Exercices divers

Exercice 5774. Calculer de deux façons : \[ \begin{vmatrix} a & -b\\ b & a \end{vmatrix} \begin{vmatrix} c & -d\\ d & c \end{vmatrix}. \]
Exercice 5775. Soient $n\in\mathbb{N}^*$, $A\in GL_n(\mathbb{R})$ et $B\in M_n(\mathbb{R})$.\\ Montrer qu’il existe $\varepsilon > 0$ tel que \[ \forall x\in[-\varepsilon,\varepsilon],\quad A+xB\in GL_n(\mathbb{R}). \]
Exercice 5776. Soit $S\in S_n(\mathbb{R})$. Montrer que la comatrice de $S$ est symétrique.
Exercice 5777. Calculer le déterminant de l’endomorphisme \[ T : \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \longrightarrow \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \quad M \longmapsto M^{\top} \]
Exercice 5778. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $3$ et $B=(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$.\\ Soit $f$ l’endomorphisme de $E$ dont la matrice dans $B$ est \[ A= \begin{pmatrix} 3 & -2 & -3\\ -2 & 6 & 6\\ 2 & -2 & -2 \end{pmatrix}. \]
  1. Pour quelles valeurs de $\lambda$ a-t-on $\det(A-\lambda I_3)=0$ ?
  2. Déterminer une base $C=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ de $E$ telle que \[ \mathrm{Mat}_C(f)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5779. Soient $\alpha\in\mathbb{C}$ et \[ M= \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \alpha & \ddots & \vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \alpha\\ \alpha & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in M_n(\mathbb{C}). \]
  1. Calculer $\det M$.
  2. Déterminer, en fonction de $\alpha$, le rang de $M$.
Exercice 5780. Résoudre \[ \begin{cases} x+y+z=a\\ x+jy+j^2z=b\\ x+j^2y+jz=c \end{cases} \] en fonction de $a,b,c\in\mathbb{C}$.
Exercice 5781. Résoudre en fonction de $a\in\mathbb{C}$ le système \[ \begin{cases} x+ay+a^2z=0\\ ax+y+az=0\\ a^2x+ay+z=0 \end{cases}. \]
Exercice 5782. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{Z})$ telles que $\det A$ et $\det B$ sont premiers entre eux.\\ Montrer qu’il existe $U,V\in M_n(\mathbb{Z})$ telles que \[ UA+VB=I_n. \]
Exercice 5783. Soit $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2$. Supposons que $\mathrm{pgcd}(\det(A),\det(B))=1$.\\ Démontrer qu’il existe $(U,V)\in\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})^2$ tel que \[ AU+BV=I_n. \]
Exercice 5784. Soient $n \in \mathbb{N}^*$, $A,B \in \mathrm{GL}_n(K)$ telles que $\det(A)=\det(B)$. Montrer : \[ A \sim \mathrm{com}(B)\iff B \sim \mathrm{com}(A) \] où $\mathrm{com}$ désigne la comatrice, et $\sim$ la similitude des matrices carrées.
Exercice 5785. Soient $n \in \mathbb{N}-\{0,1\}$, $A \in M_n(K)$. Établir :\\ \[ \left\{ \begin{aligned} \mathrm{rg}(A)=n & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=n\\ \mathrm{rg}(A)=n-1 & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=1\\ \mathrm{rg}(A)\leqslant n-2 & \Longrightarrow \mathrm{rg}(\mathrm{com}(A))=0 \end{aligned} \right. \]
Exercice 5786. Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel, $p\in\N^*$ et $f_1,\dots,f_p$ une famille de formes linéaires sur $E$. Montrer que sont équivalents :
  1. $(f_1,\dots,f_p)$ est libre.
  2. Il existe une famille $(x_1,\dots,x_p)$ de vecteurs de $E$ telle que \[ \det\left((f_i(x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant p}\right)\neq 0. \]
Exercice 5787. Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.\\
  1. On suppose que $AB = BA$. Montrer que $\det(A^2 + B^2) \geqslant 0$.\\
  2. Donner un exemple où $A$ et $B$ sont deux matrices inversibles telles que $AB = BA$ et $\det(A^2 + B^2) = 0$.\\
  3. Donner un exemple où $\det(A^2 + B^2) < 0$.\\
Exercice 5788. Soit $A\in M_n(\mathbb{R})$ une matrice inversible et $X,Y$ deux colonnes de $M_{n,1}(\mathbb{R})$.\\ Établir que \[ A+Y{}^tX\in GL_n(\mathbb{R}) \Longleftrightarrow 1+{}^tXA^{-1}Y\neq0. \]
Exercice 5789. Soient $a,b,c$ et $d$ des éléments de $K$. Résoudre sur $K$ les systèmes suivants.\\
  1. \[ \begin{cases} x+y+z=1\\ ax+by+cz=d\\ a^2x+b^2y+c^2z=d^2 \end{cases} \] avec $a,b,c$ deux à deux distincts.
