Déterminants

1. Déterminer une relation de récurrence vérifiée par $(\Delta_n)$. En déduire $\Delta_n$ pour tout $n \in \N^*$.\\
2. Écrire la matrice de l'endomorphisme canoniquement associé à $A_n$ dans une autre base bien choisie. Retrouver $\Delta_n$.

1. Montrer : $n+\det(A) \in 2\mathbb{Z}+1$.
2. En déduire que, si $n$ est pair, alors $A$ est inversible.

1. \[ \begin{vmatrix} a & b & ab \\ a & c & ac \\ b & c & bc \end{vmatrix} \]
2. \[ \begin{vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{vmatrix} \]
3. \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a^2 & b^2 & c^2 \\ a^3 & b^3 & c^3 \end{vmatrix} \]
4. \[ \begin{vmatrix} 2a & a-b-c & 2a \\ b-c-a & 2b & 2b \\ 2c & 2c & c-a-b \end{vmatrix} \]

1. \[ \begin{vmatrix} a & b & c & b \\ b & a & b & c \\ c & b & a & b \\ b & c & b & a \end{vmatrix} \]
2. \[ \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & b+c+d \\ 1 & b & b^3 & c+d+a \\ 1 & c & c^4 & d+a+b \\ 1 & d & d^5 & a+b+c \end{vmatrix} \]
3. \[ \begin{vmatrix} (1+x)^2 & (2+x)^2 & (3+x)^2 & (4+x)^2 \\ 2^2 & 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 & 6^2 \\ 4^2 & 5^2 & 6^2 & 7^2 \end{vmatrix} \]

1. Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ dont on déterminera la dimension.
2. Montrer que l'application $D:f \mapsto f'$ est un endomorphisme de $V$ dont on calculera le déterminant.

1. Rappeler la définition de la comatrice de $A$ et la formule de la comatrice.\\
2. Calculer le rang de la comatrice de $A$ en fonction de $\rg(A)$.\\
3. Calculer le déterminant de la comatrice de $A$ en fonction de $\det(A)$.

1. Calculer, pour $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$ et $x_1,\ldots,x_n \in K$ le déterminant : \[ D= \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-2} & x_2\cdots x_n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-2} & x_1x_3\cdots x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-2} & x_1\cdots x_{n-1} \end{vmatrix}_{[n]} \]

1. Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{-1}$ à l’aide de $A$.
2. Calculer $\det(A)$.
3. Déterminer $\mathrm{com}(A)$.

1. \[ \begin{vmatrix} 1 & n & n & \cdots & n \\ n & 2 & n & \cdots & n \\ n & n & 3 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n & n & n & \cdots & n \end{vmatrix}_{[n]} \]
2. \[ \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_1+a_2-x & a_3 & \cdots & a_n \\ a_1 & a_2 & a_2+a_3-x & \cdots & a_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & a_{n-1}+a_n-x \end{vmatrix}_{[n]} \]
3. \[ \det\Big(a^{\mathrm{Max}(i,j)}\Big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
4. \[ \begin{vmatrix} x+a_1 & a_1 & a_1 & \cdots & a_1 \\ a_2 & x+a_2 & a_2 & \cdots & a_2 \\ a_3 & a_3 & x+a_3 & \cdots & a_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & a_n & a_n & \cdots & x+a_n \end{vmatrix}_{[n]} \]
5. \[ \det\Big(ij+i+j\Big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
6. \[ \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ a & b & \ddots & \ddots & \vdots \\ a^2 & ab & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & b & -1 \\ a^n & a^{n-1}b & \cdots & ab & b \end{vmatrix}_{[n+1]} \]
7. \[ \begin{vmatrix} 1+a^2 & a & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1+a^2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1+a^2 & a \\ 0 & \cdots & 0 & a & 1+a^2 \end{vmatrix}_{[n]} \]

1. Montrer que $P$ est un polynôme de degré inférieur ou égal à $n-1$. Déterminer le coefficient de $t^{n-1}$ dans $P$.\\
2. En déduire une relation entre $V_n(z_1,\hdots,z_n)$ et $V_{n-1}(z_1,\hdots,z_{n-1})$.\\
3. En déduire l’expression de $V_n(z_1,\hdots,z_n)$ sous forme factorisée.\\
4. Soit $(z_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ une famille de nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille de polynômes \[ \bigl((X-z_k)^n\bigr)_{0 \leqslant k \leqslant n} \] est libre dans $\mathbb{C}[X]$.

