det(A)$.
  3. Déterminer $\mathrm{com}(A)$.
Exercice 4230. Calculer le déterminant d’ordre $n$ suivant, pour $a_1,\ldots,a_n,x \in K$ fixés : \[ D= \begin{vmatrix} a_1^2+x & a_1a_2 & \cdots & a_1a_n \\ a_2a_1 & a_2^2+x & \cdots & a_2a_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_na_1 & a_na_2 & \cdots & a_n^2+x \end{vmatrix}_{[n]} \]
Exercice 4231. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_n(\mathbb{R})$ telle que : \[ \forall i \in \{1,\ldots,n\},\ a_{i,i} \in 2\mathbb{Z} \] \[ \forall (i,j) \in \{1,\ldots,n\}^2,\ i \neq j \Longrightarrow a_{i,j} \in 2\mathbb{Z}+1 \]
  1. Montrer : $n+\det(A) \in 2\mathbb{Z}+1$.
  2. En déduire que, si $n$ est pair, alors $A$ est inversible.
Exercice 4232. Calculer les déterminants suivants, pour $n \in \mathbb{N}^*$, $a_1,\ldots,a_n,x,a,b \in K$ :
  1. \[ \begin{vmatrix} 1 & n & n & \cdots & n \\ n & 2 & n & \cdots & n \\ n & n & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \end{vmatrix}_{[n]} \]
  2. \[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_1+a_2-x & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_2+a_3-x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1}+a_n-x \end{vmatrix}_{[n]} \]
  3. \[ \det\Big(a^{\mathrm{Max}(i,j)}\Big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
  4. \[ \begin{vmatrix} x+a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ a_2 & x+a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ a_3 & a_3 & x+a_3 & \cdots & a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_n & a_n & \cdots & x+a_n \end{vmatrix}_{[n]} \]
  5. \[ \det\Big(ij+i+j\Big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
  6. \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a & b & \ddots & \ddots & \vdots \\ a^2 & ab & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & b & -1 \\ a^n & a^{n-1}b & \cdots & ab & b \end{vmatrix}_{[n+1]} \]
  7. \[ \begin{vmatrix} 1+a^2 & a & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1+a^2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1+a^2 & a \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1+a^2 \end{vmatrix}_{[n]} \]
Exercice 4233. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_n(K)$. On note $B=\Big((-1)^{i+j}a_{i,j}\Big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_n(K)$. Montrer : \[ \det(B)=\det(A) \]
Exercice 4234. Calculer $\det(A)$ pour \[ A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \] où \[ a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{ll} 5&si\quad i=j,\\ 2&si\quad i=j+1,\\ 3&si\quad j=i+1,\\ 0&sinon. \end{array} \right. \]
Exercice 4235. Les indices des éléments des matrices carrées sont pris entre $0$ et $n-1$. Soient \[ (\alpha_0,\dots,\alpha_{n-1})\in \C^n \] et les matrices \[ J= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & 1 & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1\\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}, \quad A= \begin{pmatrix} \alpha_0 & \alpha_1 & \cdots & \alpha_{n-1}\\ \alpha_{n-1} & \alpha_0 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \alpha_1\\ \alpha_1 & \cdots & \alpha_{n-1} & \alpha_0 \end{pmatrix}. \] Calculer $\det(A)$.
Exercice 4236. Soit $n$ un entier pair, $A\in \mathcal{M}_n(\R)$ antisymétrique, et $J$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$.\\
  1. Montrer que, pour tout réel $t$, \[ \det(A+tJ)=\det(A). \]
  2. Montrer que la somme des cofacteurs de $A$ est nulle.
Exercice 4237. Soient $(\alpha_i)_{1\leqslant i\leqslant n}$ et $(\beta_j)_{1\leqslant j\leqslant n}$ deux familles finies de scalaires telles que \[ \forall (i,j)\in [\![1,n]\!]^2,\quad \alpha_i+\beta_j\neq 0. \] On appelle déterminant de Cauchy le déterminant $\Delta_n$ de la matrice $A_n$ d’élément générique \[ a_{i,j}=\frac{1}{\alpha_i+\beta_j}. \]
  1. Calculer $\Delta_n$.
  2. En déduire le déterminant de la matrice de Hilbert d’élément générique \[ H_{i,j}=\frac{1}{i+j}. \]
Exercice 4238. Pour tout $\varphi\in\R$, calculer le déterminant tridiagonal d’ordre $n\in\N^*$ : \[ \Delta_n(\varphi)= \det \begin{pmatrix} 2\ch(\varphi) & -1 & 0 & \cdots & 0\\ -1 & 2\ch(\varphi) & -1 & \ddots & \vdots\\ 0 & -1 & 2\ch(\varphi) & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1\\ 0 & \cdots & 0 & -1 & 2\ch(\varphi) \end{pmatrix}. \]
Exercice 4239. Calculer les déterminants d’ordre trois suivants, en exprimant le résultat sous forme factorisée, pour $(a,b,c)\in K^3$.
