Normes, produits scalaires

Exercice 5805. Soient $x$ et $y$ deux vecteurs unitaires distincts d’un espace euclidien $E$ et soit $t\in ]0,1[$. \\ Montrer que \[ (1-t)x+ty \] n’est pas unitaire.
Exercice 5806. Soit $A\in \mathcal{M}_n(\R)$. \\ Montrer que \[ (\mathrm{Tr}(A))^2\leqslant n\mathrm{Tr}(A^{\top}A) \] et étudier les cas d’égalité.
Exercice 5807. Soit $E$ un espace vectoriel muni d’un produit scalaire $(\cdot\mid\cdot)$.\\ Pour $a\in E$ non nul et $\lambda\in\mathbb{R}$, résoudre l’équation \[ (a\mid x)=\lambda \] d’inconnue $x\in E$.
Exercice 5808. Soit $E$ un espace préhilbertien réel.\\ Montrer que pour tous $x,y\in E$, \[ \left|\,(x\mid y)\,\right|\leqslant \norme{x}\,\norme{y}. \]
Exercice 5809. Soit $E$ un espace préhilbertien réel.\\ Montrer que pour tous $x,y\in E$, \[ \norme{x+y}\leqslant \norme{x}+\norme{y}. \]
Exercice 5810. Soient $x,y$ deux vecteurs non nuls d’un espace préhilbertien réel. Établir \[ \left\|\frac{x}{\norme{x}^2}-\frac{y}{\norme{y}^2}\right\| = \frac{\norme{x-y}}{\norme{x}\norme{y}}. \]
Exercice 5811. Soient $x_1,\ldots,x_n > 0$ tels que \[ x_1+\cdots+x_n=1. \] Montrer que \[ \Sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_k}\geqslant n^2. \] Préciser les cas d’égalité.
Exercice 5812. Soient $x,y\in E$. Montrer que \[ \det \begin{pmatrix} (x\mid x) & (x\mid y)\\ (y\mid x) & (y\mid y) \end{pmatrix} =\norme{x}^2\norme{y}^2-(x\mid y)^2\geqslant 0. \]
Exercice 5813. On considère $C^0([a,b],\mathbb{R})$ muni du produit scalaire \[ (f\mid g)=\integrale{a}{b}{f(t)g(t)}{t}. \] Pour $f$ strictement positive sur $[a,b]$, on pose \[ \ell(f)=\integrale{a}{b}{f(t)}{t}\integrale{a}{b}{\frac{1}{f(t)}}{t}. \] Montrer que \[ \ell(f)\geqslant (b-a)^2. \] Étudier les cas d’égalité.
Exercice 5814. Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue et positive. On pose \[ I_n=\integrale{0}{1}{t^nf(t)}{t}. \] Montrer que \[ I_{n+p}^2\leqslant I_{2n}I_{2p}. \]
Exercice 5815. Montrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires :
  1. \[ \langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\integrale{0}{1}{f'(t)g'(t)}{t} \] sur $E=\mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$.\\
  2. \[ \langle P,Q\rangle=\Sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k) \] sur $E=\mathbb{R}_n[X]$, où $n \in \mathbb{N}^*$ et $a_0,\ldots,a_n$ sont des réels deux à deux distincts.
Exercice 5816. Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $x,y \in E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si : \[ \forall \lambda \in \mathbb{R},\quad \|x+\lambda y\|\geqslant \|x\| \]
Exercice 5817. Soit $[a,b]$ un segment non trivial de $\R$ et $E=\mathcal{C}^0([a,b],\R)$. Soit $\Phi\in E$ continue et bornée. On munit $E$ de la norme \[ N(f)=\sqrt{\integrale{a}{b}{f^2(x)}{x}}. \] Montrer que l'application \[ u:f\mapsto \Phi f \] est un endomorphisme continu de $E$, puis déterminer sa norme subordonnée.
Exercice 5818. Pour $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, on pose $(A|B)=\mathrm{tr}(A^\top B)$.\\
  1. Démontrer que $(\cdot|\cdot)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  2. Rappeler l’inégalité de Cauchy-Schwarz.\\
  3. Démontrer que : $\forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ |\mathrm{tr}(A)| \leqslant \sqrt{n}\sqrt{\mathrm{tr}(A^\top A)}$.