  2. \[ \begin{cases} x+y+z=1\\ ax+by+cz=d\\ a^3x+b^3y+c^3z=d^3 \end{cases} \] avec $a,b,c$ deux à deux distincts et $a+b+c\neq0$.
Exercice 5790. Soient $a,b,c\in\mathbb{C}$ distincts.\\
  1. Résoudre \[ \begin{cases} x+ay+a^2z=a^3\\ x+by+b^2z=b^3\\ x+cy+c^2z=c^3 \end{cases} \] en introduisant \[ P=X^3-(x+yX+zX^2). \]
  2. Même question pour \[ \begin{cases} x+ay+a^2z=a^4\\ x+by+b^2z=b^4\\ x+cy+c^2z=c^4. \end{cases} \]
Exercice 5791. Soient $A,B\in M_n(\mathbb{C})$.\\ On suppose que les matrices $A$ et $B$ commutent. Montrer que les comatrices de $A$ et $B$ commutent.
Exercice 5792. Soit $\alpha_1 < \dots < \alpha_n$ des réels et $a_1,\dots,a_n$ des réels non nuls.\\
  1. Montrer que $f:x\mapsto a_1x^{\alpha_1}+\dots+a_nx^{\alpha_n}$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R^{+*}$.\\
  2. Soient $t_1,\dots,t_n$ des réels tels que $0 < t_1 < \dots < t_n$. Montrer que le déterminant de la matrice $(t_i^{\alpha_j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est strictement positif.
Exercice 5793. Soient $A,B \in M_n(\R)$. On suppose que $A$ et $B$ sont $\C$-semblables, c'est-à-dire qu'il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que \[ A=PBP^{-1}. \] En écrivant \[ P=P_1+iP_2, \] et en considérant \[ \Delta(x)=\det(P_1+xP_2), \] montrer que $A$ et $B$ sont $\R$-semblables.
Exercice 5794. On dit que deux bases de $\R^n$ sont de même orientation si le déterminant de la matrice de passage entre ces deux bases est strictement positif. On considère deux bases orthonormales \[ \mathcal{U}=(u_i)_{1\leqslant i\leqslant n} \quad \mathrm{et} \quad \mathcal{V}=(v_i)_{1\leqslant i\leqslant n} \] de même orientation. On définit \[ w_i=u_i+2v_i \] pour tout $i\in [\![1,n]\!]$. Montrer que \[ \mathcal{W}=(w_i)_{1\leqslant i\leqslant n} \] est une base de même orientation que $\mathcal{U}$.
Exercice 5795. \\
  1. Montrer que la famille \[ \bigl((X+k)^n\bigr)_{0 \leqslant k \leqslant n} \] constitue une base de $\mathbb{R}_n[X]$.\\
  2. Redémontrer la formule donnant l’expression du déterminant de Vandermonde.
Exercice 5796. Soit $A$ et $B$ deux matrices réelles d’ordre $n$ telles que $\mathrm{rg}(B)=1$.\\ Démontrer que \[ \det((A-B)(A+B))\leqslant \det(A^2). \]
Exercice 5797.