  1. \[ \begin{vmatrix} a & b & ab \\ a & c & ac \\ b & c & bc \end{vmatrix} \]
  2. \[ \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix} \]
  3. \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} \]
  4. \[ \begin{vmatrix} 2a & a-b-c & 2a \\ b-c-a & 2b & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix} \]
Exercice 4240. Calculer les déterminants d’ordre quatre suivants, en exprimant le résultat sous forme factorisée, pour $a,b,c,d,x \in K$.
  1. \[ \begin{vmatrix} a & b & c & b \\ b & a & b & c \\ c & b & a & b \\ b & c & b & a \end{vmatrix} \]
  2. \[ \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & b+c+d \\ 1 & b & b^3 & c+d+a \\ 1 & c & c^4 & d+a+b \\ 1 & d & d^5 & a+b+c \end{vmatrix} \]
  3. \[ \begin{vmatrix} (1+x)^2 & (2+x)^2 & (3+x)^2 & (4+x)^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2 \end{vmatrix} \]
Exercice 4241. Calculer $\det(A_n)$ où $A_n=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ vérifie \[ a_{i,j}= \left\{ \begin{array}{ll} 2\cos\theta&si\quad i=j,\\ 1&si\quad |i-j|=1,\\ 0&sinon. \end{array} \right. \]
Exercice 4242. Soit $A$ une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ composée des vecteurs colonnes $C_1,\dots,C_n$.\\ Soit $A'$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ composée des vecteurs colonnes $C_1',\dots,C_n'$ tels que \[ C_i'=\sum_{k\neq i}C_k. \] Exprimer $\det(A')$ en fonction de $\det(A)$.
Exercice 4243. Calculer \[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&a&a^2&a^4\\ 1&b&b^2&b^4\\ 1&c&c^2&c^4\\ 1&d&d^2&d^4 \end{vmatrix}. \]
Exercice 4244. On se place dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $n$ pair.\\ Soit $A$ une matrice antisymétrique et $C$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à $1$.\\ Soit $\lambda \in \mathbb{R}$. Montrer que \[ \det(A+\lambda C)=\det(A) \]
Exercice 4245. Soit un entier $n \geqslant 2$. On pose \[ \omega=\exp\left(\frac{2i\pi}{n}\right) \] On note $A$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ de coefficients \[ a_{p,q}=\omega^{(p-1)(q-1)} \] Calculer un argument du déterminant de $A$.
Exercice 4246. Soit $(z_1,z_2,\hdots,z_n) \in \mathbb{C}^n$ avec $n \geqslant 2$. On définit le déterminant de Vandermonde par \[ V_n(z_1,\hdots,z_n)= \begin{vmatrix} 1 & z_1 & z_1^2 & \cdots & z_1^{n-1}\\ 1 & z_2 & z_2^2 & \cdots & z_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & z_n & z_n^2 & \cdots & z_n^{n-1} \end{vmatrix} \] Pour tout réel $t$, on définit \[ P(t)= \begin{vmatrix} 1 & z_1 & z_1^2 & \cdots & z_1^{n-1}\\ 1 & z_2 & z_2^2 & \cdots & z_2^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 1 & z_{n-1} & z_{n-1}^2 & \cdots & z_{n-1}^{n-1}\\ 1 & t & t^2 & \cdots & t^{n-1} \end{vmatrix} \]
  1. Montrer que $P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$. Déterminer le coefficient de $t^{n-1}$ dans $P$.\\
  2. En déduire une relation entre $V_n(z_1,\hdots,z_n)$ et $V_{n-1}(z_1,\hdots,z_{n-1})$.\\
  3. En déduire l’expression de $V_n(z_1,\hdots,z_n)$ sous forme factorisée.\\
  4. Soit $(z_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ une famille de nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille de polynômes \[ \bigl((X-z_k)^n\bigr)_{0 \leqslant k \leqslant n} \] est libre dans $\mathbb{C}[X]$.
Exercice 4247.
  1. On considère des polynômes unitaires $P_0,\hdots,P_{n-1}$ avec $P_k$ de degré $k$ pour tout $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$. Soit $a_1,\hdots,a_n \in \mathbb{R}$. Calculer le déterminant de la matrice \[ (P_{j-1}(a_i))_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
  2. Soit $(x_1,\hdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$. Calculer le déterminant \[ \left|\cos((j-1)x_i)\right|_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
Exercice 4248. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que \[ \forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}),\quad \det(A+M)=\det(M) \] Montrer que $A$ est la matrice nulle.
Exercice 4249. Soit $(a,b)\in\mathbb{R}^2$. Calculer, pour $n \geqslant 1$, le déterminant d’ordre $n$ \[ D_n= \begin{vmatrix} a+b & b & 0 & \cdots & 0\\ a & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b\\ 0 & \cdots & 0 & a & a+b \end{vmatrix} \]