Exercices divers
Exercice
4250. Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2$. Supposons que $\mathrm{pgcd}(\det(A),\det(B))=1$.\\
Démontrer qu’il existe $(U,V)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2$ tel que
\[
AU+BV=I_n.
\]
Exercice
4251. Soit $\alpha_1 < \dots < \alpha_n$ des réels et $a_1,\dots,a_n$ des réels non nuls.\\
- Montrer que $f:x\mapsto a_1x^{\alpha_1}+\dots+a_nx^{\alpha_n}$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R^{+*}$.\\
- Soient $t_1,\dots,t_n$ des réels tels que $0 < t_1 < \dots < t_n$. Montrer que le déterminant de la matrice $(t_i^{\alpha_j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est strictement positif.
Exercice
4252. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A,B \in \mathrm{GL}_n(K)$ telles que $\det(A)=\det(B)$.
Montrer :
\[
A \sim \mathrm{com}(B)\iff B \sim \mathrm{com}(A)
\]
où $\mathrm{com}$ désigne la comatrice, et $\sim$ la similitude des matrices carrées.
Exercice
4253. Soient $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$, $A \in M_n(K)$.
Établir :\\
\[
\left\{
\begin{aligned}
\mathrm{rg}(A)=n & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=n\\
\mathrm{rg}(A)=n-1 & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=1\\
\mathrm{rg}(A)\leqslant n-2 & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=0
\end{aligned}
\right.
\]
Exercice
4254. Soient $A,B \in M_n(\R)$. On suppose que $A$ et $B$ sont $\C$-semblables, c'est-à-dire qu'il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que
\[
A=PBP^{-1}.
\]
En écrivant
\[
P=P_1+iP_2,
\]
et en considérant
\[
\Delta(x)=\det(P_1+xP_2),
\]
montrer que $A$ et $B$ sont $\R$-semblables.
Exercice
4255. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $p\in\N^*$ et $f_1,\dots,f_p$ une famille de formes linéaires sur $E$. Montrer que sont équivalents :
- $(f_1,\dots,f_p)$ est libre.
- Il existe une famille $(x_1,\dots,x_p)$ de vecteurs de $E$ telle que \[ \det\left((f_i(x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant p}\right)\neq 0. \]
Exercice
4256. On dit que deux bases de $\R^n$ sont de même orientation si le déterminant de la matrice de passage entre ces deux bases est strictement positif. On considère deux bases orthonormales
\[
\mathcal{U}=(u_i)_{1\leqslant i\leqslant n}
\quad \mathrm{et} \quad
\mathcal{V}=(v_i)_{1\leqslant i\leqslant n}
\]
de même orientation. On définit
\[
w_i=u_i+2v_i
\]
pour tout $i\in [\![1,n]\!]$. Montrer que
\[
\mathcal{W}=(w_i)_{1\leqslant i\leqslant n}
\]
est une base de même orientation que $\mathcal{U}$.
Exercice
4257. Soient $n\in\N^*$ et $X_n$ l’ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont les coefficients appartiennent à $[-1,1]$, $Y_n$ celui des matrices à coefficients dans $\{-1,+1\}$ et $Z_n$ celui des matrices à coefficients dans $\{0,1\}$. On note $x_n$, $y_n$ et $z_n$ les bornes supérieures du déterminant sur ces ensembles respectifs.\\
- Justifier que $x_n$, $y_n$ et $z_n$ existent et sont atteints.
- Montrer que $x_n=y_n$.
- Montrer que la suite $(z_n)_{n\geqslant 2}$ est strictement croissante.
- Si $n\geqslant 2$, montrer que \[ z_n\leqslant x_{n-1} \quad \mathrm{et} \quad x_n\geqslant 2x_{n-1}. \]
Exercice
4258. Soient $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ et $(P,Q)\in \mathbb{K}[X]^2$ deux polynômes non constants. On note
\[
p=\deg(P),\quad q=\deg(Q)
\]
ainsi que $d$ le degré de leur plus grand diviseur commun.\\
- Montrer que l’application \[ R_{P,Q}:\mathbb{K}_{q-1}[X]\times \mathbb{K}_{p-1}[X]\to \mathbb{K}_{p+q-1}[X],\quad (U,V)\mapsto UP+VQ \] est une application linéaire de rang $p+q-d$. Déterminer sa matrice dans les bases canoniques en fonction des coefficients de $P$ et de $Q$. On définit et note le déterminant résultant de $P$ et $Q$ : \[ \mathcal{R}_{P,Q}=\det(R_{P,Q}). \]
- Prouver que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et seulement si \[ \mathcal{R}_{P,Q}\neq 0. \]
- Soit $n\in\N^*$. Montrer que l’ensemble $S_n$ des polynômes de degré $n$, scindés à racines simples sur $\C[X]$, est un ouvert de $\C_n[X]$.
Exercice
4259. \\
- Montrer que la famille \[ \bigl((X+k)^n\bigr)_{0 \leqslant k \leqslant n} \] constitue une base de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
- Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde.
Exercice
4260. Soit $A$ et $B$ deux matrices réelles d’ordre $n$ telles que $\mathrm{rg}(B)=1$.\\
Démontrer que
\[
\det((A-B)(A+B))\leqslant \det(A^2).
\]
Exercice
4261. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
- On suppose que $AB = BA$. Montrer que $\det(A^2 + B^2) \geqslant 0$.\\
- Donner un exemple où $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles telles que $AB = BA$ et $\det(A^2 + B^2) = 0$.\\
- Donner un exemple où $\det(A^2 + B^2) < 0$.\\
Exercice
4262. Calculer le déterminant de l’endomorphisme
\[
T : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad M \longmapsto M^{\top}
\]