Exercice 5819. Soit $M\in \mathcal{S}_n(\R)$. \\ Montrer que \[ (\mathrm{Tr}(M))^2\leqslant \mathrm{rg}(M)\mathrm{Tr}(M^2) \] et étudier les cas d’égalité.
Exercice 5820. Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $f:E\to E$ une application surjective telle que \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)\mid f(y))=(x\mid y). \] Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
Exercice 5821. Soit $E$ un espace préhilbertien réel et $f:E\to E$ une application vérifiant \[ \forall x\in E,\quad \norme{f(x)}=\norme{x}. \] Montrer que $f$ conserve le produit scalaire si, et seulement si, $f$ est une isométrie vectorielle.
Exercice 5822. Soit $E$ un espace euclidien et $x_1,\ldots,x_n\in E$.\\ Montrer que la matrice de Gram \[ G=( (x_i\mid x_j) )_{1\leqslant i,j\leqslant n} \] est symétrique positive.
Exercice 5823. Soient $x_1,\ldots,x_n\in E$. Montrer que \[ \det G=0 \Longleftrightarrow (x_1,\ldots,x_n)\ \text{est liée}. \]
Exercice 5824. Soient $A,B\in S_n(\mathbb{R})$. Montrer que \[ \left(\tr(AB+BA)\right)^2\leqslant 4\tr(A^2)\tr(B^2). \]
Exercice 5825. On munit $M_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire défini par \[ (A\mid B)=\tr({}^tAB). \]
  1. Montrer que la base canonique $(E_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ de $M_n(\mathbb{R})$ est orthonormée.
  2. Observer que les espaces $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires orthogonaux.
  3. Établir que pour tout $A\in M_n(\mathbb{R})$, \[ \tr(A)\leqslant \sqrt{n}\sqrt{\tr({}^tAA)} \] et préciser les cas d’égalité.
Exercice 5826. Soit $f\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)|f(y))=(x|y) \] si, et seulement si, \[ \forall x\in E,\quad \norme{f(x)}=\norme{x}. \]
Exercice 5827. Soient $f$ une isométrie vectorielle d’un espace vectoriel euclidien $E$ et \[ F=\ker(f-\mathrm{id}). \] Montrer que \[ f(F^\perp)=F^\perp. \]
Exercice 5828. Soit $(E, \langle \cdot \mid \cdot \rangle)$ un espace euclidien de norme associée $\|\cdot\|$ et $f : E \to E$ telle que : \[ \forall (x,y) \in E^2, \quad \|f(x) - f(y)\| = \|x - y\| \quad \text{et} \quad f(0_E) = 0_E. \]
  1. Montrer que $f$ conserve le produit scalaire sur $E$, c'est-à-dire vérifie : \[ \forall (x,y) \in E^2, \quad \langle f(x) \mid f(y) \rangle = \langle x \mid y \rangle. \]
  2. En déduire que $f$ est linéaire puis que $f$ est bijective.
Exercice 5829. Soient $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ et $a=(a_n)_n$ une suite de réels de $[0,1]$. On pose, pour tout $f,g \in E$ : \[ \langle f,g\rangle=\Sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{2^n}f(a_n)g(a_n) \] Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est bien définie, puis donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ définisse un produit scalaire sur $E$.
Exercice 5830. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in O_n(\mathbb{R})$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa norme canonique notée $\|\cdot\|$, et on note $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ la base canonique de $\mathbb{R}^n$.
  1. On note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes de $A$. Calculer $\Sum_{j=1}^n \|C_j\|^2$. En déduire que \[ \Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}|a_{i,j}| \leqslant n^{3/2} \] Montrer que si $n$ est impair et $n \geqslant 1$, alors l’inégalité est stricte.\\
  2. Pour $x \in \mathbb{R}^n$, calculer $\langle x,u_A(x)\rangle$, où $u_A$ est l’endomorphisme canoniquement associé à $A$. En déduire que \[ \left|\Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j}\right|\leqslant n \] Étudier le cas d’égalité.
