Orthogonalité, projections orthogonales, bases

1. Donner l’expression de $p(x)$ pour $x\in \R^3$.
2. Soit \[ P:\ x-2y+z=0 \] Donner la matrice de la projection orthogonale $q$ sur ce plan dans la base canonique de $\R^3$.

1. Montrer que $(A|B)=\mathrm{tr}({}^tAB)$ est un produit scalaire sur $M_n(\mathbb{R})$.
2. Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires orthogonaux.
3. Calculer la distance de \[ M=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\1&2&3\end{pmatrix} \] à $S_3(\mathbb{R})$.

1. Trouver la matrice de la projection orthogonale sur $G$ dans la base canonique.
2. On pose $v=(a,b,c,d)$. Déterminer la distance de $v$ à $G$.

1. Montrer que $M$ et sa transposée ont les mêmes valeurs propres. \\
2. Soit $\alpha \in \mathrm{Sp}(M)$. Montrer que $\dim(E_\alpha(M))=\dim(E_\alpha(M^T))$. \\
3. Pour $\alpha$ et $\beta$ distincts dans $\mathrm{Sp}(M)$, montrer que $E_\alpha(M)$ et $E_\beta(M^T)$ sont orthogonaux.

1. Montrer que la matrice de $f$ dans une base orthonormée $B=(e_1,\ldots,e_n)$ est symétrique.
2. Montrer que le noyau et l’image de $f$ sont supplémentaires et orthogonaux.

1. Énoncer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
2. Orthonormaliser la base canonique de $\mathbb{R}_2[X]$ pour le produit scalaire \[ (P,Q)\mapsto\integrale{-1}{1}{P(t)Q(t)}{t}. \]

1. Déterminer une base orthonormale du supplémentaire orthogonal de $F$.
2. Écrire la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$ de la projection orthogonale sur $F$.
3. Écrire la matrice dans la base canonique de $\mathbb{R}^4$ de la symétrie orthogonale par rapport à $F$.
4. Calculer $d(u,F)$ où $u=(1,2,3,4)$.

1. Montrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $E$.
2. On note $P$ et $I$ les sous-ensembles de $E$ formés des fonctions paires et impaires. Montrer que \[ I=P^\perp. \]
3. Soit $\psi:f\mapsto \widehat{f}$ avec \[ \widehat{f}:x\mapsto f(-x). \] Montrer que $\psi$ est la symétrie orthogonale par rapport à $P$.

1. Montrer que la famille $(P_0,P_1,P_2)$ est libre mais pas orthogonale.
2. Déterminer, par le procédé de Schmidt, une base orthonormée $(Q_0,Q_1,Q_2)$ de $F=\mathrm{Vect}(P_0,P_1,P_2)$ à partir de $(P_0,P_1,P_2)$.
3. Calculer la projection orthogonale de $P_3$ sur $F$ et la distance de $P_3$ à $F$.

1. Montrer que $(P|Q)=P(0)Q(0)+P(1)Q(1)+P(2)Q(2)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_2[X]$.
2. Calculer $d(X^2,P)$ où $P=\{aX+b\mid (a,b)\in\mathbb{R}^2\}$.

1. Montrer que \[ (f|g)=\integrale{0}{1}{f(t)g(t)}{t} \] définit un produit scalaire sur l’ensemble $E$ des fonctions continues sur $\mathbb{R}$ engendré par $f_1:x\mapsto1$, $f_2:x\mapsto e^x$ et $f_3:x\mapsto x$.
2. Pour quels réels $a$ et $b$ la distance de $f_2:x\mapsto e^x$ à $g:x\mapsto ax+b$ est-elle minimale ?

1. Montrer que \[ \varphi(P,Q)=\integrale{-1}{1}{P(t)Q(t)}{t} \] définit un produit scalaire sur $E$.
2. Calculer \[ \inf_{(a,b,c)\in\mathbb{R}^3} \integrale{-1}{1}{\left(t^3-(at^2+bt+c)\right)^2}{t}. \]

1. Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires et orthogonaux.
2. Calculer la distance à $S_3(\mathbb{R})$ de la matrice \[ M= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \]
3. Montrer que l’ensemble $H$ des matrices de trace nulle est un sous-espace vectoriel de $M_n(\mathbb{R})$ et donner sa dimension.\\ Donner la distance à $H$ de la matrice $J$ dont tous les coefficients valent $1$.

