Exercices divers

Exercice 5921. Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures ?
Exercice 5922. Soient $R\in O_d(\mathbb{R})$ et $\tau\in \mathbb{R}^d$.\\ On définit $\varphi(x)=Rx+\tau$.\\
  1. Montrer que \[ |\varphi(a)-\varphi(b)|=|a-b| \]
  2. Montrer que $\varphi$ est bijective et déterminer son inverse.\\
Exercice 5923. Soient $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien $E$ et $f\in O(E)$ tels que \[ f(F)\subset F. \] Montrer que \[ f(F)=F \quad \text{et} \quad f(F^\perp)=F^\perp. \]
Exercice 5924. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:E\to E$ une application telle que \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)|f(y))=(x|y). \] En observant que l’image par $f$ d’une base orthonormée est une base orthonormée, montrer que $f$ est linéaire.
Exercice 5925. Soient $A$ et $B$ dans $O_n(\mathbb{R})$ telles que \[ \frac{A+2B}{3}\in O_n(\mathbb{R}). \] Que dire de $A$ et $B$ ?
Exercice 5926. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ une matrice réelle orthogonale. Montrer que \[ \left|\Sum_{1\leqslant i,j\leqslant n}a_{i,j}\right|\leqslant n. \]
Exercice 5927. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible vérifiant \[ A{}^tA={}^tAA. \] Montrer que la matrice \[ \Omega={}^tA^{-1}A \] est orthogonale.
Exercice 5928. Soient $u$ et $v$ deux vecteurs unitaires d’un plan vectoriel euclidien orienté.\\ Quels sont les isométries vectorielles qui envoient $u$ sur $v$ ?
Exercice 5929. À quelle condition une réflexion $\sigma$ et une rotation $r$ du plan commutent-elles ?
Exercice 5930. Soit $f:E\to E$ une application vérifiant \[ \forall x,y\in E,\quad (f(x)|f(y))=(x|y). \] Montrer que $f$ est linéaire.
Exercice 5931. Soient $a$ un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien $E$, $\alpha$ un réel et $f_\alpha:E\to E$ l’application définie par \[ f_\alpha(x)=x+\alpha(x|a)a. \]
  1. Montrer que $\{f_\alpha\mid \alpha\in\mathbb{R}\}$ est stable pour le produit de composition et observer que $f_\alpha$ et $f_\beta$ commutent.
  2. Calculer $f_\alpha^p$ pour $p\in\mathbb{N}$.
  3. Montrer que $f_\alpha$ est inversible si, et seulement si, $\alpha\neq -1$. Quelle est la nature de $f_{-1}$ ?
  4. Montrer que \[ f_\alpha\in O(E)\Longleftrightarrow \alpha=0 \quad \text{ou} \quad \alpha=-2. \] Quelle est la nature de $f_{-2}$ ?
Exercice 5932. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien et $u,v,w$ trois vecteurs unitaires.\\ On pose \[ \alpha=\mathrm{Ecart}(u,v),\quad \beta=\mathrm{Ecart}(v,w) \quad \text{et} \quad \theta=\mathrm{Ecart}(u,w). \] En projetant $v$ sur un plan contenant $u$ et $w$, montrer que \[ \theta\leqslant \alpha+\beta. \]
Exercice 5933. Soit $E$ un espace vectoriel normé. \\ Soient $U$ et $V$ deux parties de $E$. \\ A-t-on toujours : \[ \overline{U\cap V}=\overline{U}\cap \overline{V} ? \] Et si $U$ est ouvert ? \\ Montrer que si $U$ est ouvert et que $U$ et $V$ sont denses dans $E$, alors $U\cap V$ est dense dans $E$.
Exercice 5934. Soient $(x_i)$ et $(y_i)$ dans $\mathbb{R}^d$.\\ On pose \[ J(\tau,R)=\Sum |y_i-(Rx_i+\tau)|^2 \] et \[ x=\frac{1}{n}\Sum x_i,\quad y=\frac{1}{n}\Sum y_i \]
  1. Montrer que \[ J(\tau,R)=\Sum |y_i-y-R(x_i-x)|^2+n|y-Rx-\tau|^2 \]
  2. En déduire le minimum en $\tau$ pour $R$ fixé.\\
Exercice 5935. Soit $u\in \mathbb{R}^d$.\\ On pose \[ T(u)_i=\mathbb{V}(\langle L_i,u\rangle) \]
  1. Montrer qu’il existe $c>0$ tel que \[ \|T(u)\|_1 \leq c\|u\|_2^2 \]
Exercice 5936. Soient $(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$, $\sigma=ab+bc+ca$, $S=a+b+c$ et \[ M= \begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{pmatrix}. \]
  1. Montrer que \[ M\in O_3(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow \sigma=0 \quad \text{et} \quad S\in\{-1,1\}. \]
  2. Montrer que \[ M\in SO_3(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow \sigma=0 \quad \text{et} \quad S=1. \]
  3. Montrer que $M$ est dans $SO_3(\mathbb{R})$ si, et seulement si, il existe $k\in\left[0,\frac{4}{27}\right]$ tel que $a,b,c$ sont les racines du polynôme \[ X^3-X^2+k. \]