Normes, produits scalaires
Exercice
4263. Montrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires :
- \[ \langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\integrale{0}{1}{f'(t)g'(t)}{t} \] sur $E=\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$.\\
- \[ \langle P,Q\rangle=\Sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k) \] sur $E=\mathbb{R}_n[X]$, où $n \in \mathbb{N}^*$ et $a_0,\ldots,a_n$ sont des réels deux à deux distincts.
Exercice
4264. Soient $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ et $a=(a_n)_n$ une suite de réels de $[0,1]$. On pose, pour tout $f,g \in E$ :
\[
\langle f,g\rangle=\Sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{2^n}f(a_n)g(a_n)
\]
Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est bien définie, puis donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ définisse un produit scalaire sur $E$.
Exercice
4265. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in O_n(\mathbb{R})$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa norme canonique notée $\|\cdot\|$, et on note $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
- On note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes de $A$. Calculer $\Sum_{j=1}^n \|C_j\|^2$. En déduire que \[ \Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}|a_{i,j}| \leqslant n^{3/2} \] Montrer que si $n$ est impair et $n \geqslant 1$, alors l’inégalité est stricte.\\
- Pour $x \in \mathbb{R}^n$, calculer $\langle x,u_A(x)\rangle$, où $u_A$ est l’endomorphisme canoniquement associé à $A$. En déduire que \[ \left|\Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j}\right|\leqslant n \] Étudier le cas d’égalité.
Exercice
4266. Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $x,y \in E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si :
\[
\forall \lambda \in \mathbb{R},\quad \|x+\lambda y\|\geqslant \|x\|
\]
Exercice
4267. Soient $(E,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ un espace vectoriel euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$.
- Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $u^* \in \mathcal{L}(E)$ tel que : \[ \forall (x,y) \in E^2,\quad \langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle \]
- On suppose :
\[
\forall x \in E,\quad \|u(x)\|\leqslant \|x\|
\]
- Montrer que : \[ \forall x \in E,\quad \|u^*(x)\|\leqslant \|x\| \]
- Montrer que : \[ \Ker(u-\mathrm{id}_E)=\Ker(u^*-\mathrm{id}_E) \]
Exercice
4268. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et deux réels $p > 1$ et $q > 1$ tels que\\
\[
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.
\]
$\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On définit pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n$ :\\
\[
||(x_1,\dots,x_n)||_p=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}},\qquad ||(x_1,\dots,x_n)||_q=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^q\right)^{\frac{1}{q}}.
\]
- Prouver que pour tous $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$ : $ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.\\
- Montrer que pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n$ et $(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{K}^n$ :\\ \[ \sum_{k=1}^{n}|x_k||y_k| \leqslant ||(x_1,\dots,x_n)||_p\times ||(y_1,\dots,y_n)||_q. \]
- Montrer que $||\cdot||_p$ définit une norme sur $\mathbb{K}^n$.
Exercice
4269. Soient $E=\mathcal{C}^0([0,1],\R)$ et $g$ la fonction nulle sur $[0,1/2]$, valant $1$ sur $]1/2,1]$. Pour tout $f\in E$, on pose
\[
\Phi(f)=\integrale{0}{1}{f(t)g(t)}{t}.
\]
- On munit $E$ de la norme infinie et $\R$ de la valeur absolue. Montrer que $\Phi$ est une forme linéaire continue sur $E$, calculer la norme subordonnée associée.
- Mêmes questions si $E$ est muni de la norme $2$.
Exercice
4270. Soit $[a,b]$ un segment non trivial de $\R$ et $E=\mathcal{C}^0([a,b],\R)$. Soit $\Phi\in E$ continue et bornée. On munit $E$ de la norme
\[
N(f)=\sqrt{\integrale{a}{b}{f^2(x)}{x}}.
\]
Montrer que l'application
\[
u:f\mapsto \Phi f
\]
est un endomorphisme continu de $E$, puis déterminer sa norme subordonnée.
Exercice
4271. Soit
\[
E=\left\{f\in \mathcal{C}^2([0,1],\R)\mid f(0)=f'(0)=0\right\}.
\]
Pour tout $f\in E$, on pose
\[
N(f)=\sup_{[0,1]}|f''+2f'+f|.
\]
- Prouver que $N$ définit une norme sur $E$.
- Montrer qu'il existe $a\in\R_+^*$ tel que \[ \forall f\in E,\quad N_{\infty}(f)\leqslant aN(f). \] Déterminer la plus petite constante convenable.
- Les normes $N$ et $N_{\infty}$ sont-elles équivalentes sur $E$ ?
Exercice
4272. Pour $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, on pose $(A|B)=\mathrm{tr}(A^\top B)$.\\
- Démontrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
- Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz.\\
- Démontrer que : $\forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ |\mathrm{tr}(A)| \leqslant \sqrt{n}\sqrt{\mathrm{tr}(A^\top A)}$.