  1. On écrit la première colonne comme somme de deux colonnes : \[ C_1= \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ \alpha \end{pmatrix}. \] Par linéarité du déterminant par rapport à la première colonne, on obtient deux déterminants.\\ Le premier est triangulaire supérieur, de diagonale composée uniquement de $1$, donc il vaut $1$.\\ Le second contient un seul coefficient non nul dans la première colonne, situé à la dernière ligne. En développant selon cette colonne, on obtient \[ (-1)^{n+1}\alpha \begin{vmatrix} \alpha & 0 & \cdots & 0\\ 1 & \alpha & \ddots & \vdots\\ 0 & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & \cdots & 1 & \alpha \end{vmatrix}. \] Ce déterminant est triangulaire inférieur et vaut $\alpha^{n-1}$.\\ Ainsi, \[ \det M=1+(-1)^{n+1}\alpha^n. \] Donc \[ \det M=1-(-1)^n\alpha^n. \]
  2. Si \[ \det M\neq0, \] alors $M$ est inversible, donc \[ \rg M=n. \] Si \[ \det M=0, \] alors $M$ n’est pas inversible, donc $\rg M < n$.\\ Cependant, la matrice extraite obtenue en gardant les $n-1$ premières lignes et les $n-1$ premières colonnes est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux égaux à $1$.\\ Son déterminant vaut donc $1$.\\ Ainsi, \[ \rg M\geqslant n-1. \] On en déduit \[ \rg M=n-1. \] Or \[ \det M=0 \Longleftrightarrow 1-(-1)^n\alpha^n=0 \Longleftrightarrow (-\alpha)^n=1. \] Finalement, \[ \rg M= \begin{cases} n-1 & si\ -\alpha\in U_n,\\ n & sinon \end{cases} \]
Exercice 5798. Soient $I$ un intervalle non vide de $\mathbb{R}$ et $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille de fonctions de $I$ vers $\mathbb{R}$.\\ Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si, et seulement si, il existe $x_1,\ldots,x_n$ dans $I$ tels que \[ \det(f_i(x_j))_{1\leqslant i,j\leqslant n}\neq0. \]
Exercice 5799. Soient $A_1,\ldots,A_n$ des parties de $[\![1,n]\!]$ distinctes deux à deux.\\ On suppose que les parties $A_i$ s’intersectent en des singletons deux à deux et on forme la matrice \[ M=(m_{i,j})\in M_n(\mathbb{R}) \] déterminée par \[ m_{i,j}= \begin{cases} 1 & si\ i\in A_j,\\ 0 & sinon. \end{cases} \] Montrer que la matrice ${}^tMM$ est inversible et en déduire que \[ A_1\cup\cdots\cup A_n=[\![1,n]\!]. \]
Exercice 5800. Soient $n$ un entier supérieur à $2$ et $A\in M_n(K)$.\\
  1. Établir \[ \begin{cases} \rg(A)=n\Longrightarrow \rg(\mathrm{Com}(A))=n\\ \rg(A)=n-1\Longrightarrow \rg(\mathrm{Com}(A))=1\\ \rg(A)\leqslant n-2\Longrightarrow \rg(\mathrm{Com}(A))=0. \end{cases} \]
  2. Montrer que \[ \det(\mathrm{Com}(A))=(\det A)^{n-1}. \]
  3. En déduire $\mathrm{Com}(\mathrm{Com}(A))$.
Exercice 5801. Soit $A\in M_n(K)$ et \[ B={}^t(\mathrm{Com}(A)). \]
  1. Donner le rang de $B$ en fonction de celui de $A$.
  2. On se place dans le cas où $\rg A=n-1$.\\ Soit $C\in M_n(K)$ telle que \[ AC=CA=O_n. \] Montrer qu’il existe $\lambda\in K$ tel que \[ C=\lambda B. \]
Exercice 5802. Soient $n\in\N^*$ et $X_n$ l’ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\R)$ dont les coefficients appartiennent à $[-1,1]$, $Y_n$ celui des matrices à coefficients dans $\{-1,+1\}$ et $Z_n$ celui des matrices à coefficients dans $\{0,1\}$. On note $x_n$, $y_n$ et $z_n$ les bornes supérieures du déterminant sur ces ensembles respectifs.\\
  1. Justifier que $x_n$, $y_n$ et $z_n$ existent et sont atteints.
  2. Montrer que $x_n=y_n$.
  3. Montrer que la suite $(z_n)_{n\geqslant 2}$ est strictement croissante.
  4. Si $n\geqslant 2$, montrer que \[ z_n\leqslant x_{n-1} \quad \mathrm{et} \quad x_n\geqslant 2x_{n-1}. \]
Exercice 5803. Soient $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$ et $(P,Q)\in \mathbb{K}[X]^2$ deux polynômes non constants. On note \[ p=\deg(P),\quad q=\deg(Q) \] ainsi que $d$ le degré de leur plus grand diviseur commun.\\
  1. Montrer que l’application \[ R_{P,Q}:\mathbb{K}_{q-1}[X]\times \mathbb{K}_{p-1}[X]\to \mathbb{K}_{p+q-1}[X],\quad (U,V)\mapsto UP+VQ \] est une application linéaire de rang $p+q-d$. Déterminer sa matrice dans les bases canoniques en fonction des coefficients de $P$ et de $Q$. On définit et note le déterminant résultant de $P$ et $Q$ : \[ \mathcal{R}_{P,Q}=\det(R_{P,Q}). \]
  2. Prouver que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux si et seulement si \[ \mathcal{R}_{P,Q}\neq 0. \]
  3. Soit $n\in\N^*$. Montrer que l’ensemble $S_n$ des polynômes de degré $n$, scindés à racines simples sur $\C[X]$, est un ouvert de $\C_n[X]$.
Exercice 5804. Établir que l’inverse de la matrice \[ H= \left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n} \] est à coefficients entiers.