1. Montrer que $\mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ (matrices antisymétriques) et $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ (matrices symétriques) sont des supplémentaires orthogonaux de $\mathfrak{M}_n(\mathbb{R})$.\\
2. Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$. Calculer la distance de $M$ à $\mathcal{S}_3(\mathbb{R})$.\\ \startlettersnext
3. a Montrer que $\mathcal{H} = \{M \in \mathfrak{M}_n(\mathbb{R}),\; \mathrm{Tr}(M) = 0\}$ est un sous-espace vectoriel de $\mathfrak{M}_n(\mathbb{R})$ dont on déterminera la dimension.\\
4. a Soit $J$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Trouver la distance de $J$ à $\mathcal{H}$.

1. On suppose : \[ \forall x \in E,\quad \|p(x)\|\leqslant \|x\| \] Si $x \in (\Ker(p))^\perp$, montrer que $(\Ker(p))^\perp \subset \mathrm{Im}(p)$.\\
2. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal de $E$ si et seulement si : \[ \forall x \in E,\quad \|p(x)\|\leqslant \|x\| \]

1. Calculer $F^\perp$.\\
2. En déduire que $F$ n’a pas de supplémentaire orthogonal.

1. Déterminer la dimension et une base de $H$.\\
2. Déterminer une base orthonormale de $H$.\\
3. En déduire la distance de $X$ à $H$.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $a_k$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$.\\
2. Calculer alors la distance euclidienne de $X^n$ à \[ F=\left\{P \in \mathbb{R}_n[X],\ \Sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\} \]

1. Montrer l’existence de $O\in \mathcal{O}_n(\R)$ et de $T\in \mathcal{M}_n(\R)$ triangulaire supérieure telles que \[ M=OT \]
2. Montrer que \[ \det(M)^2\leqslant \Prod_{j=1}{n}\left(\Sum_{i=1}{n}m_{i,j}^2\right) \]

1. Montrer que l’application \[ (P,Q)\mapsto \sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k) \] est un produit scalaire sur $\R_n[X]$.
2. Déterminer une base orthonormale de $\R_n[X]$.
3. Soit \[ H=\{P\in \R_n[X]\mid P(a_0)+\cdots +P(a_n)=0\} \] Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $\R_n[X]$ et déterminer sa dimension.
4. Soit $Q\in \R_n[X]$. Calculer la distance de $Q$ à $H$.

1. Vérifier que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire, dont on note $\|\cdot\|$ la norme euclidienne associée.
2. Soit \[ E=\{M\in \mathcal{M}_n(\R)\mid \mathrm{Tr}(M)=0\} \] Calculer \[ \inf_{M\in E}\|A-M\| \]
3. Soit $A\in \mathcal{M}_n(\R)$. Calculer \[ \inf_{M\in \mathcal{S}_n(\R)}\|A-M\| \quad \mathrm{et} \quad \inf_{M\in \mathcal{A}_n(\R)}\|A-M\| \]

1. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur $E$ en posant, pour tous $P,Q\in E$, \[ (P|Q)=\Sum_{k=0}^{n}P(a_k)Q(a_k). \]
2. Déterminer une base orthonormale de $E$ pour le produit scalaire précédent.
3. Exprimer la distance du polynôme $X^n$ à l’espace \[ H=\left\{P\in E\mid P(a_0)+\cdots+P(a_n)=0\right\}. \]

1. À quelle(s) condition(s) sur $a_0, \ldots, a_n$ cette forme définit-elle un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$ ?\\
2. Lorsque $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}_n[X]$, expliciter une base orthonormale de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
3. Déterminer l'orthogonal de $F = \left\{P \in \mathbb{R}_n[X],\; \sum_{k=0}^{n} P(a_k) = 0\right\}$ et calculer la distance de $X^n$ à $F$.