Exercice 5831. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et deux réels $p > 1$ et $q > 1$ tels que\\ \[ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1. \] $\mathbb{K}$ désigne $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. On définit pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n$ :\\ \[ ||(x_1,\dots,x_n)||_p=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p\right)^{\frac{1}{p}},\qquad ||(x_1,\dots,x_n)||_q=\left(\sum_{k=1}^{n}|x_k|^q\right)^{\frac{1}{q}}. \]
  1. Prouver que pour tous $a \geqslant 0$, $b \geqslant 0$ : $ab \leqslant \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$.\\
  2. Montrer que pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{K}^n$ et $(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{K}^n$ :\\ \[ \sum_{k=1}^{n}|x_k||y_k| \leqslant ||(x_1,\dots,x_n)||_p\times ||(y_1,\dots,y_n)||_q. \]
  3. Montrer que $||\cdot||_p$ définit une norme sur $\mathbb{K}^n$.
Exercice 5832. Soient $E=\mathcal{C}^0([0,1],\R)$ et $g$ la fonction nulle sur $[0,1/2]$, valant $1$ sur $]1/2,1]$. Pour tout $f\in E$, on pose \[ \Phi(f)=\integrale{0}{1}{f(t)g(t)}{t}. \]
  1. On munit $E$ de la norme infinie et $\R$ de la valeur absolue. Montrer que $\Phi$ est une forme linéaire continue sur $E$, calculer la norme subordonnée associée.
  2. Mêmes questions si $E$ est muni de la norme $2$.
Exercice 5833. Soit $(E,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $E$ et $f$ un endomorphisme de $E$ non nul tel que \[ \forall (x,y)\in E^2,\quad \langle x,y\rangle=0\Rightarrow \langle f(x),f(y)\rangle=0 \]
  1. Soit $(i,j)\in [1,n]^2$. Montrer que $e_i+e_j$ et $e_i-e_j$ sont orthogonaux.
  2. Montrer que \[ \|f(e_i)\|=\|f(e_j)\| \]
  3. En déduire qu’il existe $\lambda > 0$ tel que \[ \forall u\in E,\quad \|f(u)\|=\lambda \|u\| \] Exprimer alors $f$ comme la composée de deux endomorphismes à préciser.
Exercice 5834. Soit $A=(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\in \mathcal{O}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que \[ \Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}a_{i,j}^2=n \quad \mathrm{et} \quad \left|\Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}a_{i,j}\right|\leqslant n \]
  2. Montrer que \[ n\leqslant \Sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}|a_{i,j}|\leqslant n\sqrt{n} \]
Exercice 5835.
  1. Montrer que \[ (A,B)\mapsto \mathrm{Tr}(A^{\top}B) \] définit un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\R)$. On note $\|\cdot\|$ la norme associée.
  2. Montrer que \[ \forall A\in \mathcal{M}_n(\R),\quad |\mathrm{Tr}(A)|\leqslant \sqrt{n\mathrm{Tr}(AA^{\top})} \]
  3. Montrer que \[ \forall (A,B)\in \mathcal{M}_n(\R)^2,\quad \|AB\|\leqslant \|A\|\|B\| \]
Exercice 5836. Soit $(E,(\cdot\mid\cdot))$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(u_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de $n$ vecteurs de $E$. \\
  1. Montrer que la famille $(u_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ est libre si, et seulement si, la matrice \[ G=\big((u_i\mid u_j)\big)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \] est inversible.
  2. On suppose que \[ \forall i\in [1,n],\quad \|u_i\|=1 \] et que, pour tout couple $(i,j)$, \[ 1 \leqslant i < j \leqslant n \Rightarrow \|u_i-u_j\|=1 \] Montrer que la famille $(u_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ est une base de $E$.
Exercice 5837. Soit $v$ un endomorphisme d’un espace euclidien $E$ de dimension $n$.\\
  1. Montrer que la quantité \[ S=\Sum_{i=1}^{n}\langle v(e_i),e_i\rangle \] ne dépend pas de la base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ choisie.