1. Montrer que si $x_1,\ldots,x_n$ sont distincts, alors la matrice $V$ est inversible. \\
2. Que dire de la réciproque ?

1. Montrer qu'il existe d'uniques complexes $a$ et $b$ tels que \[ \forall z \in \mathbb{C},\quad f(z)=az+b\overline{z}. \]
2. Exprimer en fonction de $a$ et $b$ le déterminant de $f$.

1. Montrer que $A$ est inversible.
2. On suppose en outre \[ \forall i \in \{1,\ldots,n\},\quad a_{i,i} > 0. \] Montrer que $\det A > 0$.

1. Montrer que si $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$, alors $|\det A|=1$.
2. Soient $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant \[ \forall k \in \{0,1,\ldots,2n\},\quad A+kB \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}). \] Calculer $\det A$ et $\det B$.

1. Calculer \[ \begin{vmatrix} a&b&c\\ a^2&b^2&c^2\\ a^3&b^3&c^3 \end{vmatrix}. \]
2. En déduire \[ \begin{vmatrix} a+b&b+c&c+a\\ a^2+b^2&b^2+c^2&c^2+a^2\\ a^3+b^3&b^3+c^3&c^3+a^3 \end{vmatrix}. \]

1. Montrer que $m_{i,j}$ est un polynôme en $\cos x_i$ et donner son coefficient dominant.
2. Calculer $\det M_n$ en fonction de $P_n$.

1. Combien le produit définissant $P_n$ comporte-t-il de facteurs ?
2. Pour $(i,j)\in[\![1,4]\!]^2$, écrire la matrice $M\in M_4(\mathbb{R})$ de coefficient général \[ m_{i,j}=\cos((j-1)x_i). \]
3. Montrer que $m_{i,j}$ est un polynôme en $\cos x_i$.
4. Calculer $\det M$ en fonction de $P_4$ et montrer que $|\det M| < 24$.

1. À quelle condition la matrice $A$ est-elle inversible ?
2. Donner son inverse quand cela est possible.

1. Montrer que $A$ est non inversible.\\
2. Montrer que $A$ est nulle.

1. Déterminer le nombre de racines complexes de $P_n$, distinctes deux à deux. Idem pour les racines réelles.
2. On note $z_1,\dots,z_n$ les racines complexes de $P_n$. Calculer le déterminant \[ D_n= \det \begin{pmatrix} 1+z_1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1+z_2 & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & 1\\ 1 & \cdots & 1 & 1+z_n \end{pmatrix}. \]

1. Montrer que $P_n$ admet $n$ racines complexes distinctes $z_1,\ldots,z_n$.\\
2. Calculer le déterminant de la matrice \[ A=\begin{pmatrix} 1+z_1&1&\cdots&1\\ 1&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\cdots&1&1+z_n \end{pmatrix}. \]

1. Calculer $\det(A)$ en considérant les colonnes \[ C_i={}^t(0,\ldots,0,a_i-b,0,\ldots,0) \] et \[ D={}^t(b,\ldots,b). \]
2. Soit \[ P(X)=\det(XJ+B), \] où $J$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Déterminer le degré de $P$ puis calculer $\det(B)$.

1. Soit $A \in M_n(\C)$ telle que, pour tout $i$, $a_{i,i} \in \{-1,1\}$ et, pour tout $i \neq j$, $a_{i,j} \in 2\Z$. Montrer que $A$ est inversible.\\
2. Un paysan a $2n+1$ vaches. On suppose que, quelle que soit la vache choisie, le paysan peut former deux tas de $n$ vaches chacun, de même masse totale. Que peut-on dire des masses des vaches ?