1. Montrer que $E = \{f \in \mathcal{C}^0(]0,1], \mathbb{R}) : t \mapsto t^2 f^2(t)$ est intégrable sur $]0,1]\}$ est un espace vectoriel.\\
2. Montrer que $(f,g) \mapsto \integrale{0}{1}{t^2 f(t)g(t)}{t}$ est un produit scalaire sur $E$.\\
3. Existence et calcul de $\inf_{a,b \in \mathbb{R}} \integrale{0}{1}{t^2(\ln t - at - b)^2}{t}$.

1. Montrer que $\forall i \in \{1,\ldots,n\}$, $\|e_i\| \leq 1$.\\
2. Montrer que $\forall i \in \{1,\ldots,n\}$, $\|e_i\| \geq 1$.\\
3. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormée de $E$.

1. \startletters
2. a Justifier la définition de $d$.\\
3. a Montrer que $d$ est un minimum.\\
4. Soit $x_0 \in \mathbb{R}^n$ tel que $d = \|Ax_0 - b\|$. Montrer que ${}^t\!Ay = {}^t\!Ab$ avec $y = Ax_0$.\\
5. Déterminer $d$ pour $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ et $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$.

1. Montrer que la famille $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si $G(x_1,\ldots,x_p)\neq 0$.\\
2. On suppose que la famille $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre. On note $F=\mathrm{Vect}(x_1,\ldots,x_p)$. Soit $x \in E$. En utilisant la projection de $x$ sur $F$, montrer que \[ G(x,x_1,\ldots,x_p)=d(x,F)^2G(x_1,\ldots,x_p) \]

1. Si $(x_1,\ldots,x_n)\in (\R_+^*)^n$, montrer que \[ \left(\Prod_{i=1}{n}x_i\right)^{1/n}\leqslant \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \]
2. En déduire que \[ \det(A)\leqslant \left(\frac{\mathrm{Tr}(A)}{n}\right)^n \]
3. Montrer que les coefficients diagonaux de $A$ sont strictement positifs.
4. En déduire que \[ \det(A)\leqslant \Prod_{i=1}{n}a_{i,i} \]

1. Montrer que $\langle \cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. Montrer qu’il existe une famille $(P_n)_{n\in \N}$ de $\R[X]$ telle que $\deg(P_n)=n$ pour tout $n\in \N$ et \[ \langle P_n,P_m\rangle=\delta_{n,m} \]
3. Montrer que, pour tout $n\in \N$, $P_n$ est scindé à racines simples, les racines de $P_n$ étant dans $]0,1[$.

1. Montrer que, pour toute application linéaire $f$ de $E$ dans $\R$, il existe un unique $a\in E$ tel que \[ \forall x\in E,\quad f(x)=\langle a,x\rangle \]
2. Soit $n\in \N$. Montrer qu’il existe un unique polynôme $A\in \R_n[X]$ tel que, pour tout $P\in \R_n[X]$, \[ \integrale{0}{1}{A(t)P(t)}{t}=P(0) \]
3. Montrer que $A$ est de degré $n$ et que $A(0) > 0$.

1. Montrer que $(T_k)_{0 \leqslant k \leqslant n}$ est une base orthogonale et, pour tout $k\in [0,n]$, calculer la norme de $T_k$.
2. Soit $n\geqslant 1$. Montrer que \[ T_n\in (\R_{n-1}[X])^{\bot} \]
3. Pour tout $k\in [0,n]$, calculer \[ \integrale{0}{\pi}{\cos^k(v)\cos(nv)}{v} \]

1. Montrer l’existence de $(P\mid Q)$ pour tous $P,Q\in \R[X]$. Montrer que $(\cdot\mid\cdot)$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
2. Soit $n\in \N$. Montrer l’existence et l’unicité d’un polynôme $T_n$ tel que, pour tout $\theta\in \R$, \[ T_n(\cos(\theta))=\cos(n\theta) \]
3. Montrer que $(T_n)_{n\in \N}$ est une famille orthogonale.
4. Soit $F=\R_1[X]$. Calculer la distance de $X^2$ à $F$.

1. Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $p_F$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $F$. \startletters
2. a Montrer que $F = \{x \in E,\; \|p_F(x)\| = \|x\|\}$.\\
3. a Montrer que $\forall x \in E,\; \|p_F(x)\| \leq \|x\|$.\\
4. a Montrer que $\forall (x,y) \in E^2,\; \langle p_F(x) \mid y \rangle = \langle x \mid p_F(y) \rangle$.\\
5. Soient $F$, $G$ et $H$ des sous-espaces de $E$, $p_F$ et $p_G$ les projecteurs orthogonaux respectivement sur $F$ et sur $G$. On suppose que $p_F \circ p_G$ est le projecteur orthogonal sur $H$. \startletters
6. a Montrer que $F \cap G = H$.\\
7. a Montrer que $p_F \circ p_G = p_G \circ p_F$.

1. Justifier que $(f,g) \mapsto \langle f \mid g \rangle = \integrale{0}{1}{fg + f'g'}{t}$ est un produit scalaire sur $E$.\\
2. Montrer que $F = \{f \in E,\; f = f''\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et déterminer sa dimension ainsi qu'une base de $F$.\\
3. Prouver que $G = \{f \in E,\; f(0) = f(1) = 0\}$ est le supplémentaire orthogonal de $F$ dans $E$.\\
4. Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ et $C = \{f \in E,\; f(0) = \alpha,\; f(1) = \beta\}$. Calculer $\inf_{f \in C} \integrale{0}{1}{f^2 + f'^2}{t}$.

1. Soit $f \in E$. Montrer l’équivalence \[ \exists g \in F,\; g''=f \Longleftrightarrow \integrale{a}{b}{f(t)}{t}=\integrale{a}{b}{tf(t)}{t}=0. \]
2. Soit $h \in E$ telle que \[ \integrale{a}{b}{h(t)g''(t)}{t}=0 \] pour tout $g \in F$. Montrer que $h$ est affine.

1. On suppose que pour tout $k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, \[ \integrale{0}{1}{f(x)x^k}{x}=0. \] Montrer que $f$ possède au moins $n+1$ zéros dans $[0,1]$.\\
2. On suppose que pour tout $k \in \mathbb{N}$, \[ \integrale{0}{1}{f(x)x^k}{x}=0. \] Montrer que $f$ est identiquement nulle.

1. Montrer que l’application $(P,Q)\mapsto \langle P,Q\rangle$ définit bien un produit scalaire sur $E$.
2. On note $(P_0,P_1,\ldots,P_n)$ la base orthonormale de $E$ déduite de la base canonique de $E$ par le procédé de Gram-Schmidt. Déterminer une base de $F^{\bot}$ en fonction des $P_i$, $0\leqslant i\leqslant n$.
3. Calculer la distance $d(1,F)$ du polynôme $1$ au sous-espace vectoriel $F$.

Exercice 5919. X ENS

1. Montrer l’équivalence des deux propositions suivantes : \[ (i)\quad \forall x \in E,\ \min_{1 \leqslant i \leqslant p}f_i(x) \leqslant 0, \] \[ (ii)\quad \exists (a_1,\dots,a_p) \in (\mathbb{R}_+)^p \setminus \{0\},\ \sum_{i=1}^{p}a_if_i=0. \]
2. Montrer l’équivalence des deux propositions suivantes : \[ (i')\quad \forall x \in E \setminus \{0\},\ \min_{1 \leqslant i \leqslant p}f_i(x) < 0, \] \[ (ii')\quad (f_1,\dots,f_p)\ ;\mathrm{est}\;une\;famille\;positivement\;g\acute{e}n\acute{e}ratrice\;de\;E^*. \]

1. Justifier l'existence et l'unicité de $(a_1,\ldots,a_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que $Q = -\sum_{i=1}^{n} a_i X^i$ et montrer que $\Delta = \integrale{0}{1}{(1 + a_1 t + \cdots + a_n t^n)^2}{t}$.\\
2. On pose $F(X) = \frac{1}{X+1} + \frac{a_1}{X+2} + \cdots + \frac{a_n}{X+n+1}$. \startletters
3. a Montrer que $\forall k \in \{1,\ldots,n\}$, $F(k) = 0$.\\
4. a En déduire que $F(0) = \frac{1}{(n+1)^2}$.\\
5. Calculer $\Delta$ et $(a_1,\ldots,a_n)$.