Orthogonalité, projections orthogonales, bases
Exercice
4273. Soit $a < b$ deux réels et $E$ l’ensemble des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$.\\
On pose
\[
F=\left\{g \in C^2([a,b],\mathbb{R}) \mid g(a)=g(b)=g'(a)=g'(b)=0\right\}.
\]
- Soit $f \in E$. Montrer l’équivalence \[ \exists g \in F,\; g''=f \Longleftrightarrow \integrale{a}{b}{f(t)}{t}=\integrale{a}{b}{tf(t)}{t}=0. \]
- Soit $h \in E$ telle que \[ \integrale{a}{b}{h(t)g''(t)}{t}=0 \] pour tout $g \in F$. Montrer que $h$ est affine.
Exercice
4274. Soit $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ une fonction continue.
- On suppose que pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, \[ \integrale{0}{1}{f(x)x^k}{x}=0. \] Montrer que $f$ possède au moins $n+1$ zéros dans $[0,1]$.\\
- On suppose que pour tout $k \in \mathbb{N}$, \[ \integrale{0}{1}{f(x)x^k}{x}=0. \] Montrer que $f$ est identiquement nulle.
Exercice
4275. Soit $E$ un espace préhilbertien réel, $n$ un entier naturel non nul et $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de vecteurs normés de $E$ telle que :\\
(H1) La famille $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ est libre.\\
(H2) Pour tout $x\in E$, $\|x\|^2=\Sum_{i=1}^{n}(x|e_i)^2$.\\
Montrer que $(e_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ est une base orthonormée de $E$.\\
Le résultat reste-t-il vrai si on remplace (H1) par l’hypothèse :\\
(H3) Pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $e_i \neq 0$ ?
Exercice
4276. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien non nul et $p$ un projecteur de $E$. \\
- On suppose : \[ \forall x \in E,\quad \|p(x)\|\leqslant \|x\| \] Si $x \in (\Ker(p))^\perp$, montrer que $(\Ker(p))^\perp \subset \mathrm{Im}(p)$.\\
- Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal de $E$ si et seulement si : \[ \forall x \in E,\quad \|p(x)\|\leqslant \|x\| \]
Exercice
4277. Soient $E$ un espace préhilbertien et $(x_1,\ldots,x_p) \in E^p$. On appelle matrice de Gram de la famille $(x_1,\ldots,x_p)$ la matrice
\[
M(x_1,\ldots,x_p)=\left(\langle x_i,x_j\rangle\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant p}
\]
et on appelle déterminant de Gram la quantité
\[
G(x_1,\ldots,x_p)=\det M(x_1,\ldots,x_p)
\]
- Montrer que la famille $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si $G(x_1,\ldots,x_p)\neq 0$.\\
- On suppose que la famille $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre. On note $F=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$. Soit $x \in E$. En utilisant la projection de $x$ sur $F$, montrer que \[ G(x,x_1,\ldots,x_p)=d(x,F)^2G(x_1,\ldots,x_p) \]
Exercice
4278. Soit $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni du produit scalaire
\[
\langle f,g\rangle=\integrale{0}{1}{f(t)g(t)}{t}
\]
On pose :
\[
F=\{f \in E,\ f(0)=0\}
\]
- Calculer $F^\perp$.\\
- En déduire que $F$ n’a pas de supplémentaire orthogonal.
Exercice
4279. Soit $E$ un espace préhilbertien et $(e_1,\ldots,e_n) \in E^n$ des vecteurs de norme $1$ tels que :
\[
\forall x \in E,\quad \|x\|^2=\Sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2
\]
Montrer que $E$ est de dimension finie $n$ et que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Exercice
4280. Calculer :
\[
\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\integrale{0}{1}{(t-a\cos(t)-b\sin(t))^2}{t}
\]
Exercice
4281. Soit $E=\mathbb{R}_3[X]$ muni du produit scalaire :
\[
\forall P=\Sum_{k=0}^3 a_kX^k,\quad Q=\Sum_{k=0}^3 b_kX^k,\quad \langle P,Q\rangle=\Sum_{k=0}^3 a_kb_k
\]
On pose :
\[
H=\{P \in E,\ P(1)=0\}
\]
- Déterminer la dimension et une base de $H$.\\
- Déterminer une base orthonormale de $H$.\\
- En déduire la distance de $X$ à $H$.
Exercice
4282. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On munit $M_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire usuel
\[
\langle A,B\rangle=\mathrm{Tr}({}^tAB)
\]
et on note $\|\cdot\|$ la norme associée.\\
Soit $J \in M_n(\mathbb{R})$ dont tous les coefficients valent $1$.\\
Pour $M \in M_n(\mathbb{R})$, calculer :
\[
\inf_{(a,b)\in\mathbb{R}^2}\|M-aI_n-bJ\|
\]
Exercice
4283. Calculer :
\[
\inf_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3}\integrale{0}{1}{\left(\frac{1}{1+t}-at^2-bt-c\right)^2}{t}
\]
Exercice
4284. Soient $n \in \mathbb{N}$ et $a_0,\ldots,a_n \in \mathbb{R}^{n+1}$. On définit :
\[
\forall P,Q \in \mathbb{R}_n[X],\quad \phi(P,Q)=\Sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k)
\]
- Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $a_k$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$.\\
- Calculer alors la distance euclidienne de $X^n$ à \[ F=\left\{P \in \mathbb{R}_n[X],\ \Sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\} \]