  2. Montrer que la quantité \[ T=\Sum_{i=1}^{n}\Sum_{j=1}^{n}\langle v(e_i),f_j\rangle^2 \] ne dépend pas des bases orthonormées $(e_1,\ldots,e_n)$ et $(f_1,\ldots,f_n)$ de $E$ choisies.
  3. Que vaut $T$ lorsque $v$ est un projecteur orthogonal de rang $r$ ?
Exercice 5838. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice réelle vérifiant \[ \forall i\in[\![1,n]\!],\quad a_{i,i}\geqslant 1 \] et \[ \Sum_{i=1}^{n}\Sum_{\substack{j=1\\j\neq i}}^{n}a_{i,j}^2 < 1. \]
  1. Montrer que \[ \forall X\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\},\quad {}^tXAX > 0. \]
  2. En déduire que la matrice $A$ est inversible.
Exercice 5839. Quel est le rang de la forme quadratique $q$ définie sur $\mathbb{R}^n$ par : \[ q(X)=\Sum_{i\neq j}x_ix_j ? \] Soit : \[ E=\left\{X\in \mathbb{R}^n\mid \Sum_{i=1}^n x_i=1 \;\text{et}\; \forall i\in \llbracket 1,n \rrbracket,\; x_i\geqslant 0\right\}. \] Déterminer : \[ \sup_{X\in E} q(X). \]
Exercice 5840. Soient $(E,\langle \cdot,\cdot\rangle)$ un espace vectoriel euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$.
  1. Montrer qu’il existe un unique endomorphisme $u^* \in \mathcal{L}(E)$ tel que : \[ \forall (x,y) \in E^2,\quad \langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle \]
  2. On suppose : \[ \forall x \in E,\quad \|u(x)\|\leqslant \|x\| \]
    1. Montrer que : \[ \forall x \in E,\quad \|u^*(x)\|\leqslant \|x\| \]
    2. Montrer que : \[ \Ker(u-\mathrm{id}_E)=\Ker(u^*-\mathrm{id}_E) \]
Exercice 5841. Soit \[ E=\left\{f\in \mathcal{C}^2([0,1],\R)\mid f(0)=f'(0)=0\right\}. \] Pour tout $f\in E$, on pose \[ N(f)=\sup_{[0,1]}|f''+2f'+f|. \]
  1. Prouver que $N$ définit une norme sur $E$.
  2. Montrer qu'il existe $a\in\R_+^*$ tel que \[ \forall f\in E,\quad N_{\infty}(f)\leqslant aN(f). \] Déterminer la plus petite constante convenable.
  3. Les normes $N$ et $N_{\infty}$ sont-elles équivalentes sur $E$ ?
Exercice 5842. Soit $(E,(\cdot\mid\cdot))$ un espace euclidien. \\
  1. Montrer que \[ \forall (x,y)\in E^2,\quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) \]
  2. Soit $(E,\|\cdot\|)$ un $\R$-espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que, pour tout $(x,y)\in E^2$, \[ \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2) \] Montrer que la norme $\|\cdot\|$ est euclidienne.
Exercice 5843. Soit $A\in \mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in \mathcal{S}_n(\R)$. \\
  1. Montrer que l’application \[ f:X\in \R^n\setminus\{0\}\mapsto \frac{X^{\top}BX}{X^{\top}AX} \] admet un maximum $M$ et un minimum $m$.
  2. Montrer que $A^{-1}B$ est diagonalisable. Montrer que \[ M=\max \mathrm{Sp}(A^{-1}B)\quad \mathrm{et}\quad m=\min \mathrm{Sp}(A^{-1}B) \]
Exercice 5844. Soit $A\in \mathcal{S}_n(\R)$, inversible et semblable à $A^{-1}$. \\ Montrer que \[ \mathrm{Tr}(A^2)\geqslant n \] et qu’il y a égalité si, et seulement si, $A$ est la matrice d’une symétrie orthogonale.