1. Montrer que, pour tout réel $t$, \[ \det(A+tJ)=\det(A). \]
2. Montrer que la somme des cofacteurs de $A$ est nulle.

1. On considère des polynômes unitaires $P_0,\hdots,P_{n-1}$ avec $P_k$ de degré $k$ pour tout $k \in \llbracket 0,n-1 \rrbracket$. Soit $a_1,\hdots,a_n \in \mathbb{R}$. Calculer le déterminant de la matrice \[ (P_{j-1}(a_i))_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]
2. Soit $(x_1,\hdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$. Calculer le déterminant \[ \left|\cos((j-1)x_i)\right|_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \]

Exercice 5754. X ENS

1. Montrer que si $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifie \[ \forall X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad \det(C+X)=\det(X), \] alors $C=O_n$.\\ On pourra étudier le rang de $C$.\\
2. Montrer que si $A$ et $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifient \[ \forall X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad \det(A+X)=\det(B+X), \] alors $A=B$.

1. Calculer ${}^tAA$. En déduire $\det A$.
2. Soient $a,b,c,d,a',b',c',d' \in \mathbb{Z}$. Montrer qu'il existe $a'',b'',c'',d'' \in \mathbb{Z}$ tels que \[ (a^2+b^2+c^2+d^2)(a'^2+b'^2+c'^2+d'^2)=a''^2+b''^2+c''^2+d''^2. \]

1. Montrer que $\Delta_n(x)$ est une fonction affine de $x$.
2. Calculer $\Delta_n(x)$ et en déduire $\Delta_n(0)$.

1. On suppose que $D$ est inversible. Établir \[ \det \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC). \]
2. Généraliser la formule au cas où $D$ n’est plus supposée inversible.

1. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$. Montrer que \[ \det \begin{pmatrix} A & B\\ -B & A \end{pmatrix} \geqslant0. \]
2. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{R})$ telles que $AB=BA$. Montrer que \[ \det(A^2+B^2)\geqslant0. \]
3. Trouver un contre-exemple à la question précédente si $A$ et $B$ ne commutent pas.
4. Soient $A,B,C,D\in M_n(\mathbb{R})$ telles que $AC=CA$. Montrer que \[ \det \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD-CB). \]

1. On suppose que $C{}^tD$ est symétrique et que $D$ est inversible. Montrer que \[ \det \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} = \det(A{}^tD-B{}^tC). \]
2. On suppose toujours que $C{}^tD$ est symétrique mais on ne suppose plus $D$ inversible. Montrer que l’égalité précédente reste vraie.

1. Soient $a_1, \ldots, a_p$ des réels distincts et $t_1, \ldots, t_p$ des réels non tous nuls.\\ On pose $f : x \in ]0, +\infty[ \mapsto t_1 x^{a_1} + \cdots + t_p x^{a_p}$.\\ Montrer que $f$ s'annule en au plus $p-1$ points. Indication : on pourra raisonner par récurrence.\\
2. Soient des $n$-uplets de réels $a_1 < a_2 < \cdots < a_n$ et $0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n$.\\ Soit le déterminant : \[ D = \begin{vmatrix} x_1^{a_1} & \cdots & x_1^{a_n} \\ x_2^{a_1} & \cdots & x_2^{a_n} \\ \vdots & & \vdots \\ x_n^{a_1} & \cdots & x_n^{a_n} \end{vmatrix}. \] Montrer que $D$ est strictement positif. Indication : on pourra raisonner par récurrence et faire varier $x_n$.

1. Calculer $\Delta_n$.
2. En déduire le déterminant de la matrice de Hilbert d’élément générique \[ H_{i,j}=\frac{1}{i+j}. \]

1. Montrer que $P_n$ admet $n$ racines distinctes $z_1,\ldots,z_n$ dans $\mathbb{C}$.
2. Calculer le déterminant de \[ \begin{pmatrix} 1+z_1&1&\cdots&1\\ 1&1+z_2&\cdots&1\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 1&1&\cdots&1+z_n \end{pmatrix}. \]