Exercice 5845. On munit l’espace vectoriel $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ du produit scalaire canonique \[ \langle X,Y\rangle=X^{\top}Y \] et de la norme associée \[ \|X\|=\sqrt{\langle X,X\rangle} \] Soit $A$ une matrice symétrique réelle d’ordre $n$. On note $(\lambda_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ ses valeurs propres. \\
  1. Montrer que pour tout vecteur $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$, \[ \min_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_i \,\|X\|^2\leqslant \langle AX,X\rangle\leqslant \max_{1 \leqslant i \leqslant n}\lambda_i \,\|X\|^2 \]
  2. Définir une fonction Python pour construire la matrice d’ordre $n$ \[ A= \begin{pmatrix} 4&-1&0&\cdots&0\\ -1&4&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&4&-1\\ 0&\cdots&0&-1&4 \end{pmatrix} \]
    1. Déterminer à l’aide de Python le minimum et le maximum des valeurs propres pour \[ n=10k,\quad k\in [1,20] \]
    2. Montrer que \[ \mathrm{Sp}(A)\subset [2,6] \]
  3. On revient au cas général d’une matrice symétrique réelle quelconque $A$. On note \[ \rho(A)=\max_{1 \leqslant i \leqslant n}|\lambda_i| \]
    1. Prouver que pour tout $X$ de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$, \[ \|AX\|\leqslant \rho(A)\|X\| \] et exhiber un vecteur non nul réalisant cette égalité.
    2. Montrer qu’il y a équivalence entre les énoncés suivants : \\ (i) Pour tout vecteur $X$, la suite $(A^pX)$ tend vers $0$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$. \\ (ii) \[ \rho(A) < 1 \]
Exercice 5846. Soit $n\in \N^*$. Pour $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$, on note \[ \|X\|=\sqrt{X^{\top}X} \] On note $S^{n-1}$ l’ensemble des $X\in \mathcal{M}_{n,1}(\R)$ tels que \[ \|X\|=1 \] On définit l’image numérique d’une matrice $M\in \mathcal{M}_n(\R)$ par \[ W(M)=\{X^{\top}MX\mid X\in S^{n-1}\} \]
  1. Écrire une fonction qui crée de façon aléatoire un vecteur colonne de $S^{n-1}$.
    1. Soit \[ A= \begin{pmatrix} 1&2&3&4\\ 2&3&4&5\\ 3&4&5&6\\ 4&5&6&7 \end{pmatrix} \] Représenter graphiquement l’image numérique de $A$.
    2. Calculer les valeurs propres de $A$.
  3. Faire de même avec les matrices \[ B= \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 1&0&0&0 \end{pmatrix} \quad \mathrm{et} \quad C= \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 1&0&0 \end{pmatrix} \]
  4. Montrer théoriquement que les matrices $C$ et $D$ avec \[ D=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix} \] ont la même image numérique.
  5. Soit $T$ une matrice symétrique réelle. On note \[ \lambda_1\leqslant \cdots \leqslant \lambda_n \] ses valeurs propres, comptées avec multiplicité. Montrer que \[ W(T)=[\lambda_1,\lambda_n] \]
Exercice 5847. Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien non nul et $u\in\mathcal{L}(E)$ tel que \[ \tr(u)=0. \]
  1. Montrer qu’il existe $x\in E\setminus\{0\}$ tel que \[ \langle u(x),x\rangle=0. \]
  2. Montrer qu’il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est à diagonale nulle.
Exercice 5848. Soit $E$ un espace préhilbertien réel. Pour $(u_1,\ldots,u_p)$ une famille de vecteurs de $E$, on note $G(u_1,\ldots,u_p)$ la matrice de $M_p(\mathbb{R})$ dont le coefficient d’indice $(i,j)$ est \[ (u_i|u_j). \]
  1. Montrer que si la famille $(u_1,\ldots,u_p)$ est liée alors \[ \det G(u_1,\ldots,u_p)=0. \]
  2. Établir la réciproque.
  3. Montrer que si $(e_1,\ldots,e_p)$ est une base d’un sous-espace vectoriel $F$ de $E$, alors, pour tout $x\in E$, \[ d(x,F)= \sqrt{ \frac{\det G(e_1,\ldots,e_p,x)} {\det G(e_1,\ldots,e_p)} }. \]